\exo {Une intégration par parties} Calculer \quad $ K = \int_0^{1\over5} 10 x e^{-5x} \, dx $ \quad et montrer que $K={2\over 5} \times (1 - 2e^{-1})$. (Il pourra être nécessaire de procéder à une intégration par parties) \finexo \corrige On a $$ K = \int_0^{1\over5} 10 x e^{-5x} \, dx \qquad \hbox {où l'on pose} \qquad \cases { U = x \cr V' = 10 e^{-5x} \cr} \qquad {\rm et} \qquad \cases { U' = 1 \cr V = -2 e^{-5x} \cr} $$ Il vient alors $$\eqalign { K &= \Big[ -2x e^{-5x}\Big] _0 ^{1/5} - \int _0 ^{1/5} -2 e^{-5x}\, dx \cr &= \left( -{2\over 5} e^{-1} - 0\right) - \left[ {2\over 5} e^{-5x}\right] _0 ^{1/5} = -{2\over 5} e^{-1} - \left( {2\over 5} e^{-1}- {2\over 5}\right) \cr &{\rm soit} \qquad \dresultat {K = {2\over 5} \times (1 - 2e^{-1})} } $$ \fincorrige