\exo{Utilisation du logarithme pour l'intégration} {\sl Le but de cet exercice est de calculer l'intégrale \qquad $\displaystyle B = \int_{\pi/2}^{3\pi/4} {\sin x \over \sin x - \cos x} \, dx. $} \itemnum Calculer la dérivée de la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $[{\pi/2}; {3\pi/4}]$ par $$ f(x) = \ln (\sin x - \cos x) $$ où $\ln$ désigne le logarithme népérien. (On admettra que $f$ est bien définie sur cet intervalle.) \itemnum On pose~: $$ A = \int_{\pi/2}^{3\pi/4} {\cos x \over \sin x - \cos x} \, dx, \qquad {\rm et} \qquad B = \int_{\pi/2}^{3\pi/4} {\sin x \over \sin x - \cos x} \, dx. $$ \itemitemalph Calculer $B-A$ et $B+A$. \itemitemalph En déduire la valeur de $A$ et celle de $B$. \finexo \corrige{} \itemnum On trouve \dresultat{f' (x) = {\cos x + \sin x \over \sin x - \cos x}}. \itemalphnum En utilisant la linéarité (les intégrales ont les mêmes bornes), on obtient $$\displaylines{ \bullet \quad B - A = \int_{\pi/2}^{3\pi/4} {\sin x - \cos x\over \sin x - \cos x} \, dx = \int_{\pi/2}^{3\pi/4} \, dx \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{B - A = {\pi \over4}} \cr % \qquad {\rm et} \qquad \bullet \quad B + A = \int_{\pi/2}^{3\pi/4} f' (x) \, dx = \Big[ f (x) \Big]_{\pi/2}^{3\pi/4} = \ln \left( {\sqrt2 \over2} + {\sqrt2 \over2}\right) \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{B + A = \ln \left( \sqrt 2\right) = {1\over2} \ln 2} }$$ \itemitemalph En résolvant le système de deux équations obtenu, on trouve $$ \dresultat{A = -{\pi \over8} + {\ln 2 \over4}} \qquad {\rm et} \qquad \dresultat{B = {\pi \over8} + {\ln 2 \over4}}. $$ \fincorrige