\exo{Influence des hypothèses sur un caractère continu} {\sl Dans cet exercice, on calcule la moyenne et l'écart-type de quatres populations différentes correspondant à un même tableau d'effectifs. On observera ainsi l'influence de la répartition des éléments de la population à l'intérieur de chaque classe.} On considère le tableau d'effectifs suivant~: $$\vbox{\halign{ \offinterlineskip %% preamble #\tv && \cc{#}& #\tv \cr \noalign{\hrule} & Classe&& $[0, 4[$&& $[4, 8[$ && $[8, 12[$& \cr \noalign{\hrule} & Effectif&& 4&& 4&& 4& \cr \noalign{\hrule} }}$$ \itemnum On suppose que, dans chaque classe, tous les éléments sont situés au centre de la classe. La population est donc $$ 2,\quad 2,\quad 2,\quad 2,\quad 6,\quad 6,\quad 6,\quad 6,\quad 10,\quad 10,\quad 10,\quad 10. $$ Calculer la moyenne $\bar x$ et une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'écart-type $\sigma$ de cette première population. \itemnum On suppose que les éléments de chaque classe sont répartis uniformément de la manière suivante~: $$ 0, 5\, ;\quad 1, 5\, ;\quad 2, 5\, ;\quad 3, 5\, ;\quad 4, 5\, ;\quad 5, 5\, ;\quad 6, 5\, ;\quad 7, 5\, ;\quad 8, 5\, ;\quad 9, 5\, ;\quad 10, 5\, ;\quad 11, 5. $$ Calculer la moyenne $\bar x'$ et une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'écart-type $\sigma'$ de cette deuxième population. \itemnum On suppose que les éléments de chaque classe sont répartis de la manière suivante~: $$ 1,\quad 1,\quad 3,\quad 3,\quad 5,\quad 5,\quad 7,\quad 7,\quad 9,\quad 9,\quad 11,\quad 11. $$ \itemitemalph Calculer la moyenne $\bar x''$ et une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'écart-type $\sigma''$ de cette troisième population. \itemitemalph Comparer $\bar x$, $\bar x'$, $\bar x''$ d'une part, et $\sigma$, $\sigma'$, $\sigma''$ d'autre part. \itemnum On suppose que, dans chaque classe, tous les éléments sont situés d'un même côté, et le plus loin possible du centre de la classe, c'est à dire que la population est~: $$ 0,\quad 0,\quad 0,\quad 0,\quad 4,\quad 4,\quad 4,\quad 4,\quad 8,\quad 8,\quad 8,\quad 8. $$ Calculer la moyenne $\bar x'''$ et une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'écart-type $\sigma'''$ de cette quatrième population. Pouvait-on prévoir les valeurs de $\bar x'''$ et $\sigma'''$~? \finexo \corrige{} \itemnum On trouve~: \qquad $ \mresultat{\bar x = 6} \qquad {\rm et} \qquad \mresultat{\sigma \simeq 3.26} $ \itemnum On trouve~: \qquad $ \mresultat{\bar x' = 6} \qquad {\rm et} \qquad \mresultat{\sigma' \simeq 3.45} $ \itemalphnum On trouve~: \qquad $ \mresultat{\bar x'' = 6} \qquad {\rm et} \qquad \mresultat{\sigma'' \simeq 3.41} $ \itemalph On remarque bien sûr l'égalite des moyennes $\bar x$, $\bar x'$ et $\bar x''$. Quand aux dipersions des données, on voit que le rangement d'après l'écart-type donne dans l'ordre~: la première, puis la troisième, et enfin la seconde. \itemnum On trouve~: \qquad $ \mresultat{\bar x''' = 4} \qquad {\rm et} \qquad \mresultat{\sigma''' \simeq 3.26} $. \item{} On pouvait facilement trouver $\bar x'''$ et $\sigma'''$ si l'on remarquait que la quatrième série correspondant pré\-ci\-sé\-ment à la première, {\sl via\/} une soustraction de $2$ à chaque élément. La moyenne a donc baissé de deux points (on a changé la {\sl position\/} de la série), mais l'écart-type est le même (on n'a rien chargé à la {\sl dispersion\/} des données.) \fincorrige