\exo {Recherche de l'effectif d'un échantillon} Sur une portion de route où la vitesse des véhicules est limitée à $90$~km/h, on effectue un contrôle des vitesses avecun instrument de mesure de grande précision. On mesure la vitesse (en km/h) d'un véhicule sur vingt et on obtient les résultats suivants pour un échantillon de 100~véhicules que l'on assimile à un échantillon obtenu par prélèvement aléatoire avec remise~: $$ \vbox {\offinterlineskip \eightpoint \rm \halign { % preamble #\tv && \cc {$\displaystyle #$}& #\tv \cr \noalign{\hrule} & \hbox {Vitesse (en km/h)}&& \hbox {Effectif}& \cr \noalign{\hrule} & [75, 80\, [ && 5& \cr \noalign{\hrule} & [80, 85\, [ && 10& \cr \noalign{\hrule} & [85, 90\, [ && 20& \cr \noalign{\hrule} & [90, 95\, [ && 36& \cr \noalign{\hrule} & [95, 100\, [ && 15& \cr \noalign{\hrule} & [100, 105\, [ && 8& \cr \noalign{\hrule} & [105, 110\, [ && 6& \cr \noalign{\hrule} }}$$ \itemnum En supposant que les valeurs observées sont celles du centre de la classe, calculer, à $10^{-2}$ près, la moyenne $\overline x$ et l'écart-type $\sigma $ des vitesses pour cet échantillon. \itemnum \` A partir des résultats obtenus pour cet échantillon, proposer une estimation ponctuelle de la moyenne $\mu $ et de l'écart-type $s$ des vitesses des $2\, 000$ véhicules de la population observée. \itemnum On suppose que la variable aléatoire $\overline X$ qui, à tout échantillon de taille $n=100$ obtenu comme précédemment, associe la moyenne des vitesses de l'échantillon, suit la loi normale ${\cal N} (\mu, \sigma /\sqrt n)$. On prend pour valeur de $s$ l'estimation ponctuelle obtenue au {\bf 2.}. \item {} Déterminer un intervalle de confiance de la vitesse moyenne $\mu $ de la population avec le coefficient de confiance $99\% $. \itemnum Quelle doît être la taille minimale $n$ de l'échantillon pour connaître, avec le coefficient de confiance $95\% $ la vitesse moyenne de la population à $0, 5\km /\h $ près~? \finexo