\paragraphe {Principe de la théorie} On considère une population $P$ d'effectif $N$. On suppose que, pour le caractère observé, la moyenne de $P$ est $m$ alors que son écart-type est $\sigma$. Ce sont ces deux valeurs que nous voudrions retrouver à partir des échantillons. Supposons donc maintenant que nous disposons de $k$ échantillons de $P$, chacun d'entre eux étant d'effectif $n$. On note $E_1, E_2, \ldots, E_k$ ces $k$ échantillons, de moyennes respectives $\overline x_1, \overline x_2, \ldots, \overline x_k$, et d'écart-type respectifs $\sigma_1, \sigma_2, \ldots \sigma_k$. L'ensemble $\overline X = \left\{ \overline x_1, \overline x_2, \ldots, \overline x_k \right\}$ est une série statistique d'effectif $k$, série que l'on appelle {\sl distribution des moyennes}. La théorie montre alors que $$ \dresultat{E \big(\overline X \big) = m}, \qquad {\rm et} \qquad \dresultat{\sigma_{\overline X} = {\sigma \over \sqrt n}} $$ De plus, pour $n>30$, \tresultat {la variable aléatoire $\overline X$ suit approximativement une loi normale $\displaystyle {{\cal N} \left( m, {\sigma \over \sqrt n}\right) }$}. Autrement dit, \tresultat {la variable aléatoire $\displaystyle{{\overline X - m \over \sigma / \sqrt n}}$ suit approximativement une loi normale ${\cal N} (0, 1)$}.