\exo{Statistiques inférentielles~: un problème de synthèse. {\sl Bts Maintenance industrielle, 1996}} {\sl Les parties I et II peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.} \let \partie \centerpartie Un groupe industriel possède deux filiales MAT et MATIC qui produisent des petits moteurs destinés au montage de jouets. \partie{I} La variable aléatoire $X$ qui, à chaque moteur tiré au hasard dans la production, associe sa durée de vie moyenne exprimée en heures, suit la loi normale de moyenne 400 et d'écart type 40. \itemnum Un moteur est déclaré non com\-mer\-cia\-li\-sa\-ble si sa durée de vie est inférieure à 318~heures. Calculer, à $10^{-4}$ près la probabilité $p$ qu'un moteur prélevé au hasard dans la production ne soit pas commercialisable. \itemnum On admet que $p = 0, 02$. Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à tout lot de 50~moteurs, associe le nombre de moteurs non commercialisables. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler le prélèvement de 50~moteurs à un prélèvement aléatoire avec remise. \itemitemalph Quelle est la loi suivie par $Y$~? Justifier la réponse et donner ses paramètres. \itemitemalph Calculer à $10^{-3}$ près la probabilité de l'événement~: \og {\sl il y a au plus trois moteurs non com\-mer\-cia\-li\-sa\-bles}\fg. \partie{II} La filiale MAT prélève un échantillon de taille 100 sur la production d'un jour et mesure la durée de vie, en heures, des moteurs. Les résultats obtenus sont les suivants~: $$\vbox{\offinterlineskip \halign{ % preamble #\tv && \cc{$#$}& #\tv \cr \noalign{\hrule} & {\rm durée\ de\ vie}&& [300, 340[&& [340, 380[&& [380, 420[&& [420, 460[&& [460, 500[& \cr \noalign{\hrule} & {\rm Effectifs}&& 7&& 21&& 48&& 16&& 8& \cr \noalign{\hrule} }}$$ \itemnum En faisant l'hypothèse que les valeurs mesurées sont celles du centre de classe, calculer, à $10^{-2}$ près, la moyenne $m_1$ et l'écart type $\sigma_1$ de cette série statistique. \item{} La filiale MATIC, dans des conditions similaires, contrôle un échantillon de taille 100 et obtient pour résultats $m_2 = 406, 8$ et $\sigma_2 = 40, 5$. \itemnum On désigne par $\overline{X_1}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100~moteurs prélevés au hasard par la filiale MAT, associe sa moyenne, et par $\overline{X_2}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100~moteurs prélevés au hasard par la filiale MATIC, associe sa moyenne. \item{} Tous les échantillons considérés sont assimilés à des échantillons prélevés avec remise. \item{} On suppose que les variables aléatoires $\overline{X_1}$, $\overline{X_2}$, $D = \overline{X_1} - \overline{X_2}$ suivent des lois normales de moyennes respectives $M_1$, $M_2$, $M_1 - M_2$ inconnues, et on estime l'écart type de $D$ par $$ \sigma_D = \sqrt{{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 \over 100}}. $$ (On prend comme valeur approchée à $10^{-1}$ près de $\sigma_1$ la valeur $39, 4$.) \item{} On décide de construire un test bilatéral permettant de savoir s'il existe une différence significative au seuil de $5\%$ entre les durées de vie des moteurs fabriqués par les filiales MAT et MATIC. \item{} On choisit pour hypothèse $H_0$~: $M_1 = M_2$, et pour hypothèse alternative $H_1$~: $M_1 \neq M_2$. \itemitemalph Sous l'hypothèse $H_0$, $D$ suit la loi normale ${\cal N} (0, \sigma_D)$. Déterminer l'intervalle $[-h, h]$ tel que $P (-h \leq D \leq h) = 0, 95$. \itemitemalph \'Enoncer la règle de décision du test. \itemitemalph Utiliser ce test avec les deux échantillons de l'énoncé et conclure. \finexo \corrige{} \let \partie \llappartie \partie{I} % \num\ La variable $X$ suit la loi normale ${\cal N} (400, 40)$, donc la variable $T$ définie par $T = (X-400)/40$ suit la loi normale ${\cal N} (0, 1)$. On a donc $$\eqalign{ p (X \leq 318) &= p (X-400 \leq 318 - 400) \cr &= p \left( {X - 400 \over 40} \leq {318 - 400 \over 40} \right) \cr &= p \left( T \leq {318 - 400 \over 40} \right) = p (T \leq -2, 05) \cr &= p (T \geq 2, 05) \quad \hbox{vu la symétrie de la courbe de la loi ${\cal N} (0, 1)$} \cr &= 1 - \Pi (2, 05) = 1 - 0, 979\, 8 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{p (X \leq 318) = 0, 0202} \cr }$$ \alphnum\ On procède 50 fois de suite à l'expérience \og {\sl prélever un moteur dans la production}\fg. Les {\bf 50 tirages sont considérés indépendants}, et il n'y a {\bf que deux issues} qui nous interressent~: le moteur tiré est ou non commercialisable, la probabilité qu'un moteur soit non commercialisable étant $p = 0, 02$. On est dans le cadre d'un schéma de Bernouilli, et la variable $Y$ suit \tresultat{la loi binômiale ${\cal B} (50\, ; 0, 02)$}. \alph\ Si l'on a au plus trois moteurs non commercialisables, c'est que $Y \leq 3$. D'où le calcul suivant, en notant $p = 0, 02$ et $q = 1 - p = 0, 98$~: $$\eqalign{ p (Y \leq 3) &= p (Y = 0) + p (Y = 1) + p (Y = 2) + p (Y = 3) \cr &= C_{50}^0 p^0 q^{50} + C_{50}^1 p^1 q^{49} + C_{50}^2 p^2 q^{48} + C_{50}^3 p^3 q^{47} \cr &= q^{50} + 50 p q^{49} + {50 \times 49 \over 2} p^2 q^{48} + {50 \times 49 \times 48 \over 3 \times 2} p^3 q^{47} \cr &\approx 0, 364\, 2 + 0, 371\, 6 + 0, 185\, 8 + 0, 060\, 7 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{p (Y \leq 3) \approx 0, 982\, 2} }$$ \partie{II} % \num\ On trouve \dresultat{m_1 = 398, 8} et \dresultat{\sigma_1 \approx 39, 38} \alphnum\ Avec la valeur approchée $\sigma_1 = 39, 4$, on trouve $\sigma_D \approx 5, 65$. La variable aléatoire $D$ suit donc la loi normale ${\cal N} (0\, ; 5, 65)$, et la variable $T$ définie par $T = D/5, 65$ suit la loi normale ${\cal N} (0, 1)$. Donc~: $$\eqalign{ p (-h \leq D \leq h) &= p \left( - {h \over 5, 65} \leq {D \over 5, 65} \leq {h \over 5, 65}\right) \cr &= p \left( - {h \over 5, 65} \leq T \leq {h \over 5, 65}\right) \cr &= 2 \Pi \left( {h \over 5, 65} \right) - 1 }$$ Pour avoir cette probabilité égale à $0, 95$, il faut donc avoir $2 \Pi (h/ 5, 65) = 1, 95$, soit $\Pi (h/5, 65) = 0, 975$. Avec la table donnée dans le formulaire, on voit que l'on doit avoir $h/5, 65 = 1, 96$, soit \mresultat{h = 11, 074} \alph\ {\sl \'Enoncé de la règle de décision}~: On prélève avec remise un échantillon aléatoire de taille $n= 100$ sur la production d'une journée de la filiale MAT et on calcule la moyenne $m_1$ de la durée de vie, en heures, des moteurs de l'échantillon. On fait de même pour la production de la filiale MATIC et on pose $d = m_2 -m_1$. \item{} si $d \in [-11, 074\, ; 11, 074]$ on accepte $H_0$. \item{} si $d \not \in [-11, 074\, ; 11, 074]$ on rejette $H_0$ et on accepte $H_1$. \alph\ Ici, on trouve $d = 406, 8 - 398, 8 = 8$. On en conclut qu'il n'y a \tresultat{pas de différence significative} au seuil de $5\%$ entre les durées de vie des moteurs fabriqués par les filiales MAT et MATIC. \fincorrige