\exo{La machine à bouchons, {\rm bts mai}, {\sl 1996}} Une machine fabrique plusieurs milliers de bouchons cylindriques par jour. On admet que la variable aléatoire $X$ qui, à chaque bouchon, associe son diamètre exprimé en millimètres, suit la loi normale de moyenne $m = 22\mm$ et d'écart-type $\sigma = 0, 025\mm$. Les bouchons sont acceptables si leur diamètre appartient à l'intervalle $[21, 95; 22, 05]$. Les trois questions de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. \itemnum Quelle est la probabilité qu'un bouchon pris au hasard dans la production soit acceptable~? \itemnum Dans cette question, on considère que la probabilité qu'un bouchon soit défectueux est $q = 0, 05$. \item{} On prélève au hasard un échantillon de 80~bouchons (ce prélèvement est assimilé à un tirage de 80~bouchons avec remise). On nomme $Y$ la variable aléatoire mesurant le nombre de bouchons défectueux d'un tel échantillon. \itemitemalph Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Y$~? Déterminer l'espérance mathématique de la variable $Y$. \itemitemalph On approche $Y$ par une variable aléatoire $Y_1$ qui suit une loi de Poisson ${\cal P} (\lambda)$. Quelle est la valeur du paramètre $\lambda$~? \itemitem{} Calculer la probabilité que l'échantillon prélevé contienne exactement 10~bouchons défectueux. \itemnum En vue du contrôle de réglage de la machine, on prélève régulièrement dans la production des échantillons de 100~bouchons. \item{} On appelle $\overline X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100~bouchons, associe le diamètre moyen des bouchons de cet échantillon. \item{} Lorsque la machine est bien réglée, $\overline X$ suit la loi normale de paramètres $m$ et $\sigma' = \sigma/10$ (on rappelle que $m=22$ et $\sigma = 0, 025$). \itemitemalph Déterminer le réel $a$ tel que $P (22-a \leq \overline X \leq 22 + a) = 0, 95$. \itemitemalph Sur un échantillon de 100~bouchons, on a les résultats suivants (les mesures des diamètres étant réparties en classe d'amplitude $0, 02\mm$)~: $$\vcenter{\offinterlineskip \halign{ % preamble #\tv && \cc{$#$}& #\tv \cr \noalign{\hrule} &{\rm Classes\ de\ diamètres}&& {\rm effectif\ correspondant}& \cr \noalign{\hrule} & [21, 93 ; 21, 95[ && 3 & \cr \noalign{\hrule} & [21, 95 ; 21, 97[ && 7 & \cr \noalign{\hrule} & [21, 97 ; 21, 99[ && 27 & \cr \noalign{\hrule} & [21, 99 ; 22, 01[ && 30 & \cr \noalign{\hrule} & [22, 01 ; 22, 03[ && 24 & \cr \noalign{\hrule} & [22, 03 ; 22, 05[ && 7 & \cr \noalign{\hrule} & [22, 05 ; 22, 07[ && 2 & \cr \noalign{\hrule} }} $$ En supposant que tous les bouchons d'une classe ont pour diamètre la valeur centrale de cette classe, donner la moyenne et l'écart-type de cette série (aucune justification demandée; résultats arrondis à l'ordre $10^{-4}$). \itemitem{} En utilisant la question précédente, peut-on accepter au seuil de risque $5\%$, l'hypothèse selon laquelle la machine est bien réglée~? \finexo \corrige{} \itemnum Soit $A$ l'événement \og {\sl le bouchon est acceptable}\fg . Vu les conditions posées par l'énoncé, la probabilité de l'événement $A$ est $p (A) = p (21, 95 \leq X \leq 22, 05)$. \item{} Or la variable $X$ suit la loi normale ${\cal N} (22; 0, 025)$, donc la variable $T$ définie par \smash{$ \displaystyle T = {X-22 \over 0, 025}$} suit la loi normale centrée réduite ${\cal N} (0; 1)$. \item{} On a donc $$\eqalign{ p (A) = p (21, 95 \leq X \leq 22, 05) &= p (-0, 05 \leq X-22 \leq 0, 05) \cr &= p \left( {-0, 05 \over 0, 025} \leq {X-22 \over 0, 025} \leq {0, 05 \over 0, 025}\right) \cr &= p (-2 \leq T \leq 2) \cr &= 2\Pi (2) - 1 \quad \hbox{vu la symétrie de la courbe de la loi ${\cal N} (0, 1)$} \cr &= 2 \times 0, 977\, 2 - 1 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{p (A) = 0, 954\, 4} \cr }$$ \itemalphnum Dans cette expérience, les 80~tirages sont indépendants (puisqu'avec remise), et il n'y a que deux issues possibles (bouchon défectueux ou non), l'issue qui nous intéresse ayant une probabilité de $0, 05$. La variable $Y$ suit donc la \tresultat{loi binômiale ${\cal B} (80; 0, 05)$}, et son espérance mathématique est $E (Y) = 80 \times 0, 05$, soit \mresultat{E (Y) = 4}. \itemalph La variable $Y_1$ suit une loi de Poisson ${\cal P} (\lambda)$. Or le cours nous dit que la loi binômiale ${\cal B} (n, p)$ peut être approchée, sous certaines conditions, par la loi de poisson ${\cal P} (np)$ (on conserve la même valeur de l'espérance). Ici, le paramètre $\lambda$ est donc \mresultat{\lambda = 4}. Dans ce cas, on lit dans le formulaire que \mresultat{p (Y_1 = 10) = 0, 005}. \itemalphnum La variable aléatoire $\overline X$ suit la loi normale ${\cal N} (m, \sigma')$, donc la variable $T$ définie par $\displaystyle T = {\overline X - m \over \sigma'}$ suit la loi normale centrée réduite ${\cal N} (0, 1)$. De la même façon qu'à la question {\bf 1.}, on a~: $$\eqalign{ p \big( 22-a \leq \overline X \leq 22+a \big) &= p \left( {22-a-m \over \sigma'} \leq T \leq {22+a-m \over \sigma'} \right) \cr &= p \left( -{a \over \sigma'} \leq T \leq {a \over \sigma'} \right) \cr &= 2\Pi \left({a \over \sigma'} \right) - 1 \quad \hbox{vu la symétrie de la courbe de la loi ${\cal N} (0, 1)$} \cr }$$ Pour avoir $p \big( 22-a \leq \overline X \leq 22+a \big) = 0, 95$, il faut donc avoir $2\Pi \left({a \over \sigma'} \right) - 1 = 0, 95$, soit $\Pi \left({a \over \sigma'} \right) = 0, 975$. Un coup d'{\oe }il sur le formulaire nous dit qu'alors, on doit avoir $a /\sigma' = 1, 96$, soit $a = 1, 96 \times \sigma'$. Finalement, on obtient \mresultat{a = 0, 004\, 9}. \itemalph Le calcul des moyenne et écart-type de l'échantillon donne \mresultat{m = 21, 998\, 8} et \mresultat{\sigma \approx 0, 246\, 3}. \item{} La question précédente nous dit que si la machine est bien réglée, alors la moyenne des diamètres d'un échantillon a $95\%$ de chances d'être dans l'intervalle $[21, 995\, 1 ; 22, 004\, 9]$. Comme la moyenne de notre échantillon est bien dans cet intervalle, on peut légitimement \tresultat{accepter, au risque de $5\%$, l'hypothèse} selon laquelle la machine est bien réglée. \fincorrige