\exo{Une usine de plaquettes, {\rm bts mai}, {\sl 1998}} \let \partie \centerpartie \centerline{\bf Dans tout l'exercice, on arrondira les résultats à $10^{-2}$ près.} Une entreprise fabrique des plaquettes dont la longueur et la largeur sont mesurées en mm. \partie{A} Sur un échantillon de 100~plaquettes, on a mesuré la longueur de chaque plaquette et obtenu le tableau suivant~: $$\vbox{\offinterlineskip \halign { % preamble #\tv && \cc {$#$}& #\tv \cr \noalign {\hrule } & {\rm Longueur}&& [35, 37[&& [37, 39[&& [39, 41[&& [41, 43[&& [43, 45[& \cr \noalign {\hrule } & {\rm effectif}&& 3&& 25&& 50&& 20&& 2& \cr \noalign {\hrule } }} $$ \itemnum On veut calculer une valeur approchée de la moyenne $m$ et de l'écart type $s$ de l'échantillon. Pour cela, on fait comme si toutes les observations d'une classe étaient situées au centre de la classe. Calculer $m$ et $s$. Compte tenu de l'erreur de méthode induite par l'approximation précédente, les résultats seront donnés à $10^{-1}$ près. \itemnum On suppose que la variable aléatoire $L$ qui à chaque plaquette associe sa longueur suit une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart type $1, 6$. \itemitemalph Donner une estimation ponctuelle de $\mu$. \itemitemalph Déterminer un intervalle de confiance à $95\%$ de $\mu$ centré sur la valeur obtenue pré\-cé\-dem\-ment. \partie{B} On suppose dans cette partie que $L$ suit une loi normale de moyenne $40$ et d'écart type $1, 6$ et que la largeur $\ell $ suit une loi normale de moyenne $25$ et d'écart type $1, 2$. \itemnum On tire une plaquette au hasard dans la production. \itemitemalph Quelle est la probabilité d'obtenir une longueur comprise entre $37$ et $43 \mm $~? \itemitemalph Quelle est la probabilité d'obtenir une largeur comprise entre $22$ et $28 \mm $~? \itemnum Une plaquette est acceptée si sa longueur est comprise entre $37$ et $43 \mm $ et sa largeur est comprise entre $22$ et $28 \mm $. \item{} En admettant que $L$ et $\ell $ sont des variables aléatoires indépendantes, quelle est la probabilité d'obtenir une plaquette qui soit acceptée~? \partie{C} La probabilité d'obtenir une plaquette qui soit rejetée est égale à $0, 07$. On appelle $X$ la variable aléatoire qui à un lot de $100$~plaquettes extraites de la fabrication associe le nombre de plaquettes rejetées contenues dans ce lot. \itemnum Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$~? Préciser ses paramètres et son espérance mathématique. \itemnum En admettant que la loi de $X$ peut être approchée par une loi de Poisson, préciser son paramètre. \item{} Quelle est alors la probabilité d'obtenir strictement moins de 10~plaquettes rejetées dans un lot de 100~plaquettes~? \finexo \corrige{} \let \partie \llappartie \partie {A} % \num \ On trouve \mresultat {m = 39, 86 \approx 39, 9} et \mresultat {s \approx 1, 6}. \num \ La variable $L$ suit la loi normale ${\cal N} (\mu ; 1, 6)$. La théorie de l'échantillonage nous dit qu'alors, la variable $\overline X$ qui associe à chaque échantillon de taille $n$ la moyenne des longueurs des plaquettes de l'échantillon suit la loi normale ${\cal N} \left( \mu ; {1, 6 \over \sqrt n}\right) $ (si $n>30$). Donc ici, avec $n = 100$, la variable $\overline X$ suit la loi normale ${\cal N} \left( \mu ; 0, 16\right) $, et la variable $T$ définie par $T = (\overline X - \mu ) / 0, 16$ suit la loi normale centrée réduite ${\cal N} (0, 1)$. \alph \ Comme estimation ponctuelle de $\mu $, on prend la moyenne $m$ de l'échantillon. Soit \mresultat {\mu = 39, 9}. \alph \ On veut un intervalle de confiance à 95\%, centré sur $\mu $, de la variable $\overline X$. Sachant que $p (-1, 96 \leq T \leq 1, 96) = 0, 95$ puisque $T$ suit la loi normale centrée réduite, il vient $$\eqalign{ 0, 95 &= p \left( -1, 96 \leq {\overline X - 39, 9 \over 0, 16} \leq 1, 96 \right) \cr &= p ( -1, 96 \times 0, 16 + 39, 9 \leq \overline X\leq 1, 96 \times 0, 16 + 39, 9 ) \cr &= p (39, 586\, 4 \leq \overline X \leq 40, 213\, 6) \cr &\approx p (39, 6 \leq \overline X \leq 40, 2) }$$ D'où l'intervalle de confiance à 95\% cherché~: \dresultat{[39, 6 \, ; 40, 2]}. \partie{B} % \num \ On suppose que $L$ suit la loi ${\cal N} (40 \, ; 1 ,6)$ et que $\ell $ suit la loi ${\cal N} (25 \, ; 1 ,2)$. Donc les variables $T$ et $t$, définies respectivement par $$ T = {L - 40 \over 1, 6} \qquad {\rm et} \qquad t = {\ell - 25 \over 1, 2} $$ suivent la loi normale centrée réduite ${\cal N} (0, 1)$. \alph \ Il vient alors~: $$\eqalign { p (37 \leq L \leq 43) &= p \left({37 - 40 \over 1, 6} \leq {L - 40 \over 1, 66} \leq {43 - 40 \over 1, 6} \right) \cr &= p (-1, 875 \leq T \leq 1, 875) \cr &= 2\Pi (1, 875) - 1 \qquad \hbox {vu la parité de la loi normale centrée réduite} }$$ Comme $\Pi (1, 875)$ n'est pas dans le formulaire, on fait une interpolation affine, et on prend comme valeur approchée $$ \Pi (1, 875) \approx {\Pi (1, 87) + \Pi (1, 88) \over 2 } \approx 0, 969\, 6 $$ On trouve finalement \dresultat{p (37 \leq L \leq 43) = 0, 939\, 2 \approx 0, 94}. \alph \ De la même façon, on a $$\eqalign { p (22 \leq \ell \leq 28) &= p \left({22 - 25 \over 1, 2} \leq {\ell - 25 \over 1, 2} \leq {28 - 25 \over 1, 2} \right) \cr &= p (-2, 5 \leq t \leq 2, 5) \cr &= 2 \Pi (2, 5) - 1 \cr &= 2 \times 0, 993\, 8 - 1 = 0, 987\, 6 }$$ soit \dresultat{p (22 \leq \ell \leq 28) \approx 0, 99}. Si on nomme $A$ l'événement~: \og {la longueur $L$ vérifie $37 \leq L \leq 43$}\fg , et $B$ l'événement~: \og {la largeur $\ell $ vérifie $22 \leq L \leq 25$}\fg , alors il est clair que l'on a $p (A) = 0, 95$ et $p (B) = 0, 99$, vu les questions précédentes. Une plaquette est acceptée si l'événement $A \cap B$ est réalisé. Or, les événements $A$ et $B$ étant indépendants, on a $p (A \cap B) = p (A) \times p (B) \approx 0, 927\, 5$. La probabilité d'obtenir une plaquette qui soit acceptée est donc \mresultat {p \approx 0, 93}; \partie {C} % \num \ On tire 100~plaquettes dans les mêmes conditions et avec remise. Tous les tirages sont in\-dé\-pen\-dants, et la seule issue qui nous intéresse est de savoir si la plaquette est rejetée ou non, la probabilité qu'une plaquette soit rejetée étant de $1 - 0, 93 = 0, 07$. On est donc dans le cadre d'un schéma de Bernouilli et la variable $X$ égale au nombre de plaquette rejetées après 100~tirages suit une \tresultat {loi binomiale ${\cal B} (100 \, ; 0, 07)$}. Son espérance est $E (X) = 100 \times 0, 07$, soit \mresultat {E (X) = 7}. \num \ Si on approxime cette loi par une loi de Poisson, on conserve l'espérance, donc le paramètre est \mresultat {\lambda = 7}. On aura alors $$ p (X < 10) = \sum _{i = 0}^{i = 9} p (X = i) \approx 0, 829 $$ soit \mresultat {p (X < 10) \approx 0, 83}. \fincorrige