\exo {Des paquets de farine, {\sl bts MAI, 1993}} Une machine est chargée de conditionner des paquets de farine. La masse $M$ d'un paquet est une variable aléatoire qui suit une loi normale d'écart-type constant $\sigma = 30$, et dont la moyenne $m$ peut-être modifiée. Un paquet est refusé si sa masse est inférieure à 995~grammes. \itemnum On suppose que la moyenne $m$ est égale à $1\, 000$. \itemitemalph Quelle est la probabilité pour qu'un paquet soit refusé~? \itemitemalph On suppose que la probabilité pour qu'un paquet soit refusé est $p = 0, 07$. On dispose de 100~paquets. Soit $X$ la variable aléatoire dénombrant le nombre de paquets à rejeter. \itemitem {} Quelle est la loi de $X$~? Calculer $p (X=3)$. \itemitem {} On assimile la loi de $X$ à une loi de Poisson. Indiquer le paramètre de cette loi de Poisson et déterminer la valeur indiquée pour $p (X\leq 5)$. \itemnum Afin de diminiuer le nombre de paquets refusés, on décide de modifier le réglage de la machine. \itemitemalph Quelle doit être la valeur de $m$ pour que la probabilité d'accepter un paquet soit égale à $0, 99$~? \itemitemalph La machine est réglée de telle sorte que $m = 1\, 025$. Afin de vérifier ce réglage, on prélève un échantillon de 20~paquets et on déterminer la masse moyenne $\overline x$. \itemitem {} Déterminer l'intervalle centré en $m$ contenant $\overline x$ avec une probabilité de $0, 95$. \finexo \corrige {} \itemalphnum La variable aléatoire $M$ suit la loi normale ${\cal N} (1\, 000, 30)$, donc la variable aléatoire $T = (M - 1\, 000) / 30$ suit la loi normale centrée réduite ${\cal N} (0, 1)$. On aura donc en particulier $$\eqalign { p ({\rm refus}) = p (M < 995) &= p \left( {{M - 1\, 000 \over 30} < {995 - 1\, 000 \over 30}}\right) \cr &= p \left( T < - {1 \over 6} \right) = \Pi \left( - {1 \over 6} \right) \cr &= 1 - \Pi \left( {1 \over 6} \right) \quad \hbox {car la loi normale centrée réduite est paire} \cr &\approx 1 - 0, 567\, 5 \approx 0, 432 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p ({\rm refus}) \approx 0, 432} \cr }$$ \itemalph $\bullet $ On effectue 100 fois de suite l'expérience qui consiste à prendre un paquet et à observer sa masse. Les expériences sont indépendantes les unes des autres, et les seules issues possibles sont \og {\sl refusé}\fg \ (avec une probabilité de $0, 07$) ou non. La variable $X$ suit donc la \tresultat {loi binômiale ${\cal B} (100 \, ; 0, 07)$}. \item {} Dans ce cas, on aura $$ p (X = 3) = C_{100}^3 (0, 07)^3 (0, 93)^{97} = {100 \times 99 \times 98 \over 3!} (0, 07)^3 (0, 93)^{97} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (X=3) \approx 0, 049} $$ \item {} $\bullet $ On assimile la loi de $X$ à une loi de Poisson. On conserve l'espérance mathématique de la loi binômiale $E (X) = 100 \times 0, 07 = 7$. Le paramètre de cette loi est donc \mresultat {\lambda = 7}. Dans ce cas, il vient $$\eqalign{ p (X \leq 5) &= p (X=0) + p (X=1) + p (X=2) + p (X=3) + p (X=4) + p (X=5) \cr &= 0, 001 + 0, 006 + 0, 022 + 0, 052 + 0, 091 + 0, 218 \cr }$$ soit finalement \dresultat {p (X \leq 5) \approx 0, 3} \itemalphnum On veut avoir $p ({\rm refus}) = 0, 01$. En reprenant les calculs du {\bf 1.}~{\sl a\/}), on voit que l'on a $$ p ({\rm refus}) = p (M < 995) = p \left( {M - m \over 30} < {995 - m \over 30} \right) = p \left( T < {995 - m \over 30} \right) = \Pi \left( {995 - m \over 30} \right) $$ De plus, on sait que l'on doit avoir $(995 - m) / 30$ négatif puisque $\Pi (t) \geq 0, 5$ pour tout réel $t$ positif ou nul. D'où $$ p ({\rm refus}) = 1 - \Pi \left( {m - 995 \over 30} \right) \qquad {\rm soit} \qquad \Pi \left( {m - 995 \over 30} \right) = 0, 99 $$ La lecture du formulaire nous donne alors $(m - 995) / 30 = 2, 33$ (puisque $\Pi (2, 33) = 0, 9901$), soit \mresultat {m = 1\, 064, 9}. \itemalph Si la variable aléatoire $M$ suit une loi normale de moyenne $m = 1\, 025$ et d'écart-type $\sigma = 30$, alors la variable aléatoire $\overline X$, égale à la moyenne des masses d'un échantillon de 20~paquets, suit la loi normale ${\cal N} (1\, 025, 30 / \sqrt {20})$. La variable $\displaystyle \overline T = {\overline X - m \over 30 / \sqrt {20}} = {\overline X - 1\,025 \over 30 / \sqrt {20}}$ suit alors la loi normale centrée réduite ${\cal N} (0, 1)$. \item {} On veut trouver le nombre $a$ tel que $p (m-a \leq \overline X \leq m+a) = 0, 95$. Or $$\displaylines { \eqalign { p (m-a \leq \overline X \leq m+a) &= p \left( {m - a - m \over 30 / \sqrt {20}} \leq {\overline X - m \over 30 / \sqrt {20}} \leq {m + a - m \over 30 / \sqrt {20}} \right) \cr &= p \left( {- a \over 30 / \sqrt {20}} \leq \overline T \leq {a \over 30 / \sqrt {20}} \right) = 2 \Pi \left( {a \over 30 / \sqrt {20}} \right) - 1 \cr &= 0, 95 \cr }\cr {\rm d'où} \qquad \Pi \left( {a \over 30 / \sqrt {20}} \right) = {1 \over 2} (1+0,95) = 0, 975 }$$ Dans le formulaire, on lit que $\Pi (t) = 0, 975$ pour $t = 1, 96$. D'où $$ a = 1, 96 \times {30 \over \sqrt {20}} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {a \approx 13, 15} $$ L'intervalle cherché est donc \tresultat {l'intervalle $[1\, 011, 85 \, ; 1\, 038, 15]$}. \fincorrige