\exo {Des glaces~! {\rm bts mai}, {\sl 1995}} \let \partie \centerpartie Une fabrique de desserts glacés dispose d'une chaîne automatisée pour remplir et emballer des cônes de glace. \partie {A} Chaque cône est rempli avec de la glace à la vanille. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque cône, associe la masse (exprimée en grammes) de glace qu'il contient. On suppose que $X$ suit la loi normale de paramètres $m = 100$ et $\sigma $. \itemnum Dans cette question, $\sigma = 2\sqrt 2$. \item {} On choisit au hasard un cône rempli de glace. Calculer, à $10^{-2}$~près, la probabilité que la masse qu'il contient soit comprise entre $95$~g et $105$~g. \itemnum Un cône est considéré comme \og bon \fg \ lorsque la masse de glace qu'il contient appartient à l'intervalle $[95\, ; 105]$. Déterminer la valeur du paramètre $\sigma $ telle que la probabilité de l'événement \og {\sl le cône est bon}\fg \ soit égale à $0, 95$ (on donnera le résultat avec deux décimales). \partie {B} Les cônes de glace sont emballés individuellement puis conditionnés en lots de $2\, 000$ pour la vente en gros. On considère que la probabilité qu'un cône présente un défaut quelconque avant son con\-di\-tion\-ne\-ment en gros est égale à $0, 000 \, 5$. On nomme $Z$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de $2\, 000$ cônes prélevés au hasard dans la production, associe le nombre de cônes défectueux présents dans le lot. \itemnum Quelle est la loi suivie par $Z$~? \itemnum On admet que la loi de $Z$ peut être approchée par une loi de Poisson. \itemitemalph Déterminer le paramètre de cette loi. \itemitemalph Si un client reçoit un lot contenant au moins 5~cônes défectueux, l'entreprise procède alors à un échange de ce lot. \itemitem{} Calculer la probabilité qu'un lot soit inchangé. \finexo \corrige {} \let \partie \llappartie \partie {A} % La variable $X$ suit la loi normale ${\cal N} (100, \sigma )$, donc la variable $T$ définie par $\displaystyle T = {X - 100 \over \sigma }$ suit la loi normale centrée réduite ${\cal N} (0, 1)$. \num \ On a $\sigma = 2\sqrt 2$. Il vient $$\eqalign { p (95 \leq X \leq 105) &= p \left( {95 -100 \over \sigma } \leq {X -100 \over \sigma } \leq {105 - 100 \over \sigma }\right) \cr &= p \left( - {5 \over \sigma } \leq T \leq {5 \over \sigma }\right) \cr &= 2 \Pi \left( {5 \over \sigma } \right) - 1 \qquad \hbox {vu la parité de la loi ${\cal N} (0, 1)$} \cr &\approx 2 \Pi (1, 77) - 1 \approx 0, 923\, 2 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (95 \leq X \leq 105) = 0, 92} \cr }$$ \num \ On a vu précedemment que $$ p (95 \leq X \leq 105) = 2 \Pi \left( {5 \over \sigma } \right) - 1 $$ Pour avoir cette probabilité égale à $0, 95$, on doit donc avoir $$ 2 \Pi \left( {5 \over \sigma } \right) = 1, 95 \qquad {\rm soit } \qquad \Pi \left( {5 \over \sigma } \right) = 0, 975 $$ Dans le formulaire qui donne $\Pi (t)$ en fonction de $t$ pour la loi normale ${\cal N} (0, 1)$, on voit que la valeur de $t$ qui correspond le mieux à $\Pi (t) = 0, 975$ est la valeur \dresultat {t = 1, 96}. On doit donc avoir $$ {5 \over \sigma }= 1, 96 \qquad {\rm soit } \qquad \dresultat {\sigma = {5 \over 1, 96} \approx 2, 55} $$ \partie {B} % \num \ On suppose que la production est suffisamment importante pour que les tirages puissent être supposés indépendants les uns des autres. La seule issue qui nous intéresse pour chaque tirage est~: cône défectueux (probabilité $0, 000\, 5$) ou non. Nous sommes dans un schéma de Bernouilli, et la variable $Z$, qui compte les défectueux, suit $$\tresultat {la loi binômiale ${\cal B} (2\, 000 \; ; 0, 000\, 5)$},$$ d'espérance mathématique $E (X) = 2.10^3 \times 5.10^{-4} = 1$. \alphnum \ En approximant la loi précédente par une loi de Poisson, on garde la même espérance mathématique, d'où la valeur du paramètre \dresultat {\lambda = 1}. \alph \ Un lot reste inchangé s'il y a strictement moins de 5~cônes défectueux. Or $$\eqalign { P (Z < 5) &= \sum _{i = 0}^{i = 4} p (Z = i) \cr &= p (Z = 0) + p (Z = 1) + p (Z = 2) + p (Z = 3) + p (Z = 4) \cr &= 0, 368 + 0, 368 + 0, 184 + 0, 061 + 0, 015 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (Z < 5 ) = 0, 996} \cr }$$ où les valeurs de $p (Z = i)$ ont été lues dans le formulaire. \fincorrige