\exo {Assurances d'une flotte de véhicules}

\centerline {\bf Les quatres questions de cet exercice sont indépendantes.}

Dans un groupe d'assurances on s'intéresse aux sinistres suceptibles
de survenir, une année donnée, aux véhicules de la flotte d'une
importante entreprise de maintenance de chauffage collectif.

{\bf Dans cet exercice, sauf mention du contraire, les résultats sont
à arrondir à $10^{-3}$ près.}

\itemnum {\sl \' Etude du nombre de sinistres par véhicule}

\item {} Soit $X$ la variable aléatoire qui, à tout véhicule tiré au hasard
dans un des parcs de la flotte, associe le nombre de sinistres
survenant pendant l'année considérée.

\item {} On admet que $X$ suit la loi de Poisson de paramètre $0, 28$.

\itemitemalph Calculer la probabilité de l'événement $A$~: \og \sl un
véhicule tiré au hasard dans le parc n'a aucun sinistre pendant
l'année considérée\fg .

\item {} \itemitemalph Calculer la probabilité de l'événement $B$~: \og \sl un
véhicule tiré au hasard dans le parc a, au plus, deux sinistres
pendant l'année considérée\fg .

\itemnum {\sl \' Etude du nombre de sinistres dans une équipe de 15 conducteurs}

\item {} On note $E$ l'événement~: \og \sl un conducteur tiré au hasard dans
l'ensemble des conducteurs de l'entreprise n'a pas de sinistre pendant
l'année considérée\fg .

\item {} On suppose que la probabilité de l'événement $E$ est $0, 6$.

\item {} On tire au hasard 15 conducteurs dans l'effectif des conducteurs de
l'entreprise. Cet effectif est assez important pour que l'on puisse
assimiler ce prélèvement à untirage avec remise de 15 conducteurs.

\item {} On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 15
conducteurs, associe le nombre de conducteurs n'ayant pas de sinistre
pendant l'année considérée.

\itemitemalph Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi
binomiale et déterminer ses paramètres. 

\itemitemalph Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, 10
conducteurs n'aient pas de sinistre pendant l'année  
considérée.

\itemnum {\sl \' Etude du coût des sinistres}

\item {} Dans ce qui suit, on s'intéresse au coût d'une certaine catégorie de
sinistres survenus dans l'entreprise pendant l'année considérée.

\item {} On considère la variable aléatoire $C$ qui, à chaque sinistre tiré au
hasard parmi les sinistres de cette catégorie, associe son coût en
euros.

\item {} On suppose que $C$ suit la loi normale de moyenne $1\, 200$ et d'écart
type $200$.

\item {} Calculer la probabilité qu'un sinistre tiré au hasard parmi les
sinistres de ce type coûte entre $1\, 000$~euros et $1\, 500$~euros.

\itemnum {\bf La question ci-dessous doit être traitée par les
candidats de toutes les spécialités de BTS du groupement B, 
à l'exception du BTS Maintenance et exploitation des matériels
aéronautiques.}

\item {} On considère un échantillon de $100$ véhicules prélevés au hasard dans
le parc de véhicules mis en service depuis 6~mois.  Ce parc contient
suffisamment de véhicules pour qu'on puisse assimiler ce tirage à un
tirage avec remise.

\item {} On constate que $91$~véhicules de cet échantillon n'ont pas eu de
sinistre.

\itemitemalph Donner une estimation ponctuelle du pourcentage $p$ de
véhicules de ce parc qui n'ont pas eu de sinistre  
6~mois après leur mise en service.

\itemitemalph Soit $F$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de
$100$~véhicules prélevés au hasard et avec remise dans  
ce parc, associe le pourcentage de véhicules qui n'ont pas eu de
sinistre 6~mois après leur mise en service.

\itemitem {} On suppose que $F$ suit la loi normale
$$
   {\cal N} \left( p, \sqrt {p (1-p)\over 100}\right)
$$
où $p$ est le pourcentage inconnu de véhicules du parc qui n'ont pas
eu de sinistre 6~mois après leur mise en service.

\itemitem {} Déterminer un intervalle de confiance du pourcentage $p$
avec le coefficient de confiance  $95\% $. 

\itemitemalph On considère l'affirmation suivante~: \og \sl le pourcentage $p$ est obligatoirement dans l'intervalle de 
confiance obtenu à la question b\/{\rm )}\fg . Est-elle vraie~? (On ne
demande pas de justification.)

\advance \numno by -1
\itemnum {\bf La question ci-dessous doit être traitée uniquement par
les candidats au BTS Maintenance et exploitation des matériels
aéronautiques.}

\item {} Pour un parc de véhicules, on a relevé le nombre de sinistres par
véhicule pendant la première année de mise en service.

\item {} Pour les véhicules ayant eu, au plus, quatre sinistres, on a obtenu~:
$$
\vcenter {\offinterlineskip \halign {
   %% preamble 
      #\tv && \cc{$#$}& #\tv
   \cr 
   \noalign {\hrule }
      & \matrix {
         \hbox {\tvi height 12pt depth 0pt Nombre de}\cr 
         \hbox {\tvi height 0pt depth 8pt sinistres~: $x_i$}}
      && 0&& 1&& 2&& 3&& 4&
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & \hbox {Effectif~: $n_i$}
      && 1\, 345&& 508&& 228&& 78&& 35&
   \cr
   \noalign {\hrule }
}}
$$

\itemitemalph Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant~:
$$
\vcenter {\offinterlineskip \halign {
   %% preamble 
      #\tv && \cc{$#$}& #\tv
   \cr 
   \noalign {\hrule }
      & \matrix {
         \hbox {\tvi height 12pt depth 0pt Nombre de}\cr 
         \hbox {\tvi height 0pt depth 8pt sinistres~: $x_i$}}
      && 0&& 1&& 2&& 3&& 4&
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & y_i = \ln n_i
      && && && && && &
   \cr
   \noalign {\hrule }
}}
$$

\itemitemalph Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, une équation de
la droite de régression de $y$ en $x$ sous la forme 
$$
   y = ax+b
$$
où $a$ et $b$ sont à arrondir à $10^{-2}$.

\itemitemalph \` A l'aide de l'équation précédente, estimer le nombre
de véhicules ayant eu six sinistres pendant  
leur première année de mise en circulation.

\finexo

\corrige

\itemnum On a donc $X$ qui suit ${\cal P} (0, 28)$.

\itemalph Il vient $p (A) = p (X=0) = e^{-0, 28}$, soit \dresultat {p (A) \approx 0, 756}.

\itemalph Il vient
$$\eqalign { p (B) &= p (X\leq 2) = p (X=0) + p (X=1) + p (X=2)
\cr
      &= e^{-0, 28}+ 0, 28e^{-0, 28} + {0, 28^2\over 2}e^{-0, 28}
\cr
      &= e^{-0, 28} \left( 1 + 0, 28 + {0, 28^2\over 2}\right) \qquad
      {\rm soit} \qquad \dresultat {p (B) \approx 0, 997}.  }$$

\itemalphnum On a 15~tirages {\bf indépendants} (puisqu'assimilés à des tirages avec remise), chacun d'entre eux n'a que 
{\bf 2 issues possibles} ($E$ ou $\overline E$), et la variable $Y$
{\bf compte le nombre d'événements $E$}, la probabilité de $E$ étant
de $0, 6$. On en conclut que la variable $Y$ suit la loi binomiale
\dresultat {{\cal B} (15;0,6)}.

\itemalph Il vient
$$\eqalign { p (Y=10) &= C_{15}^{10} \times (0, 6)^{10} \times (0,
4)^5
\cr
   &= C_{15}^{5} \times (0, 6)^{10} \times (0, 4)^5
\cr
   &= {15\times 14\times 13\times 12\times 11\over 5!} \times (0,
6)^{10} \times (0, 4)^5 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (Y =
10) \approx 0, 002}.
\cr
}$$

\itemnum On a $C$ qui suit la loi ${\cal N} (1\, 200; 200)$, donc la variable $T$ définie par
$$
   T = {C - 1\, 200\over 200}
$$
suit la loi normale centrée réduite ${\cal N} (0, 1)$. D'où
$$\eqalign { p (1\, 000 \leq C\leq 1\, 500) &= p \left( {1\, 000 - 1\,
200\over 200}\leq {C- 1\, 200\over 200}\leq {1\, 500- 1\, 200\over
200}\right)
\cr
      &= p \left( -1\leq T\leq {3\over 2}\right)
\cr
      &= \Pi (1, 5) - \Pi (-1) = \Pi (1, 5) + \Pi (1) - 1
\cr
      &= 0, 933\, 2 + 0, 841\, 3 - 1 \qquad {\rm soit} \qquad
         \dresultat {p (1\, 000 \leq C\leq 1\, 500) \approx 0, 775}.
         }$$

\itemalphnum Une estimation ponctuelle de $p$ est \dresultat {f = {91\over 100} = 0, 91}.

\itemalph On sait que $F$ suit la loi normale ${\cal N} (p, \sigma ')
         = {\cal N} \left( p, \sqrt {p (1-p)\over 100}\right) $.  
Or pour calculer un intervalle de confiance, nous avons besoin d'une
estimation de l'écart type $\sigma '$.  Une estimation ponctuelle de
$p$ étant $f = 0, 91$ sur un échantillon de taille $n = 100$, le cours
nous dit qu'une estimation ponctuelle de $\sigma '$ est
$$
   s = \sqrt {n\over n-1} \times \sqrt {f (f-1)\over n} = \sqrt {f
   (f-1)\over n-1} = \sqrt {0, 91 \times 0, 09\over 99}
$$
soit $s \approx 0, 009\, 1$.

\item {} Sachant donc que $F$ suit la loi normale ${\cal N} (p, \sigma
')$, on en déduit que la variable $Z$ définie par $Z = (F-p)/\sigma '$
 suit la loi normale ${\cal N} (0; 1)$, et nous cherchons le réel $a$
 tel que
$$\displaylines { p (p-a \leq F \leq p+a) = 0, 95
\cr
      \Longleftrightarrow \quad p \left( - {a\over \sigma'} \leq Z
   \leq {a\over \sigma '}\right) = 0, 95 = 2\Pi \left( {a\over \sigma
   '}\right) - 1
\cr
      \Longleftrightarrow \quad {a\over \sigma '} = 1, 96 \quad
   \Longleftrightarrow \quad a = 1, 96 \sigma '
\cr
}$$ En utilisant l'estimation ponctuelle $s$ de $\sigma '$, il vient
$a\approx 0, 01784$. En utilisant maintenant l'estimation ponctuelle
$f$ de $p$, on trouve comme \tresultat {intervalle confiance à $95\%
$~: $[90, 982 ; 91, 018]$}.

\fincorrige
