\exo {Des tiges métalliques\dots , \sl bts mai, session 2004} %\let \partie \centerpartie \centerline {\bf Les trois parties de cet exercice sont indépendantes} Une entreprise fabrique, en grande quantité, des tiges métalliques cylindriques pour l'industrie. Leur longueur et leur diamètre sont exprimés en millimètres. \centerline {\bf Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à 10\raise 3pt \hbox {\eightbf -2}} \partie {\sl A - Loi normale} Une tige de ce type est considérée comme conforme pour la longueur lorsque celle-ci appartient à l'intervalle $[99, 45; 100, 55]$. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tige prélevée au hasard dans la production, associe sa longueur. On suppose que $X$ suit une loi normale de moyenne $100$ et d'écart-type $0, 25$. \itemnum Calculer la probabilité qu'une tige prélevée au hasard dans la production soit conforme pour la longueur. \itemnum Déterminer le nombre réel $h$ positif tel que~: $$ p (100 - h \leq X \leq 100 + h) = 0, 95. $$ Interpréter le résultat à l'aide d'une phrase. \partie {\sl B - Loi binomiale et loi de Poisson} Dans un lot de ce type de tiges, $3\% $ des tiges ne sont pas conformes pour la longueur. On prélève au hasard $50$ tiges de ce lot pour vérification de la longueur. Le lot est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $50$ tiges. On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de $50$ tiges, associe le nombre de tiges non conformes pour la longueur. \itemnum Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \itemnum Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux tiges ne soient pas conformes pour la longueur. \itemnum On considère que la loi suivie par $Y$ peut-être approchée par une loi de Poisson. Déterminer le paramètre $\lambda $ de cette loi de Poisson. \itemnum On désigne par $Z$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda $ où $\lambda $ a la valeur obtenue au {\bf 3.} \item {} Calculer $p (Z=2)$ et $p (Z\leq 2)$. \partie {\sl C - Intervalle de confiance} Dans cette question, on s'intéresse au diamètre des tiges, exprimé en millimètres. On prélève au hasard et avec remise un échantillon de $50$ tiges dans la production d'un journée. Soit $\overline D$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $50$ tiges prélevées au hasard et avec remise dans la production d'un journée, associe la moyenne des diamètres des tiges de cet échantillon. On suppose que $\overline D$ suit une loi normale de moyenne inconnue $\mu $ et d'écart-type $\sigma / \sqrt {50}$ avec $\sigma = 0, 19$. Pour l'échantillon prélevé, la moyenne obtenue, arrondie à $10^{-2}$, est $\overline x = 9, 99$. \itemnum \` A partir des informations portant sur cet échantillon, donner une estimation ponctuelle de la moyenne $\mu $ des tiges produites dans cette journée. \itemnum Déterminer un intervalle de confiance centré sur $\overline x$ de la moyenne $\mu $ des diamètres des tiges produites pendant la journée considérée, avec le coefficient de confiance de $95\% $. \itemnum On considère l'affirmation suivante~: \og \sl la moyenne $\mu $ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenue à la question {\bf 2.}\fg . \item {} Est-elle vraie~? (on ne demande pas de justification.) \finexo \corrige \let \partie \llappartie \partie {A} \vskip -5mm \itemnum La variable aléatoire $X$ suit une loi normale ${\cal N} (100; 0, 25)$, donc la variable aléatoire $T = (X-100)/ 0, 25$ suit une loi normale ${\cal N} (0;1)$. Il vient alors $$\eqalign { p (99, 45\leq X\leq 100, 55) &= p \left( {99, 45 - 100\over 0, 25}\leq {X - 100\over 0, 25}\leq {100, 55 - 100\over 0, 25} \right) \cr &= p (-2, 2\leq T\leq 2, 2) \cr &= 2\Pi (2, 2) - 1 = 2\times 0, 986\, 1 - 1 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (99, 45\leq X\leq 100, 55) = 0, 972} \cr }$$ \itemnum Il vient $$\displaylines { p (100 - h\leq X\leq 100 + h) = 0, 95 \cr \Longleftrightarrow \quad p \left( {100 - h - 100\over 0, 25}\leq {X - 100\over 0, 25}\leq {100 + h - 100\over 0, 25} \right) = 0, 95 \cr \Longleftrightarrow \quad p \left( -{h\over 0, 25}\leq T\leq {h\over 0, 25} \right) = 0, 95 \cr \Longleftrightarrow \quad 2\Pi \left( {h\over 0, 25}\right) - 1 = 0, 95 \qquad \Longleftrightarrow \qquad \Pi \left( {h\over 0, 25}\right) = {1, 95\over 2} = 0, 975 \cr }$$ Par lecture inverse de la table de la loi normale, on en déduit $$ {h\over 0, 25} = 1, 96 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {h = 0, 49} \qquad {\rm d'où} \qquad \dresultat {p (99, 51\leq X\leq 100, 49) = 0, 95} $$ Autrement dit, il y a $$ \tresultat {$95\% $ de chance que la longueur d'une tige prélevée au hasard soit comprise entre $99, 51$ et $100, 49$ mm} $$ \partie {B} \vskip -5mm \itemnum Nous avons {\bf 50 expériences indépendantes}, chacune de ces expériences n'ayant que {\bf 2 issues possibles} (conforme ou non). La variable $Y$ compte les tiges non conformes ($p = 0, 03$). Donc \tresultat {$Y$ suit une loi ${\cal B} (50; 0, 03)$}. \itemnum Il vient $$\eqalign { p (Y \leq 2) &= p (Y = 0) + p (Y = 1) + p (Y = 2) \cr &= C_{50}^0 \times 0, 03^0 \times 0, 97^{50} + C_{49}^1 \times 0, 03^1 \times 0, 97^{49} + C_{48}^2 \times 0, 03^2 \times 0, 97^{48} \cr &\approx 0, 218 + 0, 330 + 0, 235 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (Y \leq 2) = 0, 784} }$$ \itemnum Le paramètre de la loi de Poisson est \dresultat {\lambda = 50 \times 0, 03 = 1, 5} puisque l'on approche cette loi binomiale par une loi de Poisson ayant la même espérance. \itemnum Selon le formulaire, on a \dresultat {p (Z = 2) = 0, 251}, et $p (Z\leq 2) = 0, 223 + 0, 335 + 0, 251$, soit \dresultat {p (Z\leq 2) = 0, 809}. \partie {C} \vskip -5mm \itemnum Une estimation ponctuelle de $\mu $ est \dresultat {m = 9, 99}. \itemnum On utilise la formule du cours pour l'intervalle de confiance. Le coefficient de confiance étant de $0, 95$, il vient $$ 2\Pi (t) - 1 = 0, 95 \quad \Longleftrightarrow \quad \Pi (t) = 0, 975 \quad \Longleftrightarrow \quad t = 1, 96. $$ D'où l'intervalle cherché~: $$ \left[ 9, 99 - 1, 96\times {0, 19\over \sqrt {50}} ; 9, 99 + 1, 96\times {0, 19\over \sqrt {50}}\right] \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {[0, 937 ; 10, 0242 ]} $$ \itemnum L'affirmation proposée est \tresultat {évidemment fausse}. \fincorrige