\exo {Des pièces en série\dots , {\sl bts mai, session 1997}} Une entreprise fabrique en série des pièces dont le diamètre, mesuré en millimètres, définit une variable aléatoire $D$. On admet que cette variable aléatoire $D$ suit la loi normale de moyenne $m$ et d'écart type $\sigma $. \itemnum {\sl Estimation de $m$ et $\sigma $ :} \itemitemalph Un échantillon de 100 pièces est prélevé au hasard dans la production. Les mesures des diamètres des pièces de cet échantillon son regroupées dans le tableau suivant~: $$\vcenter {\offinterlineskip \halign { %% preamble #\tv && \cc {$#$}& #\tv \cr \noalign {\hrule } & \matrix {\hbox {\tvi depth 0pt Mesures des}\cr \hbox {\tvi height 0pt depth 6pt diamètres (en mm)}\cr}&& [4, 0; 4, 2[ && [4, 2; 4, 4[ && [4, 4; 4, 6[ && [4, 6; 4, 8[ && [4, 8; 5, 0[ & \cr \noalign {\hrule } \noalign {\hrule } & \rm effectif&& 6&& 24&& 41&& 25&& 4& \cr \noalign {\hrule } }} $$ En faisant l'hypothèse que, pour chaque classe, les valeurs mesurées sont égales à celle du centre de la classe, calculer, à $10^{-2}$ près, la moyenne $d$ et l'écart type $s$ de cet échantillon. \itemitem {} En déduire l'estimation ponctuelle de $\sigma $ fournie par cet échantillon. \itemitemalph On appelle $\overline D$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 pièces, associe la moyenne des diamètres des pièces de l'échantillon. \itemitem {} On rappelle que $\overline D$ suit la loi normale de moyenne $m$ et d'écart type $\sigma / 10$. \itemitem {} Déterminer un intervalle de confiance de la moyenne $m$ de $D$ au seuil de confiance de $95 \%$. \itemnum Dans cette question, on admet que la production comporte 5 \% de pièces inutilisables. \itemitemalph L'entreprise conditionne ses pièces par boîtes de $25$. \itemitem {} On tire une boîte au hasard (on assimilera cette épreuve à un tirage successif avec remise de $25$ pièces dans la production). \itemitem {} On désigne par K le nombre de pièces inutilisables dans cette boîte. \itemitem {} Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $K$~? \itemitem {} Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que cette boîte contienne au plus une pièce inutilisable. \itemitemalph Un client qui a besoin de $185$ pièces commande $8$ boîtes de pièces (on assimile cette épreuve à un tirage successif et avec remise de $200$ pièces dans la production). \itemitem {} On désigne par $L$ le nombre de pièces inutilisables dans cette commande. On admet que $L$ suit la loi de Poisson de paramètre $10$. \itemitem {} Quelle est la probabilité que le client dispose d'un échantillon suffisant de pièces utilisables dans sa commande~? \finexo