\exo {Production de rondelles\dots {\sl bts mai, session 2005}} \let \partie \centerpartie \centerline {\bf Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} Une usine fabrique, en grande quantité, des rondelles d'acier pour la construction. Leur diamètre est exprimé en millimètres. \centerline {\bf Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats approchés sont à arrondir à $10^{-2}$.} \partie {A -- loi normale} Une rondelle de ce modèle est conforme pour le diamètre lorsque celui-ci appartient à l'intervalle $[89, 6; 90, 4]$. \itemnum On note $X_1$ la variable aléatoire qui, à chaque rondelle prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre; On supppose que $X_1$ suit la loi normale de moyenne $90$ et d'écart type $\sigma = 0, 17$. \item {} Calculer la probabilité qu'une rondelle prélevée au hasard dans la production soit conforme. \itemnum L'entreprise désire améliorer la qualité de la production des rondelles~: il est envisagé de modifier le réglage des machines produisant les rondelles. \item {} On note $D$ la variable aléatoire qui, à chaque rondelle prélevée dans la production future, associera son diamètre. On suppose que la variable aléatoire $D$ suit une loi normale de moyenne $90$ et d'écart type $\sigma_1$. \item {} Déterminer $\sigma_1$ pour que la probabilité qu'une rondelle prélevée au hasard dans la production future soit conforme pour le diamètre soit égale à $0, 99$. \partie {B -- Loi binomiale} On note $E$ l'événement~: {\sl une rondelle prélevée au hasard dans un stock important a un diamètre défectueux}. On supppose que $p (E) = 0, 02$. On prélève au hasard quatre rondelles dans le stock pour vérification de leur diamètre. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de quatre rondelles. On considère la variable aléatoire $Y_1$ qui à tout prélèvement de quatre rondelles associe le nombre de rondelles de ce prélèvement ayant un diamètre défectueux. \itemnum Justifier que la variable aléatoire $Y_1$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \itemnum Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucune rondelle n'ait un diamètre défectueux. Arrondir à $10^{-3}$. \itemnum Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus une rondelle ait un diamètre défectueux. Arrondir à $10^{-3}$. \partie {C -- Approximation d'une loi binomiale par une loi normale} Les rondelles sont commercialisées par lot de $1\, 000$. On prélève au hasard un lot de $1\, 000$ dans un dépôt de l'usine. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de $1\, 000$ rondelles. On considère la variable aléatoire $Y_2$ qui, à tout prélèvement de $1\, 000$ rondelles, associe le nombre de rondelles non conformes parmi ces $1\, 000$ rondelles. On admet que la variable aléatoire $Y_2$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 1\, 000$ et $p = 0, 02$. On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $Y_2$ par la loi normale de moyenne $20$ et d'écart type $4, 43$. On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $20$ et d'écart type $4, 43$. \itemnum Justifier les paramètres de cette loi normale. \itemnum Calculer la probabilité qu'il y ait au plus $15$ rondelles non conformes dans le lot de $1\, 000$ rondelles, c'est à dire calculer $p (Z \leq 15, 5)$. \partie {D -- Test d'hypothèse} On se propose de construire un test d'hypothèse pour contrôler la moyenne $\mu $ de l'ensemble des diamètres, en millimètres, de rondelles constituant une livraison à effectuer. On note $X_2$ la variable aléatoire qui, à chaque rondelle prélevée au hasard dans la livraison, associe son diamètre. La variable aléatoire $X_2$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu $ et d'écart type $\sigma = 0, 17$. On désigne par $\overline {X_2}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de $100$ rondelles prélevé dans la livraison, associe la moyenne des diamètres de ces rondelles (la livraison est assez importatne pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise). L'hypothèse nulle est $H_0$~: $\mu = 90$. Dans ce cas la livraison est dite conforme pour le diamètre. L'hypothèse alternative est $H_1$~: $\mu \neq 90$. Le seuil de signification du test est fixé à $0, 05$. \itemnum \' Enoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test en admettant, sous l'hypothèse nulle $H_0$, le résultat suivant qui n'a pas à être démontré~: $$ p (89, 967 \leq \overline {X_2} \leq 90, 033) = 0, 95. $$ \itemnum On prélève un échantillon de $100$ rondelles dans la livraison et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des diamètres est $\overline x = 90, 02$. \item {} Peut-on, au seuil de $5\% $, conclure que la livraison est conforme pour le diamètre~? \finexo \corrige \let \partie \llappartie \partie {A} % \vskip -5mm \itemnum $X_1$ suit la loi ${\cal N} (90; 0, 17)$, donc $T_1 = (X-90)/0, 17$ suit la loi ${\cal N} (0; 1)$. Il vient alors~: $$\eqalign { p (89, 6\leq X_1\leq 90, 4) &= p \left( {89, 6 - 90\over 0, 17} \leq {X_1 - 90\over 0, 17}\leq {90, 4 - 90\over 0, 17}\right) \cr &= p \left( -2, 353 \leq T_1 \leq 2, 353\right) \cr &= 2\Pi \left( 2, 353\right) - 1= 2\times 0, 990\, 6 - 1 \quad {\rm soit}\quad \dresultat {p (89, 6\leq X_1\leq 90, 4) = 0, 981\, 2} \cr }$$ \itemnum $D$ suit la loi ${\cal N} (90; \sigma _1)$, donc $T = (D-90)/\sigma _1$ suit la loi ${\cal N} (0; 1)$. Il vient alors~: $$\eqalign { p (89, 6\leq D\leq 90, 4) = 0, 99 \quad &\Longleftrightarrow \quad p \left( {89, 6 - 90\over \sigma _1} \leq {D - 90\over 0, 17}\leq {90, 4 - 90\over \sigma _1}\right) = 0, 99 \cr &\Longleftrightarrow \quad p \left( -{0, 4\over \sigma _1} \leq T \leq {0, 4\over \sigma _1}\right) = 0, 99 \cr &\Longleftrightarrow \quad 2\Pi \left( {0, 4\over \sigma _1}\right) - 1= 0, 99 \cr &\Longleftrightarrow \quad \Pi \left( {0, 4\over \sigma _1}\right) = 0, 995 \quad \Longleftrightarrow \quad {0, 4\over \sigma _1} = 2, 58 \quad {\rm soit}\quad \dresultat {\sigma _1 = 0, 155}. \cr }$$ \partie {B} % \vskip -5mm \itemnum On répète $4$ fois, de manière indépendante, une expérience n'ayant que $2$ issues possibles (défectueux ou non). La variable $Y_1$ compte le nombre d'issues défectueuses. On est bien dans le cadre d'une loi binomiale et \tresultat {$Y_1$ suit la loi ${\cal B} (4; 0, 02)$}. \itemnum Il vient~: $$ p (Y_1 = 0) = C_4^0 (0, 02)^0 (0, 98)^4 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (Y_1 = 0) = 0, 922}. $$ \itemnum Il vient~: $$ p (Y_1 \leq 1 0) = p (Y = 0) + p (Y = 1) = 0, 922 + 0, 753 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (Y_1 \leq 1) = 0, 997}. $$ \partie {C} % \vskip -5mm \itemnum La variable $Y_2$ suit une loi ${\cal B} (1\, 000; 0, 02)$. Son espérance mathématique est $E (Y_2) = 1\, 000\times 0, 02$, soit \dresultat {E (Y_2) = 20} et son écart-type est $\sigma (Y_2) = \sqrt {1\, 000\times 0, 02\times 0, 98}$, soit \dresultat {\sigma (Y_2) \approx 4, 43}. Comme on approche par une loi de même espérance et de même écart-type, cela justifie les paramètres de la loi normale suivie par $Z$. \itemnum $Z$ suit la loi ${\cal N} (20; 0, 43)$, donc $T = (Z-20)/0, 43$ suit la loi ${\cal N} (0; 1)$. Il vient alors~: $$\eqalign { p (Z\leq 15, 5) &= p \left( {Z - 20\over 4,43}\leq {15, 5 - 20\over 4, 43}\right) \cr &= p \left( Z \leq -1,016\right) \cr &= 1 - \Pi \left( 1,016\right) = 1 - 0, 846\, 1 \quad {\rm soit}\quad \dresultat {p (Z\leq 15, 5) = 0, 153\, 9}. \cr }$$ \partie {D} % \vskip -5mm \itemnum {\sl Règle de décision}~: on prlève avec remise un échantillon aléatoire de $100$ rondelles dans la livraison. On mesure le diamètre de chacune de ces rondelles et on note $\overline x$ la moyenne de ces diamètres. Si cette moyenne vérifie $89, 967\leq \overline x\leq 90, 033$, alors on accepte, au seuil de risque de $5\% $ l'hypothèse $H_0$ selon laquelle la livraison est conforme ($\mu = 90$), sinon on refuse cette hypothèse. \itemnum Avec $\overline x = 90, 02$, on \tresultat {accepte, au risque de $5\%$, l'hypothèse que la livraison soit conforme} en raison de la règle de décision ci-dessus. \fincorrige