\exo {Des chaudières... {\sl bts mai, session 2006}} Une entreprise fabrique des chaudières de deux types~: \itemitem {--} des chaudières dites \og à cheminée\fg , \itemitem {--} des chaudières dites \og à ventouse\fg . \centerline {\bf Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \let \partie \centerpartie \partie {A - Ajustement affine} Le nombre de chaudières fabriquées lors des années précédentes est donné par le tableau suivant~: $$ \centerline {\vbox{\halign{\eightpoint \rm \offinterlineskip %% preamble #\tv && \cc{#}& #\tv \cr \noalign{\hrule} & Rang de l'année $x_i$&& $0$&& $1$&& $2$&& $3$&& $4$&& $5$& \cr \noalign{\hrule} & \tvi height 15pt depth 10pt %width 10pt $\matrix { \hbox {Nombre de chaudières fabriquées~: $y_i$}\cr \hbox {(unité~: le millier)}} $ && $15, 35$&& $15, 81$&& $16, 44$&& $16, 75$&& $17, 19$&& $17, 30$& \cr \noalign{\hrule} }}} $$ \itemnum \` A l'aide d'une calculatrice, déterminer~: \itemitemalph le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double de variables $x$ et $y$~; arrondir à $10^{-2}$~; \itemitemalph déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$, sous la forme $y = ax + b$, où $a$ sera arrondi à $10^{-3}$ et $b$ sera arrondi à l'unité. \itemnum En supposant que la tendance observée se poursuive pendant deux années, estimer le nombre de chaudières qui seront fabriquées l'année de rang~$7$. \partie {B - Probabilités conditionnelles} L'entreprise a fabriqué en un mois $900$ chaudières à cheminées et $600$~chaudières à ventouse. Dans ce lot, $1\% $ des chaudières à cheminées sont défectueuses et $5\% $ des chaudières à ventouse sont défectueuses. On prélève au hasard une chaudière dans la production de ce mois. Toutes les chaudières ont la même probabilité d'être prélevées. On considère les événements suivants~: \item {} $A$~: \og \sl La chaudière est à cheminée\fg~; \item {} $B$~: \og \sl La chaudière est à ventouse\fg~; \item {} $D$~: \og \sl La chaudière présente un défaut \fg. \itemnum Déterminer $p (A)$, $p (B)$, $p (D|A)$ et $p (B|D)$. \itemnum Calculer $p (D\cap A)$ et $p (D\cap B)$. \itemnum En remarquant que $D = (D\cap A) \cup (D\cap B)$ et que les événements $D\cap A$ et $D\cap B$ sont incompatibles, calculer $p (D)$ et $p (\overline D)$. \partie {C - Loi normale} Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque chaudière à cheminée prélevée au hasard dans la production, associe sa durée de fonctionnement en années. On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $15$ et d'écart-type $3$. Une chaudière est dite \og amortie\fg \ si sa durée de fonctionnement est supérieure ou égale à $10$~ans. Calculer la probabilité qu'une chaudière prélevée au hasard dans la production soit \og amortie\fg ; arrondir à $10^{-3}$. \partie {D - Intervalle de confiance} On considère un échantillon de $100$~chaudières prélevées au hasard dans un stock important. Ce stock est assez important pour qu'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise. On constate que $94$ chaudières sont sans aucun défaut. \itemnum Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue $p$ des chaudières de ce stock qui sont sans aucun défaut. \itemnum Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $100$ chaudières prélevées au hasard et avec remise dans ce stock, associe la fréquence des chaudières de cet échantillon qui sont sans aucun défaut. \item {} On suppose que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ et d'écart-type $\displaystyle { \sqrt {p (1-p)\over 100} }$, où $p$ est la fréquence inconnue des chaudières du stock qui sont sans aucun défaut. \item {} Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence $p$ avec le coefficient de confiance $95\% $. Arrondir les bornes à $10^{-2}$. \itemnum On considère l'affirmation suivante~: \og le fréquence $p$ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question {\bf 2.}\fg . \item {} Est-elle vraie~? (On ne demande pas de justification.) \finexo \corrige \let \partie \llappartie \partie {A} \vskip -5mm % \itemnum \` A la calculatrice, on trouve comme coefficient de corrélation linéaire $r \approx 0, 9837$, soit \dresultat {r \approx 0, 98}, et comme équation de la droite de régression de $y$ en $x$~: \dresultat {y = 0, 406 x + 15}. \itemnum En utilisant l'équation de la droite de régression avec $x = 7$, on estime le nombre de chaudières fabriquées l'année de rang~$7$ à \dresultat {y = 18}. %\vfill \eject \partie {B} \vskip -5mm % Notons $A$ l'événement \og \sl la chaudière est à cheminée\fg et $D$ l'événement \og \sl la chaudière est défectueuse\fg . Le tableau ci-dessous résume la situation mensuelle~: $$\vcenter{\offinterlineskip \halign{ % preamble #\tv && \cc{$#$}& #\tv \cr \noalign{\hrule} & && A&& \overline A&& {\rm total}& \cr \noalign{\hrule} & D&& \bf 9&& \bf 30&& 39& \cr \noalign{\hrule} & \overline D&& 891&& 570&& 1\, 461& \cr \noalign{\hrule} & {\rm total}&& \bf 900&& \bf 600&& 1\, 500& \cr \noalign{\hrule} }} \qquad \qquad \vcenter {\hsize .3 \hsize $0,01 \times 900 = 9$\par $0,05 \times 600 = 30$\par } $$ \itemnum Les tirages étant équiprobables, on utilise la propriété $$ {\rm probabilité} = {\hbox {nombre de cas favorables}\over \hbox {nombre de cas possibles}} $$ On obtient alors $$\displaylines { \dresultat { p (A) = {900\over 1500} = {3\over 5} = 0,6 } \qquad \dresultat { p (B) = {600\over 1500} = {2\over 5} = 0,4 } \qquad \dresultat { p (D|A) = {9\over 900} = 0,01 } \cr \dresultat { p (B|D) = {30\over 39} = {10\over 13} = 0,769 } }$$ \itemnum De la même manière, on obtient~: $$ \dresultat { p (D\cap A) = {9\over 1500} = {3\over 500} = 0,006 } \qquad {\rm et} \qquad \dresultat { p (D\cap B) = {30\over 1500} = {1\over 50} = 0,02 } $$ \itemnum Et enfin~: $$ \dresultat { p (D) = {39\over 1500} = {13\over 500} = 0,026 } \qquad {\rm et} \qquad \dresultat { p (\overline D) = {1\, 461\over 1500} = 0,974 } $$ \partie {C} \vskip -5mm % La variable aléatoire $X$ suit une loi normale ${\cal N} (15; 3)$, donc la variable aléatoire $T = (X - 15) /3$ suit une loi normale ${\cal N} (0; 1)$. Il vient alors~: $$\eqalign { p (X\geq 10) &= p \left( {X-15\over 3}\geq {10-15\over 3}\right) = p \left( T\geq -{5\over 3}\right) = 1 - \Pi \left( -{5\over 3}\right) \cr &= \Pi \left( {5\over 3}\right) \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (X\geq 10) \approx 0, 953} \cr }$$ \partie {D} \vskip -5mm % \itemnum On a immédiatement, comme estimation ponctuelle de la fréquence $p$~: \dresultat {f = 0, 94}. \itemnum On utilise la formule vue en cours avec le coefficient $t = 1, 96$, car $$ 2\Pi (t) - 1 = 0, 95 \quad \Longleftrightarrow \quad \Pi (t) = {1, 95\over 2} = 0, 975 \quad \Longleftrightarrow \quad t = 1, 96. $$ D'où l'intervalle de confiance à $95\% $~: $$\displaylines { I = \left[ 0, 94 - 1, 96\sqrt {0, 94\times 0, 06\over 99} ; 0, 94 + 1, 96\sqrt {0, 94\times 0, 06\over 99} \right] = \big[ 0, 916\, 1 ; 0, 963\, 8\big] \cr {\rm soit} \qquad \dresultat {I = \big[ 0, 92 ; 0, 97\big]} \cr }$$ \itemnum \' Evidemment, la réponse est \tresultat {non}~: on ne peut garantir que la fréquence inconnue $p$ est dans l'intervalle $I$ ci-dessus, puisque que le coefficient de confiance n'est pas de $100\% $. \fincorrige