\paragraphe {Formules de Moivre et d'Euler} \item {$\bullet $} Soit $z = e^{i\theta }$. Le nombre $z^n$ (pour $n \in \nset $) a pour module $1$ et pour argument $n\theta $. On en déduit la {\sl formule de Moivre\/ } $$ \dresultat {(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos (n\theta ) + i \sin (n \theta )} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {(e^{i\theta })^n = e^{in\theta }} $$ \item {$\bullet $} De plus, des relations $$ e^{i\theta } = \cos \theta + i \sin \theta \qquad {\rm et} \qquad e^{-i\theta } = \cos \theta - i \sin \theta $$ on déduit les {\sl formules d'Euler} $$\dresultat { \cos \theta = {1\over 2} (e^{i\theta } + e^{-i\theta }) \qquad {\rm et} \qquad \sin \theta = {1\over 2i} (e^{i\theta } - e^{-i\theta }) }$$ Ces formules permettent la {\sl linéarisation\/} des formules trigonométriques (c'est à dire la transformation d'un produit de fonctions trigo en somme de fonctions trigo). Par exemple, on a $$\eqalign { \cos ^3 \theta &= {1\over 2^3} (e^{i\theta } + e^{-i\theta })^3 \cr &= {1 \over 8} \left( e^{3i\theta } + 3 e^{2i\theta }e^{-i\theta } + 3 e^{i\theta }e^{-2i\theta } + e^{-3i\theta } \right) \cr &= {1 \over 8} \left( e^{3i\theta } + e^{-3i\theta } + 3 \left( e^{i\theta }+ e^{-i\theta } \right) \right) \cr &= {1 \over 8} \left( 2\cos 3\theta + 3 \times 2\cos \theta \right) \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {\cos ^3 \theta = {1\over 4} \cos 3\theta + {3\over 4} \cos \theta } \cr }$$ La linéarisation est souvent employée pour déterminer une primitive d'un produit de fonctions tri\-go\-no\-mé\-tri\-ques.