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Source de equ2_004.tex

Fichier TeX
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\exo {\' Equation du second degré, géométrie. {\sl bac sti gm, 2000}}

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O, \vec u, \vec
v)$ d'unité graphique $2$~cm (ou $2$~grands carreaux). On désigne par
$A$ le point d'affixe
$$
   z_A = 2 + i\sqrt 2.
$$

\itemitemalphnum Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation~:
$$
   z^2 + 2\sqrt 2 z + 6 = 0.
$$
On appelle $z_B$ la solution de cette équation dont la partie
imaginaire est positive. 

\itemitemalph Placer dans le plan complexe les points $A$ et $B$
d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.

\itemnum Montrer que les points $A$ et $B$ appartiennent au cercle
$\cal C$ de centre $O$ et de rayon $\sqrt 6$.

\itemnum Soient $I$, $J$ et $K$ les points d'affixes respectives
$z_I$, $z_J$ et $z_K$ telles que~:

\itemitem {$\bullet $} $z_I = 2i$~;

\itemitem {$\bullet $} $z_J$ est le nombre complexe de module $2$ et
d'argument $3\pi / 4$.

\itemitem {$\bullet $} $z_K = -z_J$.

\itemitemalph Donner la forme algébrique de $z_J$.

\itemitemalph Placer les points $I$, $J$ et $K$ dans le plan complexe.

\itemitemalph Quelle est la nature du triangle $IJK$~? Justifier.

\itemitemalph Donner le rayon du cercle ${\cal C}'$ circonscrit au
triangle $IJK$.

\itemnum Soit $E$ l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$
vérifie la relation~:
$$
   2 < |z| < \sqrt 6.
$$

\itemitemalph Tracer les cercles $\cal C$ et ${\cal C}'$.

\itemitemalph Représenter l'ensemble $E$ sur le graphique précédent à
l'aide de hachures. Justifier

\finexo

\corrige  

\itemalphnum On trouve $\Delta = -16$, d'où les deux racines 
complexes conjuguées
$$
   z_B = {-2\sqrt 2 + 4i \over 2} = \dresultat {-\sqrt 2 + 2i = z_B}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \dresultat {z_C = -\sqrt 2 - 2i}.
$$

\def \epspath {%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/term/sti/algebre/complex/}

\itemalph
$$
   \epsillustrate {equ2_004.ps}
$$

\itemnum On a $|z_A| = \sqrt {2^2 + (\sqrt 2)^2}$, soit $|z_A| = \sqrt 6$
et $|z_B| = \sqrt 6$, donc \dresultat {OA = OB = \sqrt 6}, ce qui prouve
que les points \tresultat {$A$ et $B$ sont sur le cercle de centre $O$ de 
rayon $\sqrt 6$}.

\itemalphnum On a 
$$\displaylines {
   z_J = 2 e^{3i\pi / 4} 
      = 2 \left( \cos \left( 3\pi \over 4\right) + i\sin \left( {3\pi \over 4}\right)\right)
      = 2 \left( -{\sqrt 2 \over 2} + i{\sqrt 2 \over 2}\right)
\cr
      {\rm soit} \qquad
   \dresultat {z_J = -\sqrt 2 + i \sqrt 2}.
\cr
}$$

\advance \alphno by 1
\itemalph Calculons les longueurs des côtés du triangle $IJK$. Il vient
$$\displaylines {
   IJ = |z_J - z_I| = |-\sqrt 2 + i (\sqrt 2 - 2)|
      = \sqrt {8 - 4\sqrt 2}
      \qquad \qquad
   JK = |z_K - z_J| = |2\sqrt 2 - 2i\sqrt 2| = \sqrt {16}
\cr
      {\rm et} \qquad
   IK = |\sqrt 2 + i (-\sqrt 2 - 2)| = \sqrt {8 + 4\sqrt 2}.
\cr
}$$
On a alors évidemment $IJ^2 + IK^2 = JK^2$, et le théorème
de Pythagore permet de conclure que le triangle \tresultat {$IJK$ 
est rectangle en $I$}.

\itemalph On a
$$
   |z_I| = |2i| = 2,
      \qquad \qquad
   |z_J| = |-\sqrt 2 + i\sqrt 2| = 2
      \qquad \qquad
   |z_K| = |\sqrt 2 - i\sqrt 2|  = 2
$$
d'où l'on déduit que les points $I$, $J$ et $K$ sont tous situés sur le même
cercle de centre $O$ et \tresultat {de rayon $2$}. Ce cercle est
donc le cercle circonscrit au triangle $IJK$.

\itemnum \advance \alphno by 1 \alph \
L'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie la relation
$$
   2 < |z| < \sqrt 6
$$
est l'ensemble des points $M$ tels que la distance $OM$ vérifie la relation
$$
   2 < OM < \sqrt 6.
$$
On en déduit que cet ensemble est \tresultat {la couronne circulaire
comprise entre $\cal C$ et ${\cal C}'$}


\fincorrige