\exo {Du calcul\dots } On considère le nombre complexe $$ z = {\sqrt3 + i \over \sqrt3 - i}. $$ \itemnum Calculer deux nombres réels $x$ et $y$ tels que~:\qquad $z = x+iy$. \itemnum Déterminer la forme exponentielle de $z$. \itemnum Calculer $z^3$ sous forme exponentielle (ou trigonométrique), puis sous forme algébrique. \finexo \corrige \itemnum On a $$ z = {\sqrt3 + i \over \sqrt3 - i} = {(\sqrt3 + i)(\sqrt3 + i) \over (\sqrt3 - i) (\sqrt3 + i)} = {2 + 2i\sqrt3 \over4}. $$ D'où les nombres $x$ et $y$ cherchés~: $$ \dresultat{x = {1\over2}} \qquad {\rm et} \qquad \dresultat{y = {\sqrt3 \over2}} $$ \itemnum On a $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$, soit \mresultat{|z| = 1}. Donc $\cos \theta = 1/2$ et $\sin \theta = \sqrt3 / 2$. On en déduit qu'un argument de $z$ est \mresultat{\theta = \pi/3}. \itemnum En utilisant la forme trigonométrique de $z$, il vient $$ z^3 = \left[ 1, {\pi \over3}\right]^3 = [1^3, 3\times {\pi \over3}] \qquad \hbox {soit, sous forme exponentielle} \qquad z^3 = \left( e^{i\pi \over3}\right)^3 = e^{i\pi } $$ On a donc \dresultat{z^3 = [1, \pi] = e^{i\pi} = -1}. \fincorrige