\exo {Résolution d'équations} On considère le polynôme $P (x) = x^3 - 5x^2 -x + 5$. \itemnum Calculer $P (1)$. \itemnum Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x$ réel, on ait~: $$ P (x) = (x-1) (ax^2 + bx + c). $$ \itemnum Déduire des questions précédentes que les solutions de l'équation $P (x) = 0$ sont $1$, $-1$ et $5$. \itemnum Résoudre en utilisant les résultats précédents~: \itemitemalph $(\ln x)^3 - 5(\ln x)^2 -\ln x + 5 = 0$, où $\ln x$ désigne le logarithme népérien de $x$~; \itemitemalph $e^{3x} - 5e^{2x} - e^x + 5 = 0$ . \finexo \corrige \itemnum On trouve facilement \dresultat {P (1) = 0}. \itemnum Il vient $$\eqalign { P (x) = (x-1) (ax^2 + bx + c). &= ax^3 + bx^2 + cx - ax^2 - bx -c \cr &= ax^3 + (b-a) x^2 + (c-b)x -c. }$$ En identifiant aux coefficients du polynôme $P (x) = x^3 - 5x^2 -x + 5$, on obtient le système~: $$ \cases { a = 1 \cr b-a = -5 \cr c-b = -1 \cr -c = 5 \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \cases { a = 1 \cr b = -4 \cr c = -5 \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \dresultat {P (x) = (x-1) (x^2 - 4x - 5)} $$ \itemnum En utilisant la forme factorisée de $P$, on a $$ P (x) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x-1 = 0 \quad {\rm ou} \quad x^2 - 4x -5 = 0 $$ On utilise la méthode du discriminant $\Delta $, ici égal à $36$, pour trouver les deux racines $x_1 = -1$ et $x_2 = 5$ de la deuxième équation. En conclusion, \tresultat {les racines de $P (x)$ sont $1$, $-1$ et $5$}. \itemalphnum Posons le changement de variable $X = \ln x$. L'équation proposée s'écrit alors $$\eqalign { X^3 - 5X^2 - X + 5 = 0 \quad &\Longleftrightarrow \quad X = 1 \quad {\rm ou} \quad X = -1 \quad {\rm ou} \quad X = 5 \cr &\Longleftrightarrow \quad \ln x = 1 \quad {\rm ou} \quad \ln x = -1 \quad {\rm ou} \quad \ln x = 5 \cr &\Longleftrightarrow \quad x = e \quad {\rm ou} \quad x = e^{-1} \quad {\rm ou} \quad x = e^5 \cr }$$ d'où les \tresultat {$3$~solutions~: $e$, $e^{-1}$ et $e^5$}. \itemalph Posons le changement de variable $X = e^x$. L'équation proposée s'écrit alors $$\eqalign { X^3 - 5X^2 - X + 5 = 0 \quad &\Longleftrightarrow \quad X = 1 \quad {\rm ou} \quad X = -1 \quad {\rm ou} \quad X = 5 \cr &\Longleftrightarrow \quad e^x = 1 \quad {\rm ou} \quad \underbrace {e^x = -1}_{\rm impossible} \quad {\rm ou} \quad e^x = 5 \cr &\Longleftrightarrow \quad x = \ln 1 = 0 \quad {\rm ou} \quad x = \ln 5 \cr }$$ d'où les \tresultat {$2$~solutions~: $0$ et $\ln 5$}. \fincorrige