\exo {Test d'une campagne d'affichage en publicité {\rm ({\sl Bac sti gm, national, juin 1999})}} Une agence de publicité veut tester l'efficacité d'une campagne d'affichage d'un nouveau produit $A$ et pour cela réalise une étude auprès de $1\, 000$ personnes. Les résultats sont les suivants~: \itemitem {--} $650$ personnes ont vu une affiche \itemitem {--} $300$ personnes ont acheté le produit $A$ \itemitem {--} $100$ personnes ont acheté le produit sans avoir vu l'affiche \itemnum Recopier et compléter le tableau suivant~: $$ \vcenter {\offinterlineskip {\halign { % preamble &\cc {#} & #\tv \cr Nb de personnes qui&& Ont acheté $A$&& N'ont pas acheté $A$&& Total \cr \noalign {\hrule } Ont vu une affiche&& && && \cr \noalign {\hrule } N'ont pas vu d'affiche&& && && \cr \noalign {\hrule } Total&& && && $1\, 000$ \cr }}} $$ \itemnum Une personne est choisie au hasard parmi les $1\, 000$ personnes. Toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies. \itemitemalph Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants~: \itemitem {} $E_1$~: \og {\sl la personne choisie a acheté le produit $A$}\fg \itemitem {} $E_2$~: \og {\sl la personne choisie a vu une affiche}\fg \itemitemalph Définir par une phrase l'événement $E_1 \cap E_2$. Déterminer la probabilité de l'événement $E_1 \cap E_2$. \itemitemalph Déterminer la probabilité de l'événement $E_1 \cup E_2$. \finexo \corrige {} \itemnum On obtient facilement le tableau suivant~: $$\dresultat { \vcenter {\offinterlineskip {\halign { % preamble &\cc {#} & #\tv \cr Nb de personnes qui&& Ont acheté $A$&& N'ont pas acheté $A$&& Total \cr \noalign {\hrule } Ont vu une affiche&& \bf 200&& {\bf 450}&& $650$ \cr \noalign {\hrule } N'ont pas vu d'affiche&& $100$&& {\bf 250}&& {\bf 350} \cr \noalign {\hrule } Total&& $300$&& {\bf 700}&& $1\, 000$ \cr }}} }$$ \itemalphnum Les événements étant tous équiprobables, on a $$ \dresultat {p (E_1) = {300\over 1000} = 0, 3} \qquad {\rm et} \qquad \dresultat {p (E_2) = {650\over 1000} = 0, 65} $$ \itemalph L'événement $E_1 \cap E_2$ peut être défini par la phrase $$ \tresultat {\og {\sl La personne choisie a vu une affiche ET a acheté le produit $A$}\fg}. $$ Sa probabilité est \dresultat {p (E_1 \cap E_2) = {200\over 1000} = 0, 2} \itemalph L'événement $E_1 \cup E_2$ peut être défini par la phrase $$ \tresultat {\og {\sl La personne choisie a vu une affiche OU a acheté le produit $A$}\fg}. $$ ou encore par la phrase $$ \tresultat {\og {\sl La personne choisie n'est pas de celles qui n'on ni vu une affiche ni acheté le produit $A$}\fg}. $$ Sa probabilité est \dresultat {p (E_1 \cup E_2) = 1 - {250\over 1000} = 0, 75} \item {} Pour vérification, on a bien $$ p (E_1 \cup E_2) = p (E_1) + p (E_2) - p (E_1 \cap E_2) = 0, 3 + 0, 65 - 0, 2 $$ \fincorrige