\exo {Coût de revient d'une série de production} Un objet produit en série a un coût de production de 950~F. Il peut présenter, à l'issue de sa fabrication, un défaut $A$, un défaut $B$, ou les deux défauts en même temps. La garantie permet de faire les réparations aux frais du fabricant avec les coûts suivants~: \itemitem{} 100~F pour le seul défaut $A$, \itemitem{} 150~F pour le seul défaut $B$, \itemitem{} 250~F pour les deux défauts $A$ et $B$. \itemnum On prélève un lot de 200 objets. Le défaut $A$ est observé sur 16~objets, le défaut $B$ sur 12 objets et 180 objets n'ont aucun défaut. Reproduire et compléter le tableau suivant~: $$ \def \trait{% \noalign{\hrule}} \vcenter{ \halign{%\nointerlineskip \vrule depth 7pt height 10pt \quad\hfil # \hfil\quad \vrule && \quad\hfil # \hfil\quad \vrule \cr \trait Nombre d'objets & avec le défaut $A$ & sans le défaut $A$ & Total \cr \trait avec le défaut $B$ & & & \cr \trait sans le défaut $B$ & & & \cr \trait Total & & & $200$ \cr \trait } }$$ \itemnum Pour la suite de l'exercice, on admettra que, sur l'ensemble de la production, 90~\% des objets n'ont aucun défaut, 4~\% ont le seul défaut $A$, 2~\% ont le seul défaut $B$, et 4~\% ont les deux défauts $A$ et $B$. \item {} On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque objet choisi au hasard dans la production, associe son prix de revient, c'est à dire le coût de production, augmenté éventuellement du coût de réparation. \item{} Présenter cette variable aléatoire et sa loi de probabilité sous la forme d'un tableau. (On pourra reproduire le tableau ci-dessous et le compléter). $$\vcenter {\offinterlineskip \halign { % preamble \tv #&& \cc {#}& #\tv \cr \noalign {\hrule } & Valeurs de $X$~: $x_i$&& \quad && \quad && \quad && $1\, 200$& \cr \noalign {\hrule } & $p (X=x_i)$&& && && && & \cr \noalign {\hrule } }} $$ \itemitemalphnum Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ et l'écart-type $\sigma(X)$ de cette variable aléatoire. Que représente $E(X)$ pour l'usine~? \medskip \item{} {\sl On suppose désormais que tous les objets produits sont vendus.} \medskip \itemitemalph L'usine peut-elle espérer faire des bénéfices en vendant 960~F chaque objet pro\-duit~? \itemitemalph L'usine veut faire un bénéfice moyen de 100~F par objet. Expliquer comment on doit alors choisir le prix de vente de chacun d'eux. \finexo \corrige {} \itemnum Une fois entrées les hypothèses, il est facile d'obtenir le tableau suivant~: $$ \def \trait{% \noalign{\hrule}} \vcenter{ \halign{%\nointerlineskip \vrule depth 7pt height 10pt \quad\hfil #\hfil\quad \vrule && \quad \hfil #\hfil \quad \vrule \cr \trait Nombre d'objets & avec le défaut $A$ & sans le défaut $A$ & Total \cr \trait avec le défaut $B$ & $8$& $4$& {\bf 12} \cr \trait sans le défaut $B$ & $8$& {\bf 180}& $188$ \cr \trait Total & {\bf 16}& 184& $200$ \cr \trait } }$$ \itemnum On choisit au hasard un objet dans la production. En supposant être dans une situation d'équiprobabilité on a immédiatement, avec les hypothèses du texte, la loi suivante~: $$\vcenter {\offinterlineskip \halign { % preamble \tv #&& \cc {#}& #\tv \cr \noalign {\hrule } & Valeurs de $X$~: $x_i$&& $950$&& $1\, 050$&& $1\, 100$&& $1\, 200$& \cr \noalign {\hrule } & $p (X=x_i)$&& $90\% $&& $4\% $&& $2\% $&& $4\% $& \cr \noalign {\hrule } }} $$ \itemalphnum On trouve \dresultat {E (X) = 967} et \dresultat {\sigma (X) \approx 55, 32}. L'espérance $E (X)$ représente, pour l'usine, le coût moyen de chaque objet \og après la production d'une infinité d'objets\fg . De façon plus rigoureuse, $E (X)$ est la limite du coût moyen par objet lorsque le nombre d'objets produits tend vers l'infini. \itemalph En vendant ses produits à un coût inférieur au coût espéré de production, et si elle continue longtemps cette production, l'entreprise n'a a peu près \tresultat {aucune chance de faire des bénéfices} . \itemalph Pour faire un bénéfice moyen de 100~F, il faut vendre chaque objet 100~F au-dessus du coût espéré de production. Autrement dit, il faut choisir un \tresultat {prix de vente de $1\, 067$~F}. \fincorrige