\exo {Calculs de dérivées} Calculer la fonction dérivée pour chacune des fonctions suivantes~: \itemitem {} $\bullet $ {\bf un polynôme~:} $f$ définie sur $\rset $ par~· $f (x) = -3x^4 + 6x^2 + 1$ \itemitem {} $\bullet $ {\bf un produit de polynômes~:} $f$ définie sur $\rset $ par~: $f (x) = (-x+2) (3x+7)^2$ \itemitem {} $\bullet $ {\bf un inverse~:} $f$ définie sur $\rset ^*$ par~: $\displaystyle { f (x) = {1\over x^2} }$. \itemitem {} $\bullet $ {\bf une somme d'inverses~:} $f$ définie sur $\rset ^*$ par~: $\displaystyle { f (x) = {2\over x^2} - {4\over x^3} }$. \itemitem {} $\bullet $ {\bf une fraction~:} $f$ définie sur $]3; +\infty [$ par~: $\displaystyle { f (x) = {3x-7 \over -x+3} }$. \itemitem {} $\bullet $ {\bf une puissance de fonction trigo~:} $f$ définie sur $\rset $ par~: $f (x) = \sin ^2 x$. \finexo \corrige {} \item {} $$ f (x) = -3x^4 + 6x^2 + 1 \qquad \qquad \dresultat { f' (x) = -12x^3 + 12x } = 12 x (1 - x^2) \leqno \bullet $$ \item {} $$ f (x) = (-x+2) (3x+7)^2 \qquad \qquad \dresultat { f' (x) = -27x^2 - 48x + 35 } \leqno \bullet $$ puisque $f' (x) = - (3x+7)^2 + (-x+2) \times 2 \times 3 \times (3x+7)$. \item {} $$ f (x) = {1\over x^2} \qquad \qquad \dresultat { f' (x) = -{2\over x^3} } \leqno \bullet $$ \item {} $$ f (x) = {2\over x^2} - {4\over x^3} \qquad \qquad \dresultat { f' (x) = -{4\over x^3} + {12\over x^4} } = {4(3-x)\over x^4} \leqno \bullet $$ \item {} $$ f (x) = {3x-7 \over -x+3} \qquad \qquad \dresultat { f' (x) = {2\over (3-x)^2} } \leqno \bullet $$ \item {} $$ f (x) = \sin ^2 x \qquad \qquad \dresultat { f' (x) = 2 \times \cos x \times \sin x } \leqno \bullet $$ \fincorrige