\exo {\' Equation différentielle d'ordre 2 -- Valeur moyenne} On donne l'équation différentielle~: $y'' + 36 y = 0$. \itemnum Donner la forme des solutions de cette équation différentielle. \itemnum Déterminer la fonction $f$ solution de cette équation différentielle satisfaisant aux conditions suivantes~: $$ f (0) = \sqrt 3 \qquad {\rm et} \qquad f' (0) = 6. $$ \itemnum Vérifier que pour tout $x$ réel~: $$ f (x) = 2\sin \left( 6x + {\pi \over 3}\right) . $$ \itemnum Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[0; \pi /6]$. \finexo \corrige \itemnum On reconnaît une équation différentielle du type $y'' + \omega ^2 y = 0$ avec $\omega = 6$, d'où les solutions cherchées~: toute les fonctions $y$ définies sur $\rset $ et ayant une écriture de la forme $y (x) = A \cos ( 6x) + B \sin (6x)$ où $A$ et $B$ sont des constantes réelles quelconques. \itemnum Si $f$ est une solution de l'équation différentielle précédente, elle s'écrit sous la forme $$ f (x) = A \cos (6x) + B \sin (6x) $$ pour où $A$ et $B$ sont deux constantes à déterminer. On a alors $$ f' (x) = -6A\sin 6x + 6B \cos 6x. $$ Les deux conditions initiales nous donnent alors le système $$ \cases { f (0) = \sqrt 3 \cr f' (0) = 6 \cr } \quad \Longrightarrow \quad \cases { A = \sqrt 3 \cr 6B = 6 \cr } \quad \Longrightarrow \quad (A, B) = (\sqrt 3, 1). $$ D'où l'expression de la fonction cherchée~: \dresultat {f (x) = \sqrt 3\cos 6x + \sin 6x}. \itemnum Développns l'expression proposée. Il vient $$\displaylines { 2\sin \left( 6x + {\pi \over 3}\right) = 2\left( \sin (6x) \cos {\pi \over 3} + \cos (6x) \sin {\pi \over 3}\right) = 2\left( {1\over 2}\sin (6x) + {\sqrt 3\over 2}\cos (6x)\right) \cr \hbox {et on a bien} \qquad \dresultat {f (x) = 2\sin \left( 6x + {\pi \over 3}\right) } \cr }$$ \itemnum Il nous faut donct calculer $$\eqalign { m &= {1\over {\pi \over 6} - 1} \int _0^{\pi / 6} f (x)\, dx = {6\over \pi } \int _0^{\pi / 6} 2\sin \left( 6x + {\pi \over 3}\right) \, dx = {12\over \pi } \int _0^{\pi / 6} \sin \left( 6x + {\pi \over 3}\right) \, dx \cr &= {12\over \pi } \Big[ -{1\over 6}\cos \left( 6x + {\pi \over 3}\right) \Big] _0^{\pi / 6} = -{2\over \pi } \Big[\cos \left( 6x + {\pi \over 3}\right) \Big] _0^{\pi / 6} \cr &= -{2\over \pi } \Big(\cos \left( {4\pi \over 3} \right) - \cos \left( {\pi \over 3} \right) \Big) = -{2\over \pi } \Big( -{1 \over 2} - {1 \over 2} \Big) \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {m = {2\over \pi }} \cr }$$ \fincorrige