\exo {Dérivées et tableaux de variation} \itemnum On considère la fonction $f$ définie sur $\rset $ par $$ f (x) = xe^x. $$ \itemitemalph Calculer $f'(x)$ pour $x\in \rset $. \itemitemalph \' Etudier le signe de $f' (x)$ pour $x\in \rset $. \itemitemalph Dresser le tableau de variation de $f$. (Les études de limites ne sont pas demandées.) \itemnum On considère la fonction $g$ définie sur $\rset ^*$ par $$ g (x) = {e^x + 1\over e^x - 1} $$ \itemitemalph Calculer $g'(x)$ pour $x\in \rset ^*$. \itemitemalph \' Etudier le signe de $g' (x)$ pour $x\in \rset ^*$. \itemitemalph Dresser le tableau de variation de $g$. (Les études de limites ne sont pas demandées.) %% \columns 2 %% %% \settabs 5 \columns %% %% \everymath = {\displaystyle \tvi depth 3pt height 10pt} %% %% \+ %% \alph\ $f (x) = xe^x$ && $I = \rset $ %% \cr %% \+ %% \alph\ $f (x) = {e^x + 1\over e^x - 1}$ && $I = \rset ^* = ]-\infty , %% 0[\, \cup \, ]0, +\infty [$ %% \cr %% %% \endcolumns \finexo \corrige {} \everymath = {\displaystyle } \itemalph $\bullet$ On utilise la formule $(uv)' = u'v+uv'$. Il vient $f' (x) = e^x + xe^x$, soit \dresultat {f' (x) = e^x (1+x)}. \item {} $\bullet $ {\sl \' Etude du signe de la dérivée} \item {} Comme $e^x$ est toujours positif, la dérivée est du signe de $1+x$. Or on a $1+x \geq 0$ ssi $x \geq -1$. D'où le tableau~: $$\dresultat {\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil } \halign { % preamble \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$} \cr x&& -\infty && -1&& +\infty \cr \noalign {\hrule height 1pt } 1+x&& & -& 0& + \cr \noalign {\hrule } e^x&& & +& \tv & + \cr \noalign {\hrule height 1pt} f' (x)&& & -& 0& + \cr \noalign {\hrule height 1pt} \buucenter {$f (x)$}&& & \brightddownarrow & \down{$-e^{-1} = -{1\over e}$}& \brightuuparrow & \buup {\phantom {1}} \cr }}} $$ \itemalph $\bullet $ Pour $f (x) = {e^x + 1 \over e^x -1}$, on utilise la formule $\left( {u\over v}\right) ' = {u'v -uv' \over v^2}$. Il vient $$ f' (x) = {e^x (e^x - 1) - (e^x +1) e^x \over \left( e^x - 1\right) ^2} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {f' (x) = {-2e^x \over \left( e^x - 1\right) ^2}} $$ \item {} $\bullet $ {\sl \' Etude du signe de la dérivée} \item {} On a $\left( e^x - 1\right) ^2$ qui est égal à $0$ quand $x=0$, et qui est toujours positif sinon (c'est un carré). Donc la dérivée est du signe de $-2e^x$. Et comme $e^x$ est toujours positif, \tresultat {$f'$ est toujours négative}. D'où le tableau~: $$\dresultat {\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil } \halign { % preamble \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$} \cr x&& -\infty && 0&& +\infty \cr \noalign {\hrule height 1pt } -2e^x&& & -& \tv & - \cr \noalign {\hrule } \left( e^x - 1 \right) ^2&& & +& 0 & + \cr \noalign {\hrule height 1pt} f' (x)&& & -& \doublevrule & - \cr \noalign {\hrule height 1pt} \buucenter {$f (x)$}&& & \brightddownarrow & \doublevrule & \brightddownarrow & \buup {\phantom {1}} \cr }}} $$ \fincorrige