\exo{\'Etude d'une fonction exponentielle, {\rm bac F1}, {\sl 1994}} Soit $f$ la fonction numérique définie sur l'ensemble des nombres réels $\rset$ par $$ f (x) = 5 - x - e^{-x}. $$ On désigne par $\cal C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité graphique 1~cm. \itemitemalphnum Déterminer la limite de $f$ en $+\infty $. \itemitemalph Démontrer que $f (x)$ tend vers $-\infty$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$. \itemnum \'Etudier les variations de la fonction $f$ et donner le tableau de variation. \itemitemalphnum Montrer que la droite $D$ d'équation $y = -x + 5$ est asymptote à la courbe $\cal C$. \itemitemalph \'Etudier la position relative de $\cal C$ et $D$. \itemnum Construire $\cal C$ et $D$ avec précision. \itemnum Calculer, en cm$^2$, l'aire du domaine plan limité par $\cal C$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=2$. On donnera la valeur exacte de cette aire puis la valeur approchée, arrondie au mm$^2$. \finexo \corrige{} \everymath = {\displaystyle } \itemalphnum On a \dresultat{\lim_{x \to +\infty} f (x) = -\infty} car $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$. \itemalph Pour le calcul de la limite en $-\infty$, on ne peut utiliser l'écriture $f (x) = 5-x - e^{-x}$ car elle donne une forme indéterminée ($\infty - \infty$). On factorise alors par \og le terme dominant \fg\ pour écrire $$ \lim_{x \to -\infty} f (x) = \lim_{x \to -\infty} e^{-x} \left( 5e^{x} - x e^x - 1\right) \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{\lim_{x \to -\infty} f (x) = -\infty} $$ puisque $\lim_{x \to -\infty} e^{-x} = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} 5e^x = 0$ et $\lim_{x \to -\infty} xe^{x} = 0$ (formulaire). \itemnum On trouve \dresultat{f' (x) = -1 + e^{-x}}. Et $$ f' (x) \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad e^{-x} \geq 1 \quad \Longleftrightarrow \quad -x \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \leq 0 $$ d'où le tableau de signe de $f'$ et le tableau de variation de $f$~: $$\dresultat{\vcenter{ \eightpoint\rm \def \hfq{\hfil \ } \offinterlineskip \halign{ % preamble &\hfq #\hfq \cr $x$& \vrule depth 5pt & $-\infty$&& $0$&& $+\infty$% \cr \noalign{\hrule} $f' (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt && $+$& $0$& $-$& \cr \noalign{\hrule} \bbuucenter{$f (x)$}& \vrule & \down{$-\infty$}& \bbrightuuparrow & \bbuup{$4$}& \bbrightddownarrow & \down{$-\infty$} \cr }}} $$ \itemalphnum On a $$ \lim_{x \to +\infty} \big( f (x) - (-x+5)\big) = \lim_{x \to +\infty} (-e^{-x}) = 0 $$ donc \tresultat{$D$ asymptote à la courbe $\cal C$ en $+\infty$}. \itemalph \'Etudier la position relative de $\cal C$ et $D$ revient à étudier le signe de la différence $f (x) - (-x+5)$. Comme cette différence est égale à $-e^{-x}$ et que l'exponentielle est toujours strictement positive, on en déduit que cette différence est toujours strictement négative, et donc que \tresultat{$\cal C$ est toujours en dessous de $D$}. \def \epspath{% $HOME/tex_doc/lycee/database/term/sti/analyse/exp/} \epsfxsize = 120mm \itemnum $$ \superboxepsillustrate {etud_001b.ps} $$ \itemnum Comme $f (2) = 3 - e^{-2} \approx 2, 86$ est positif, on voit sur le tableau de variation que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0, 2]$. L'aire est donc donnée, en unités d'aire, par le calcul de l'intégrale $$ \int_0^2 f (x) \, dx = \int_0^2 5-x - e^{-x} \, dx = \left[ 5x - {x^2 \over2} + e^{-x}\right]_0^2 = 7 + e^{-2}. $$ L'unité d'aire étant de $1\times 1 \cm ^2$, l'aire cherchée est donc $$ \dresultat{{\cal A} = 7 + e^{-2} \cm^2 \approx 714 \mm^2} $$ à $1\mm^2$ près par excès. \fincorrige