\exo {\' Etude d'une fonction rationnelle} On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $I = ]0, +\infty [$ par $$ f (x) = x + {3 \over x} - {1\over x^2}. $$ et on note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec \imath , \vec \jmath )$. \itemnum Déterminer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $+\infty $. \itemitemalphnum Montrer que, pour tout $x$ strictement positif, $f (x)$ peut s'écrire $$ f (x) = {x^3 + 3x - 1\over x^2}. $$ \itemitemalph Déterminer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $0$. En déduire l'équation d'une asymptote à la courbe $C_f$. \itemnum On considère la droite $\Delta $ d'équation $y = x$. \itemitemalph Montrer que $\Delta $ est asymptote à la courbe $C_f$ en $+\infty $. \itemitemalph Déterminer les coordonnées de $K$, le point d'intersection de la droite $\Delta $ avec la courbe~$C_f$. \itemitemalphnum Calculer $f' (x)$ et montrer que l'on a, pour tout $x>0$, $$ f' (x) = {(x-1)^2 (x+2) \over x^3}. $$ \itemitemalph \' Etudier le signe de $f' (x)$. En déduire le tableau de variations de $f$. \itemitemalph Déterminer une équation de $T$, la tangente à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse~1. \itemnum Représenter les droites $T$ et $\Delta $ ainsi que la courbe $C_f$ dans le repère $(O, \vec \imath , \vec \jmath )$. \finexo \corrige {} \itemnum On trouve \dresultat {\lim _{x\to +\infty } f (x) = +\infty } puisque $$ f (x) = x + {3 \over x} - {1\over x^2} \qquad {\rm avec} \qquad \cases { \lim _{x\to +\infty } x = +\infty \cr \lim _{x\to +\infty } {3\over x} = 0 \cr \lim _{x\to +\infty } {1\over x^2} = 0 \cr} $$ \itemalphnum On trouve facilement \dresultat {f (x) = {x^3 + 3x - 1\over x^2}} par réduction au même dénominateur de l'expression de $f$ proposée. \itemalph On en déduit que $$ \dresultat {\lim _{x\to 0} f (x) = -\infty } \qquad {\rm puisque} \qquad \cases { \lim _{x\to 0} x^3 + 3x - 1 = -1 \cr \lim _{x\to 0} {x^2} = 0^+ \cr } $$ Géométriquement, cette limite signifie que la droite d'équation \tresultat {$x=0$ est asymptote verticale à $C_f$} \itemalphnum Et on a \tresultat {$\Delta $ asymptote à $C_f$ en $+\infty $} puisque $$ \lim _{x\to +\infty } f (x) - x = \lim _{x\to +\infty } {3 \over x} - {1\over x^2} = 0 $$ d'après les calculs du {\bf 1.}. \itemalph Chercher l'intersection de la droite $\Delta $ avec la courbe $C_f$ revient à résoudre le système $$ \cases { y = x \cr y = f (x) \cr } \quad \Leftrightarrow \quad \cases { y = x \cr \displaystyle x = x + {3\over x^2} - {1\over x^3} \cr } \quad \Leftrightarrow \quad \cases { y = x \cr \displaystyle 0= {3x-1\over x^3} \cr } \quad \Leftrightarrow \quad \cases { y = x \cr 0= 3x-1 \cr } $$ Ce système n'admet qu'un couple soltion, d'où les coordonnées de l'unique point d'in\-ter\-sec\-tion~: \dresultat {K \left( {1\over 3}, {1\over 3}\right) } \itemalphnum Le calcul de $f' (x)$ donne $$ f' (x) = 1 - {3\over x^2} + {2\over x^3} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {f' (x) = {x^3 - 3x + 2\over x^3}}. $$ Or le développement de l'expression proposée donne $$ {(x-1)^2 (x+2) \over x^3} = {(x^2 - 2x + 1) (x+2) \over x^3} = {x^3 - 3x + 2\over x^3} = f' (x). $$ D'où le résultat demandé. \itemalph Pour l'étude du signe de la dérivée, on utilise la forme factorisée de $f'$ puis on fait un tableau de signes~: $$\dresultat { \vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil } \halign { % preamble \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$} \cr x&& 0 && 1&& +\infty \cr \noalign {\hrule height 1pt } (x-1)^2 && &+& 0& + \cr \noalign {\hrule } x+2 && &+& \tv & + \cr \noalign {\hrule } x^3 && 0&+& \tv & + \cr \noalign {\hrule height 1pt } f' (x)&& \doublevrule &+& 0& + \cr \noalign {\hrule height 1pt} \buucenter {$f (x)$}&& \down {$-\infty $}& \brightuparrow & \buucenter{$3$}& \bup {\brightuparrow }& \buup {$+\infty $} \cr }} }$$ \itemalph Quand au calcul de la tangente, on utilise la formule $y = f' (a) (x-a) + f (a)$. Sachant que $f' (1) = 0$ et que $f (1) = 3$, il vient \dresultat {T~: y = 3}. \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/term/sti/analyse/fonctions/} \vfill \eject \itemnum $$ \superboxepsillustrate {frct_010.ps} $$ \fincorrige