\exo{\'Etude d'une cubique -- Calcul d'aire} \itemnum Le plan est muni du repère orthonormal $(O, \vec \imath, \vec \jmath\, )$ (unité de longueur 2~cm). On considère $C_f$, la représentation graphique de la fonction numérique $f$ définie définie sur $\rset$ par $$ f (x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, $$ où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des constantes réelles. La représentation graphique de la courbe $C_f$ est donnée ci-dessous~: % \def \epspath{% $HOME/tex_doc/lycee/database/term/sti/analyse/fonctions/} \epsfxsize = 80mm % $$ \superboxepsillustrate{pol_001a.ps} $$ On précise qu'aux points $A$ et $B$, la tangente est parallèle à l'axe des abscisses. \itemitemalph \`A l'aide du graphique, déterminer les valeurs de $f (0)$, $f (1)$, $f' (0)$ et $f' (2)$. \itemitemalph Déterminer les valeurs des constantes $a$, $b$, $c$ et $d$. \itemnum On considère la fonction $g$ définie sur $\rset$ par $$ g (x) = x^3 - 3x^2 + 1. $$ \itemitemalph Déterminer les limites de la fonction $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$. \itemitemalph \'Etudier les variations de la fonction $g$ sur $\rset$. (Autrement dit calculer la dérivée $g' (x)$, étudier le signe de cette dérivée, puis établir le tableau de variations de $g (x)$.) \itemnum On admet que la représentation graphique donnée ci-avant est celle de $C_g$, la courbe re\-pré\-sen\-ta\-ti\-ve de la fonction $g$. \itemitemalph Calculer $g (1)$. En déduire le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $[1, 2]$. \itemitemalph Déterminer, en $\cm^2$, l'aire du domaine plan limité par la courbe $C_g$, l'axe $Ox$ et les droites d'équation $x= 1$ et $x=2$. \itemitemalph Hachurer cette aire sur le dessin. \finexo \corrige{} \itemalphnum La courbe passe par les points $A (0, 1)$ et $(1, -1)$ donc \mresultat{f (0) = 1} et \mresultat{f (1) = -1}. De plus, on a des tangentes horizontales en $A (0, 1)$ et $B (2, -3)$, donc \mresultat{f' (0) = 0} et \mresultat{f' (2) = 0}. \itemalph Comme $f' (x) = 3ax^2 + 2bx + c$, on déduit des quatres conditions ci-dessus le système $$ \cases{ d = 1 \cr a + b + c + d = -1 \cr c = 0 \cr 12a + 4b + c = 0 \cr} \qquad \Longrightarrow \qquad \cases{ d = 1 \cr a + b = -2 \cr c = 0 \cr 3a + b = 0 \cr} \qquad \Longrightarrow \qquad \cases{ d = 1 \cr b = -3 \cr c = 0 \cr a = 1 \cr} $$ donc \mresultat{(a, b, c, d) = (1, -3, 0, 1)}, et \mresultat{f (x) = x^3 -3x^2 + 1}. \everymath = {\displaystyle} \itemalphnum On a $ \lim_{x \rightarrow +\infty} g (x) = \lim_{x \rightarrow +\infty} x^3 \left( 1 - {3\over x} + {1\over x^3}\right) $, donc \dresultat{\lim_{x \rightarrow +\infty} g (x) = +\infty}. \item{} De la même façon, $ \lim_{x \rightarrow -\infty} g (x) = \lim_{x \rightarrow -\infty} x^3 \left( 1 - {3\over x} + {1\over x^3}\right) $, donc \dresultat{\lim_{x \rightarrow -\infty} g (x) = -\infty}. \itemalph On a $g' (x) = 3x^2 - 6x$, et donc, sous forme factorisée, \dresultat{g' (x) = 3x (x-2)}. Une étude de signe permet de conclure~: $$\vbox{ \eightpoint\rm \def \hfq{\hfil \ } \offinterlineskip \halign{ % preamble &\hfq #\hfq \cr $x$& \vrule& $-\infty$&& $0$&& $2$&& $+\infty$% \cr \noalign{\hrule} $3x$& \vrule height 10pt depth 3pt & & $-$& $0$& $+$& \vrule & $+$& \cr \noalign{\hrule} $x-2$& \vrule height 10pt depth 3pt & & $-$& \vrule & $-$& $0$& $+$& \cr \noalign{\hrule} $g' (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt & & $+$& $0$& $-$& $0$& $+$ \cr \noalign{\hrule} \bbuucenter{$g (x)$}& \vrule& \down{$-\infty$}\hfill& \bbrightuuparrow & \bbuup{$1$}& \bbrightddownarrow & \down{$-3$}& \bbrightuuparrow & \bbuup{$+\infty$}% \cr }} $$ \itemalphnum On trouve \mresultat{g (1) = -1}, or $g$ est décroissante sur $[1, 2]$ d'après le tableau de variations, donc \mresultat{g (x) < 0 {\rm \ sur\ } [1, 2]}. \itemalph La fonction $g$ gardant un signe constant négatif sur $[1, 2]$, l'aire cherchée est donnée, en unités d'aire, par le calcul $$\eqalign{ {\cal A} &= -\int_1^2 f (x)\, dx = \int_2^1 (x^3 -3x^2 +1) \, dx \cr &= \left[ {x^4 \over4} - x^3 + x\right]_2^1 = {1\over4} + 2 = {9\over4}. \cr }$$ L'unité d'aire étant de $2\times 2 = 4 \cm^2$, on en déduit qu'une mesure de l'aire cherchée est \dresultat{{\cal A} = 9\cm ^2}. \itemalph \def \epspath{% $HOME/tex_doc/lycee/database/term/sti/analyse/fonctions/} \epsfxsize = 100mm % $$ \superboxepsillustrate{pol_001b.ps} $$ \fincorrige