\exo{Calcul de valeurs moyennes} On rappelle que la valeur moyenne sur $[a,b]$ d'une fonction numérique définie et continue sur cet intervalle est le réel $m$ défini par~: $$\dresultat{ m = {1\over b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx. }$$ \itemnum Calculer $m_1$, la valeur moyenne sur $[0;\pi /2]$ de la fonction numérique $f_1$ définie par~: $$ f_1(x) = \sin x . $$ \itemnum Calculer $m_2$, la valeur moyenne sur $[0;\pi / 2]$ de la fonction numérique $f_2$ définie par~: $$ f_2(x) = \cos^2x . $$ \itemnum Calculer $m_3$, la valeur moyenne sur $[0;\pi /2]$ de la fonction numérique $f_3$ définie par~: $$ f_3(x) = \sin x \cos^2 x . $$ \finexo \corrige \itemnum Il vient $$ m_1 = {2\over \pi } \int _0^{\pi /2} \sin x \, dx = {2\over \pi }\Big[ -\cos \Big] _0^{\pi /2} = {2\over \pi }\Big( -\cos {\pi \over 2} + \cos 0\Big) \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {m_1 = {2\over \pi }} $$ \itemnum Il faut bien sûr linéariser $\cos ^2 x$. Il vient~: $$\eqalign { m_2 &= {2\over \pi } \int _0^{\pi /2} \cos ^2 x \, dx = {2\over \pi } \int _0^{\pi /2} {1\over 2} (1 + \cos 2 x) \, dx \cr &= {2\over \pi } \times {1\over 2} \int _0^{\pi /2} (1 + \cos 2 x) \, dx = {1\over \pi }\Big[ x + {1\over 2}\sin 2x \Big] _0^{\pi /2} \cr &= {1\over \pi }\Big( {\pi \over 2} + {1\over 2} \sin \pi\Big) \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {m_2 = {1\over 2}} }$$ \itemnum Il nous faut calculer $$ m_3 = {2\over \pi } \int _0^{\pi /2} \sin x \cos ^2 x \, dx $$ On reconnaît une intégrale du type $\int -u' u^2 $ avec $u = \cos x$. Une primitive sera $-{1\over 3} u^3$. Il vient alors $$\eqalign { m_3 &= {2\over \pi } \int _0^{\pi /2} \sin x \cos ^2 x \, dx = {2\over \pi }\Big[ -{1\over 3} \cos ^3 x \Big] _0^{\pi /2} \cr &= {2\over \pi }\times {-1\over 3} \Big( \cos ^3{\pi \over 2} - \cos^3 0\Big) \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {m_3 = {2\over 3\pi }} } $$ \fincorrige