\exo {Un problème de bac, {\sl Bac sti gm, 1999}} \let \partie \centerpartie Dans tout le problème, le plan $P$ est rapporté à un repère orthonormal $(O, \vec \imath, \vec \jmath \,)$ d'unité graphique 2~cm. Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty [$ par $$ f (x) = {x+2+\ln x\over x}. $$ La courbe représentative $C$ de la fonction $f$ dans le repère $(O, \vec \imath, \vec \jmath \,)$ est tracée sur la feuille ci-jointe ({\bf à compléter au fur et à mesure et à rendre avec la copie}). \partie {I -- \' Etude de la fonction $f$} \itemnum D'après le graphique, il semble que l'axe des ordonnées soit asymptote à la courbe $C$. Le prouver par le calcul. \itemitemalphnum Vérifier que pour tout $x$ de $]0, +\infty [$, $$ f (x) = 1 + {2\over x} + {\ln x \over x}. $$ \itemitemalph Déterminer la limite de $f$ en $+\infty $. \itemitemalph En déduire l'existence d'une asymptote $D$ à la courbe $C$. Donner son équation et la tracer sur la feuille ci-jointe. \itemitemalphnum Prouver que, pour tout $x$ de $]0, +\infty [$, $$ f' (x) = {-1-\ln x\over x^2}. $$ \itemitemalph Montrer que $f' (x)$ s'annule en changeant de signe en $e^{-1}$. \itemitemalph \' Etablir le tableau de variation de $f$. Dans ce tableau, on donnera la valeur exacte du maximum de~$f$. \partie {II -- Position relative de deux courbes} \itemnum Soit $g$ la fonction définie sur $]0, +\infty [$ par $$ g (x) = {x+2\over x} $$ et $H$ la courbe représentative de $g$ dans le repère $(O, \vec \imath , \vec \jmath )$. \itemitemalph \' Etudier rapidement la fonction $g$ sur $]0, +\infty [$ (dérivée, limites, tableau de variation). \itemitemalph Donner les équations des deux asymptotes de la courbe $H$. \itemitemalphnum Calculer $f (x) - g (x)$ et étudier son signe. \itemitemalph Montrer que les deux courbes $C$ et $H$ se coupent en un point $K$ d'abscisse~1. \itemitemalph \' Etudier la position relative des deux courbes $C$ et $H$. \itemnum Placer le point $K$ et construire la courbe $H$ sur la feuille ci-jointe. \partie {III -- Calcul d'une aire} Soit $\alpha $ un réel tel que $\alpha > 1$. On note $A (\alpha )$ l'aire du domaine plan limité par les courbes $C$ et $H$ et par les droites d'équation $x=1$ et $x=\alpha $. \itemnum Soit $u$ la fonction définie sur $]0, +\infty [$ par $$ u (x) = {1\over 2} \big( \ln x \big) ^2. $$ Vérifier que $u$ est une primitive de \smash {$\displaystyle {\ln x\over x}$} sur $]0, +\infty [$. \itemnum Calculer $A (\alpha )$ en cm$^2$. \itemnum En remarquant que $\ln \alpha $ est strictement positif, calculer $\alpha $ pour que $A (\alpha ) = 8~\cm ^2$. Hachurer l'aire correspondante sur le graphique (feuille ci-jointe) à rendre avec la copie. %\vfill \eject \centerline {\fourteenbf Feuille annexe (à rendre avec la copie)} \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/term/sti/analyse/ln/} \catcode`\|=12 \input /usr/share/texmf/tex/generic/pstricks/pstricks.tex %%\epsfxsize = 210mm \psset{unit=1pt} \pspicture(-37.98,-53.23)(342.86,431.76) %% \pspicture(-61.66,-53.23)(603.33,211.76) \psset{xunit=54.16,yunit=30.48} %% \psset{xunit=30.48,yunit=30.48} \rput{90}(5,2.6){\epsfbox{\epspath pbm_008a.ps}} \endpspicture \finexo \corrige {} \let \partie \llappartie \partie {I} %% \vskip -5mm % \itemnum On a $$ \lim _{x\to 0^+} f (x) = \lim _{x\to 0^+} {x+2+\ln x \over x} = -\infty \qquad {\rm puisque} \qquad \lim _{x\to 0^+} x = 0^+ \quad {\rm et} \quad \lim _{x\to 0^+} x+2+\ln x = -\infty . $$ Donc \dresultat {\lim _{x\to 0^+} f (x) = -\infty }, ce qui prouve que la droite d'équation $x=0$ est asymptote verticale à la courbe de $f$. \itemalphnum En réduisant l'expression proposée au même dénominateur, on vérifie immédiatement que l'on a bien \dresultat {f (x) = 1 + {2\over x} + {\ln x\over x}}. \itemalph En utilisant l'écriture précédente, il vient $$ \lim _{x\to +\infty } f (x) = \lim _{x\to +\infty } 1 + {2\over x} + {\ln x\over x} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {\lim _{x\to +\infty } f (x) = 1} $$ puisque $$ \lim _{x\to +\infty } {2\over x} = 0 \qquad {\rm et} \qquad \lim _{x\to +\infty } {\ln x\over x} = 0 \quad \hbox {d'après le cours}. $$ \itemalph Le résultat précédent prouve alors que la droite \tresultat {$y=1$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$}. \itemalphnum Calculons la dérivée à partir de la première écriture de $f (x)$. Il vient~: $$ f' (x) = {(1+{1\over x})\times x - (x+2+\ln x)\over x^2} = {x+1-x-2-\ln x \over x^2} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {f' (x) = {-1-\ln x \over x^2}}. $$ \itemalph \alph \ Il est clair que $f' (x)$ est du signe de $-1-\ln x$ puisque $x^2$ est toujours positif. Or $$ -1 - \ln x \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad -1 \geq \ln x \quad \Longleftrightarrow \quad e^{-1} \geq x $$ d'où le tableau récapitulatif suivant~: $$\dresultat { \vcenter {\halign {\offinterlineskip %% preamble \cc {$#$}& #\tv && \hss \ $#$\hss \ \cr x&& 0&& e^{-1}&& +\infty \cr \noalign {\hrule } f' (x)&& &+& 0& -& \cr \noalign {\hrule } \bbuucenter {$f (x)$}&& \down {$-\infty $}& \bbrightuuparrow & \bbuup {$1+e$}& \bbrightddownarrow & \down {$1$} \cr }} } \qquad {\rm où} \qquad \vcenter {\hsize = 50mm $$\eqalign { f (e^{-1}) &= 1 + {2\over e^{-1}} + {\ln e^{-1}\over e^{-1}} \cr &= 1 + 2e - e \cr \rm soit \quad & \dresultat {f (e^{-1}) = 1+e \approx 3, 718} \cr } $$} $$ \partie {II} %% \vskip -7mm %% \itemalphnum On trouve facilement \dresultat {g' (x) = -2/x^2}, dont le signe est \tresultat {toujours négatif}. De plus, on a $$\displaylines { \dresultat {\lim _{x\to 0^+} g (x) = +\infty } \qquad {\rm puisque} \qquad \lim _{x\to 0^+} x+2 = 2 \quad {\rm et} \quad \lim _{x\to 0^+} x = 0^+ \cr \lim _{x\to +\infty } g (x) = \lim _{x\to +\infty } {x(1+{2\over x})\over x} = \lim _{x\to +\infty } 1+{2\over x} \qquad {\rm d'où} \qquad \dresultat {\lim _{x\to +\infty } g (x) = 1} \cr } $$ D'où le tableau récapitulatif suivant~: $$\dresultat { \vcenter {\halign {\offinterlineskip %% preamble \cc {$#$}& #\tv && \hss \ $#$\hss \ \cr x&& 0&& +\infty \cr \noalign {\hrule } g' (x)&&& -& \cr \noalign {\hrule } \bbucenter {$g (x)$}&& \bbup {$+\infty $}& \bbrightdownarrow & \down {$1$} \cr }} } $$ \itemalph Les limites précédentes nous indiquent deux asymptotes pour la courbe $H$~: $$ \tresultat {$x=0$ asymptote verticale} \qquad {\rm et} \qquad \tresultat {$y=1$ asymptote horizontale} $$ \itemnum Il vient facilement \dresultat {f (x) - g (x) = (\ln x)/x}, qui est du signe de $\ln x$ puisque $x$ est toujours positif sur l'intervalle considéré. Et comme l'étude du signe de cette différence nous donne les positions relatives des courbes $C$ et $H$, on a le tableau récapitulatif suivant $$\dresultat { \vcenter {\halign {\offinterlineskip %% preamble \cc {$#$}& #\tv && \cc {#} \cr x&& 0&& 1&& $+\infty$ \cr \noalign {\hrule } f (x) - g (x)&&& $-$ & $0$& $+$ \cr \noalign {\hrule } \hbox {positions relatives}&&& $C$ au dessous de $H$& \tv & $C$ au dessus de $H$% \cr }} } $$ tableau qui nous prouve entre autre que le point $K$ d'abscisse $1$ est \tresultat {le seul point d'intersection entre $H$ et $C$}. \partie {III} %% \vskip -5mm %% \itemnum La fonction $u$ est de la forme $k U^2$, donc sa dérivée est $2k U'U$. Il vient donc $$un u' (x) = {1\over 2} \times 2 \times {1\over x} \times \ln x \qquad {\rm soit} \qquad u' (x) = {\ln x \over x}, $$ ce qui prouve que \tresultat {$u$ est une primitive de $\displaystyle {\ln x\over x}$}. \itemnum L'unité d'aire est de $2~\cm \times 2~\cm = 4\cm ^2$. De plus, étant donné que la courbe $C$ est au dessus de la courbe $H$ pour $x>1$, on a $$ A (\alpha ) = 4\times \int _1^\alpha f (x) - g (x) \, dx = 4\times \int _1^\alpha {\ln x\over x}\, dx = 4\times \Big[ u (x)\Big] _1^\alpha = 4\times \big(u (\alpha ) - u (1)\big) \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {A (\alpha ) = 2(\ln \alpha )^2} $$ \itemnum On a $\alpha > 1$, donc $\ln \alpha > 0$, or on veut $$ A (\alpha ) = 8 \qquad {\rm soit} \qquad 2(\ln \alpha )^2 = 8 \qquad {\rm soit} \qquad \ln \alpha = \sqrt 4 = 2 \quad \hbox {puisque $\ln \alpha $ positif} $$ %% \qquad {\rm d'où} \qquad d'où \dresultat {\alpha = e^{2} \approx 7, 38}. \catcode`\|=12 \input /usr/share/texmf/tex/generic/pstricks/pstricks.tex %% \input /usr/share/texmf/tex/generic/pstricks/pst-eps.tex %% \input /usr/share/texmf/tex/generic/pstricks/pst-node.tex %% \input /usr/share/texmf/tex/generic/pstricks/pst-tree.tex \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/term/sti/analyse/ln/} %% $$ %% \superboxepsillustrate {pbm_008b.ps} %% $$ $$ %% xsize: 133.85 mm %% ysize: 93.13 mm \superboxit {0pt}{ \psset{unit=1pt} \pspicture(-37.98,-53.23)(342.86,211.76) \psset{xunit=30.48,yunit=30.48} \rput(5,2.6){\epsfbox{\epspath pbm_008b.ps}} \uput[u](6,4){$\displaystyle {C_f~: y={x+2+\ln x \over x}}$} \uput[u](6,3){$\displaystyle {H~: y={x+2\over x}}$} \endpspicture } $$ \fincorrige