\exo{Intensité d'un rayon lumineux} En traversant une plaque de verre teintée, un rayon lumineux perd $23\%$ de son intensité lumineuse. \itemnum Soit $I_0$ l'intensité d'un rayon à son entrée dans la plaque de verre, et $I_1$ son intensité à sa sortie. Exprimer $I_1$ en fonction de $I_0$. \itemnum On superpose $n$ plaques de verre identiques. On note $I_n$ l'intensité du rayon à la sortie de la $n^{\rm ième}$ plaque. \itemitemalph Exprimer $I_n$ en fonction de $I_{n-1}$. \itemitemalph Quelle est la nature de la suite $(I_n)$~? Préciser le premier terme et la raison. \itemitemalph En déduire l'expression de $I_n$ en fonction de $I_0$. \itemnum Déterminer le nombre minimal de plaques qu'un rayon doit avoir traversé pour que son intensité sortante soit inférieure ou égale au quart de son intensité entrante. \finexo \corrige{} \itemnum On a $$ I_1 = I_0 - {23 \over 100} I_0 = (1 - 0, 23) \times I_0, \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{I_1 = 0, 77 \times I_0}. $$ \itemalphnum De la même façon, l'intensité après la $n^{\rm ième}$ plaque sera $23\%$ plus faible qu'avant cette plaque. On a donc $$ \dresultat{I_n = 0, 77 \times I_{n-1}}. $$ \itemalph On voit que pour passer d'un cran au suivant, on multiplie toujours par le même nombre $0, 77$. Donc \tresultat{$(I_n)$ est une suite géométrique}, de \tresultat{premier terme $I_0$} et de \tresultat{raison $0, 77$}. \itemalph Du coup, le cours nous dit que $$ \dresultat{I_n = (0, 77)^n \times I_0} $$ \itemnum On veut trouver l'entier $n$ tel que $(0, 77)^n \leq 1/4$. \`A la calculatrice, on trouve facilement qu'il faut prendre au minimum \mresultat{n = 6}. \fincorrige