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   1 \section{Les surfaces paramétrées}
   2 \subsection{Méthode}
   3 Les surfaces paramétrées écrites sous la forme $[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]$
   4 seront gérées grâce à la commande \verb+\psSolid+ par l'option
   5 \Cadre{object=surfaceparametree} et définies soit en \textit{notation
   6 polonaise inverse} (\texttt{RPN}, \textit{Reverse Polish Notation})~:
   7
   8 {\red
   9 \begin{verbatim}
  10 \defFunction{shell}(u,v){1.2 v exp u Sin dup mul v Cos mul mul}% x(u,v)
  11                         {1.2 v exp u Sin dup mul v Sin mul mul}% y(u,v)
  12                         {1.2 v exp u Sin u Cos mul mul}        %z(u,v)
  13 \end{verbatim}
  14 }
  15 soit en \textit{notation algébrique} :
  16 {\red
  17 \begin{verbatim}
  18 \defFunction[algebraic]{shell}(u,v){1.2^v*(sin(u)^2*cos(v))}% x(u,v)
  19                                    {1.2^v*(sin(u)^2*sin(v))}% y(u,v)
  20                                    {1.2^v*(sin(u)*cos(u))}  %z(u,v)
  21 \end{verbatim}
  22 }
  23 Les plages de valeurs pour $u$ et $v$ sont définies dans l'option
  24 \Cadre{range=$\mathtt{u_{min}}$ $\mathtt{u_{max}}$ $\mathtt{v_{min}}$
  25 $\mathtt{v_{max}}$}.  %$
  26
  27 Le tracé de la fonction est activé par
  28 \Cadre{function=nom\_de\_la\_fonction}, ce nom a été précisé lorsque les
  29 équations paramétriques ont été écrites :
  30 \verb+\defFunction{nom_de_la_fonction}...+
  31
  32 Tout autre choix que $u$ et $v$ est acceptable. Rappelons que l'argument de
  33 \Cadre{Sin} et \Cadre{Cos} doit être en radians et celui de \Cadre{sin} et
  34 \Cadre{cos} en degrés si vous utilisez la \textit{RPN}. En notation
  35 algébrique, l'argument est en radians.
  36
  37
  38 \subsection{Exemple 1 : dessin d'un coquillage}
  39 \newcommand\quadrillage{%
  40 \psset{linecolor={[cmyk]{1,0,1,0.5}}}\green
  41 \multido{\ix=-4+1}{9}{%
  42     \psPoint(\ix\space,4,-3){X1}
  43     \psPoint(\ix\space,4 .2 add,-3){X2}
  44     \psline(X1)(X2)
  45     \uput[-120](X1){\small\ix}}
  46 \multido{\iy=-4+1}{9}{%
  47     \psPoint(-4,\iy\space,-3){Y1}
  48     \psPoint(-4 .2 sub,\iy\space,-3){Y2}
  49     \psline(Y1)(Y2)
  50     \uput[0](Y1){\small\iy}}
  51 \multido{\iz=-3+1}{7}{%
  52     \psPoint(4,4,\iz\space){Z1}
  53     \psPoint(4,4 .2 add,\iz\space){Z2}
  54     \psline(Z1)(Z2)
  55     \uput[l](Z1){\small\iz}}
  56 \psPoint(0,4 0.5 add,-3){X0}
  57 \uput[-120](X0){$x$}
  58     \psPoint(-4 .5 sub,0,-3){Y0}
  59 \uput[0](Y0){$y$}}
  60 \begin{LTXexample}[width=7.8cm]
  61 \psset{unit=0.75}
  62 \begin{pspicture}(-5.5,-6)(4.5,4)
  63 \psframe*(-5.5,-6)(4.5,4)
  64 \psset[pst-solides3d]{viewpoint=20 120 30 rtp2xyz,
  65   Decran=15,lightsrc=-10 15 10}
  66 % Parametric Surfaces
  67 \psSolid[object=grille,base=-4 4 -4 4,
  68   action=draw*,linecolor={[cmyk]{1,0,1,0.5}}]
  69   (0,0,-3)
  70 \defFunction{shell}(u,v)
  71   {1.2 v exp u Sin dup mul v Cos mul mul}
  72   {1.2 v exp u Sin dup mul v Sin mul mul}
  73   {1.2 v exp u Sin u Cos mul mul}
  74 \psSolid[object=surfaceparametree,
  75   linecolor={[cmyk]{1,0,1,0.5}},
  76   base=0 pi pi 4 div neg 5 pi mul 2 div,
  77   fillcolor=yellow!50,incolor=green!50,
  78   function=shell,linewidth=0.5\pslinewidth,ngrid=25]%
  79 \psSolid[object=parallelepiped,a=8,b=8,c=6,
  80   action=draw,linecolor={[cmyk]{1,0,1,0.5}}]%
  81 \quadrillage
  82 \end{pspicture}
  83 \end{LTXexample}
  84
  85 \begin{LTXexample}[width=7.8cm]
  86 \psset{unit=0.75}
  87 \begin{pspicture}(-5,-4)(5,6)
  88 \psframe*(-5,-4)(5,6)
  89 \psset[pst-solides3d]{viewpoint=20 20 -10 rtp2xyz,
  90   Decran=15,lightsrc=5 10 2}
  91 % Parametric Surfaces
  92 \psSolid[object=grille,base=-4 4 -4 4,
  93   action=draw*,linecolor=red](0,0,-3)
  94 \defFunction[algebraic]{shell}(u,v)
  95   {1.21^v*(sin(u)*cos(u))}
  96   {1.21^v*(sin(u)^2*sin(v))}
  97   {1.21^v*(sin(u)^2*cos(v))}
  98 %% \defFunction{shell}(u,v)
  99 %%    {1.2 v exp u Sin u Cos mul mul}
 100 %%    {1.2 v exp u Sin dup mul v Sin mul mul}
 101 %%    {1.2 v exp u Sin dup mul v Cos mul mul}
 102 \psSolid[object=surfaceparametree,
 103    linecolor={[cmyk]{1,0,1,0.5}},
 104    base=0 pi pi 4 div neg 5 pi mul 2 div,
 105    fillcolor=green!50,incolor=yellow!50,
 106    function=shell,linewidth=0.5\pslinewidth,
 107    ngrid=25]%
 108 \white%
 109 \gridIIID[Zmin=-3,Zmax=4,linecolor=white,
 110   QZ=0.5](-4,4)(-4,4)
 111 \end{pspicture}
 112 \end{LTXexample}
 113
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 115
 116 \subsection{Exemple 2 : une hélice tubulaire}
 117 \begin{LTXexample}[width=5.5cm]
 118 \psset{unit=0.75}
 119 \begin{pspicture}(-3,-4)(3,6)
 120 \psset[pst-solides3d]{viewpoint=20 10 2,Decran=20,
 121   lightsrc=20 10 10}
 122 % Parametric Surfaces
 123 \defFunction{helix}(u,v)
 124   {1 .4 v Cos mul sub u Cos mul 2 mul}
 125   {1 .4 v Cos mul sub u Sin mul 2 mul}
 126   {.4 v Sin mul u .3 mul add}
 127 \psSolid[object=surfaceparametree,linewidth=0.5\pslinewidth,
 128   base=-10 10 0 6.28,fillcolor=yellow!50,incolor=green!50,
 129   function=helix,
 130   ngrid=60 0.4]%
 131 \gridIIID[Zmin=-3,Zmax=3](-2,2)(-2,2)
 132 \end{pspicture}
 133 \end{LTXexample}
 134
 135
 136 \subsection{Exemple 3 : un cône}
 137 \begin{LTXexample}[width=10cm]
 138 \psset{unit=0.5}
 139 \begin{pspicture}(-9,-7)(10,12)
 140 \psframe*(-9,-7)(10,12)
 141 \psset[pst-solides3d]{
 142   viewpoint=20 5 10,
 143   Decran=50,lightsrc=20 10 5}
 144 \psSolid[
 145   object=grille,base=-2 2 -2 2,
 146   linecolor=white](0,0,-2)
 147 % Parametric Surfaces
 148 \defFunction{cone}(u,v)
 149   {u v Cos mul}{u v Sin mul}{u}
 150 \psSolid[object=surfaceparametree,
 151    base=-2 2 0 2 pi mul,
 152    fillcolor=yellow!50,
 153    incolor=green!50,function=cone,
 154    linewidth=0.5\pslinewidth,
 155    ngrid=25 40]%
 156 \psset{linecolor=white}\white
 157 \gridIIID[Zmin=-2,Zmax=2]
 158   (-2,2)(-2,2)
 159 \end{pspicture}
 160 \end{LTXexample}
 161
 162
 163 \subsection{Un site}
 164 Vous trouverez sur le site :
 165
 166 \centerline{\url{http://k3dsurf.sourceforge.net/}}
 167
 168 un excellent logiciel pour représenter les surfaces avec de nombreux
 169 exemples de surfaces paramétrées et autres.