%@metapost:lillesep1999.mp
%@Titre: Lille (Sept.) -- 1999
\par\compo{5}{lillesep1999}{1}{
Dans ce problème, l'unité utilisée est le centimètre.
\\Soit $ABCD$ un rectangle de centre $O$ tel que : $AB=8$ et $BC=6$ (voir figure ci-contre).
\\Soit $E$ un point du segment $[AB]$ distinct de $A$ et $B$.
\\La parallèle à $(BD)$ passant par $E$ coupe $[AD]$ en $F$.
\\On appelle $G$, le point du segment $[CD]$, symétrique de $E$ par rapport à $O$, et $H$, le point du segment $[BC]$, symétrique de $F$ par rapport à $O$.
}
\begin{center}
\textbf{\Large{Partie A }}
\end{center}
\begin{myenumerate}
\item Placer les points $F$, $G$ et $H$.
\item Démontrer que $EBGD$ est un parallélogramme.
\item Soit $K$ le point d'intersection de la droite $(EF)$ et de la droite $(CD)$.
\\Démontrer que $BEKD$ est un parallélogramme.
\item Démontrer que $D$ est le milieu de $[GK]$.
  \begin{enumerate}
  \item Que représente la droite $(AD)$ pour le segment $[GK]$ ? Justifier.
  \item En déduire que : $FG=FK$.
  \item Démontrer que : $BD=EF+FG$.
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Démontrer que $EFGH$ est un parallélogramme.
  \item Démontrer que son périmètre est égal à $2BD$.
  \end{enumerate}
\end{myenumerate}
\begin{center}
\textbf{\Large{Partie B }}
\end{center}
On rappelle que : $AB=8$, $BC=6$ et on pose : $AE=x$.
\begin{myenumerate}
\item\`A l'aide de la propriété de Thalès dans le triangle $ABD$, exprimer $AF$ en fonction de $x$.
\item
  \begin{enumerate}
  \item Sans justifier, donner la transformation permettant d'affirmer que les triangles $AFE$ et $HCG$ ont la même aire.
  \item Démontrer que : aire($AFE$) + aire($HCG$) = $\dfrac34x^2$.
  \item On admet que : aire($EBH$) + aire($FDH$) = $\dfrac34x^2-12x+48$.
\\Montrer que l'aire du parallélogramme $EFGH$ est égale à : $12x-\dfrac32x^2$.
  \end{enumerate}
\item Quelle est l'aire du parallélogramme $EFGH$ lorsque $E$ est au milieu de $[AB]$ ?
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Démontrer l'égalité : $24-\dfrac32(x-4)^2=\dfrac12aire(ABCD)$.
\\Que remarque-t-on alors pour le point $E$ ?
  \end{enumerate}
\end{myenumerate}