%@Titre: La Droite D'Euler.
%@Dif:4
\partie{150}{Construction}
\begin{myenumerate}
\item Soit $ABC$ un triangle supposé non équilatéral.
\item Soit $O$ le centre du cercle $({\cal C})$ circonscrit au triangle $ABC$.
\item Soit $F$ le point diamétralement opposé à $A$.
\item Soit $K$ le point d'intersection de la hauteur issue de $A$ avec le cercle $({\cal C})$
\item Soit $M$ le milieu du segment $[BC]$.
\item Soit $H$ le point d'intersection des droites $(FM)$ et $(AK)$.
\item Soit $G$ le point d'intersection des droites $(OH)$ et $(AM)$.
\end{myenumerate}
\partie{150}{Démonstration}
\begin{myenumerate}
\item Montre que les triangles $AFK$ et $AFC$ sont rectangles.
\item
\begin{enumerate}
\item Montre que la droite $(OM)$ est la médiatrice du segment $[BC]$.
\item Montre que les droites $(OM)$ et $(AK)$ sont parallèles.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montre que $M$ est le milieu du segment $[HF]$.
\item Montre que le quadrilatère $BHCF$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montre que les droites $(BH)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.
\item Montre que $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montre que $G$ est le centre de gravité du triangle $AHF$.
\item Quelle est la position remarquable de $G$ sur le segment $[OH]$ ?
\item Montre que $G$ est aussi le centre de gravité du triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}
%@Commentaire: Exercice d'approfondissement. La difficulté réside dans la longueur de la démonstration et dans les synthèses à faire.