%@metapost:clermont1996.mp %@Titre: Clermont -- 1996 L'unité de longueur est le centimètre. \paragraph{Première partie} On considère un triangle isocèle $SBC$ tel que $SB=SC=5$ et $BC=6$. La hauteur issue de $S$ coupe le segment $[BC]$ en $I$. \begin{myenumerate} \item Faire une figure que l'on complétera dans la question 4. \item Démontrer que $SI=4$. \item Calculer l'aire, en cm$^2$, du triangle $SBC$. \item On note $I'$ le point du segment $[SI]$ tel que $SI'=\dfrac14SI$. Par $I'$, on trace la parallèle à la droite $(BC)$ ; elle coupe les droites $(SB)$ et $(SC)$ respectivement en $B'$ et $C'$. Le triangle $SB'C'$ est donc une réduction du triangle $SBC$. \begin{enumerate} \item Préciser le rapport de réduction des longueurs. (On donnera le résultat sans explication.) \item En déduire l'aire, en cm$^2$, du triangle $SB'C'$. \end{enumerate} \end{myenumerate} \paragraph{Deuxième partie}\subitem{} \par\compo{3}{clermont1996}{1}{On considère une pyramide régulière $SABCD$ de sommet $S$ et à base carrée telle que $AB=6$ et $SB=5$. \par La hauteur de la pyramide est $[SH]$. On fera les deux figures demandées dans cette partie sur une même feuille de papier millimétré. } \begin{myenumerate} \item Tracer, en vraie grandeur, la base $ABCD$ de la pyramide et placer précisément le point $H$ sur le dessin. \item Tracer, en vraie grandeur (sans calculer $HB$ mais en utilisant la figure précédente), le triangle $SHB$ rectangle en $H$. \item Quelle est la nature du triangle $SBC$ ? (On précisera les longueurs de ses côtés.) \item\subitem{}\par \par\compo{4}{clermont1996}{1}{ On note $I$ le pied de la hauteur issue de $S$ du triangle $SBC$ et $H'$ le point du segment $[SH]$ tel que $SH'=\dfrac14SH$. On note $A'$, $B'$, $C'$, $D'$, $I'$ les points d'intersection des droites $(SA)$, $(SB)$, $(SC)$, $(SD)$ et $(SI)$ avec le plan passant par $H'$ et parallèle au plan de la base $ABCD$ de la pyramide.} \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du quadrilatère $A'B'C'D'$ ? (On précisera les longueurs de ses côtés.) \item Le triangle $SBC$ est le triangle décrit dans la première partie et on a $SI'=\dfrac14SI$.\par Calculer, en utilisant les résultats de la première partie, l'aire, en cm$^2$, du trapèze $BB'C'C$. \item En déduire l'aire latérale, en cm$^2$, de la partie tronquée de la pyramide comprise entre les plans parallèles $ABCD$ et $A'B'C'D'$. \end{enumerate} \end{myenumerate}