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%@metapost:groupeIsep1999.mp
%@Titre: Groupe I (Sept.) -- 1999
Un paysagiste doit planter des arbres. Chaque arbre est placé dans un trou cylindrique. Il  est ensuite maintenu au sol à l'aide de câbles, comme le montre le dessin ci-dessous.
\\Dans le problème, l'unité de longueur choisie est le {\bf décimètre}.
\\Toutes les réponses seront justifiées.
\begin{center}
\textbf{\Large{Partie A }}
\end{center}
\compo{3}{groupeIsep1999}{1}{
On donne les informations suivantes :
\begin{itemize}
\item les points $A$, $B$ et $C$ déterminent un triangle rectangle en $A$ ;
\item $AB=18$ ; $AC=9$ ;
\item $D$ est un point du segment $[AB]$, tel que $AD=\dfrac23AB$ ;
\item $E$ est un point du segment $[AC]$ ;
\item les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
\end{itemize}
\begin{myenumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Calculer la valeur exacte de $AD$.
  \item Prouver que $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac23$. En déduire la valeur exacte de $AE$.
  \end{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Calculer la valeur exacte de $BC$. L'écrire sous la forme $a\sqrt5$, où $a$ est un nombre entier.
  \item Prouver que $DE=6\sqrt5$.
  \end{enumerate}
\item Déduire des questions précédentes le périmètre du quadrilatère $DBCE$.
\item Calculer la mesure, arrondie au degré, de l'angle $\widehat{ADE}$.
\end{myenumerate}
}
\begin{center}
\textbf{\Large{Partie B }}
\end{center}
Le rayon $r$ du trou creusé dans le sol mesure 4~dm. La profondeur $p$ du trou mesure 7~dm.
\begin{myenumerate}
\item Calculer le volume $V_1$, exprimé en dm$^3$, du trou creusé pour loger un arbre. Donner la réponse sous la forme $k\times\pi$, où $k$ est un nombre entier.
\item Le volume de la terre augmente de 25\% lorsqu'on la déplace. Soit $V_2$ le volume, exprimé en dm$^3$, qu'occupera la terre déplacée. Montrer que $V_2=140\pi$.
\item Avec la terre déplacée, on forme un cône de volume $V_2$ et dont le rayon mesure 6~dm.\\Calculer la hauteur de ce cône. On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée au décimètre près.
\end{myenumerate}