%@metapost:polynesiesep2000.mp %@Titre: Polynésie (Sept.) -- 2000 \textit{Dans tout le problème, les longueurs sont exprimées en cm et les volumes en cm$^3$.} \par\compo{1}{polynesiesep2000}{1}{$$\includegraphics{polynesiesep2000.2}$$ } \par On rappelle que le volume du cylindre de révolution d'aire de base $S$ et de hauteur $h$ est donné par la formule $V=S \times h$. \\On rappelle que le volume d'un cône de révolution d'aire de base $S$ et de hauteur $h$ est donné par la formule $V=\dfrac13S \times h$. \begin{center} \textbf{\Large{Partie I}} \end{center} On considère les deux verres représentés ci-dessus. \begin{itemize} \item le premier verre est un cylindre de révolution dont l'aire de base est 30 et dont la hauteur mesure $2x$, où $x$ est un nombre positif, $x \leqslant 4$. \item Le deuxième verre est constitué d'un cône dont l'aire de base est 30 et dont la hauteur mesure $x$, surmonté d'un cylindre dont l'aire de base est 30 et dont la hauteur vaut 2. \end{itemize} Soient $V_{1}$ le volume du premier verre et $V_{2}$ le volume du deuxième verre. \begin{myenumerate} \item Exprimer ces volumes en fonction de $x$. \item \begin{enumerate} \item $V_{1}$ est-il proportionnel à $x$ ? Justifier. \item $V_{2}$ est-il proportionnel à $x$ ? Justifier. \end{enumerate} \end{myenumerate} \begin{center} \textbf{\Large{Partie II}} \end{center} \textit{Cette partie peut être traitée même sans avoir résolu la partie I.} \begin{myenumerate} \item \begin{enumerate} \item Tracer dans un repère orthogonal $(O, I, J)$ en prenant : \begin{itemize} \item 2~cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses ; \item 1~cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées. \end{itemize} On placera l'origine $O$ du repère en bas à gauche de la feuille. \item Dans ce repère, construire les représentations graphiques des fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$ définies par : $$f_{1}(x)=60x\mbox{ et }f_{2}(x)=10x+60$$ \end{enumerate} \item Résoudre l'équation suivante : $$ 60x=10x+60$$ \item Retrouver sur le graphique la solution de cette équation, en faisant apparaître en couleur les tracés effectués. \end{myenumerate} \begin{center} \textbf{\Large{Partie III}} \end{center} En utilisant les résultats obtenus dans la partie I et la partie II, déterminer pour quelles valeurs de $x$ le deuxième verre a une contenance inférieure à celle du premier.