%@Titre: Madagascar -- 2003 \textit{Dans ce problème, l'unité de longueur est le centimètre et l'unité d'aire est le cm$^2$. On pourra utiliser une feuille de papier millimétré.} \begin{myenumerate} \item $(O,I,J)$ est un repère orthonormé, avec $OI=OJ=1$~cm. \begin{enumerate} \item Placer les points suivants : \[A(-2;-1) \qquad B(-5;3) \qquad C(3;9)\] \item Donner les coordonnées des vecteurs $\vecteur{AB}$ et $\vecteur{BC}$ puis vérifier par un calcul que $AB=5$ et $BC=10$. \end{enumerate} \item Calculer les coordonnées du vecteur $\vecteur{AC}$ et en déduire la longueur $AC$ (on l'écrira sous la forme $a\sqrt5$ où $a$ est un entier). \item Démontrer que $ABC$ est un triangle rectangle en $B$. \item Calculer les coordonnées du milieu $K$ du segment $[AC]$. \item \begin{enumerate} \item Placer le point $D$ symétrique de $B$ par rapport au point $K$. \item Démontrer que $ABCD$ est un rectangle. \item Calculer son aire, puis celle du triangle $ABC$. \end{enumerate} \item La droite perpendiculaire à $(AC)$ passant par $B$ coupe $(AC)$ en $H$ et $(AD)$ en $L$. Utiliser l'aire du triangle $ABC$ pour vérifier que $BH=2\sqrt5$. \item On donne la valeur de $AH$ : $AH=\sqrt5$. \begin{enumerate} \item Calculer $HC$ (l'écrire sous la forme $a\sqrt5$ où $a$ est un entier). \item Utiliser le théorème de Thalès pour calculer $AL$. \end{enumerate} \end{myenumerate}