%@Titre: La Droite D'Euler. %@Dif:4 \partie{150}{Construction} \begin{myenumerate} \item Soit $ABC$ un triangle supposé non équilatéral. \item Soit $O$ le centre du cercle $({\cal C})$ circonscrit au triangle $ABC$. \item Soit $F$ le point diamétralement opposé à $A$. \item Soit $K$ le point d'intersection de la hauteur issue de $A$ avec le cercle $({\cal C})$ \item Soit $M$ le milieu du segment $[BC]$. \item Soit $H$ le point d'intersection des droites $(FM)$ et $(AK)$. \item Soit $G$ le point d'intersection des droites $(OH)$ et $(AM)$. \end{myenumerate} \partie{150}{Démonstration} \begin{myenumerate} \item Montre que les triangles $AFK$ et $AFC$ sont rectangles. \item \begin{enumerate} \item Montre que la droite $(OM)$ est la médiatrice du segment $[BC]$. \item Montre que les droites $(OM)$ et $(AK)$ sont parallèles. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montre que $M$ est le milieu du segment $[HF]$. \item Montre que le quadrilatère $BHCF$ est un parallélogramme. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montre que les droites $(BH)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires. \item Montre que $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montre que $G$ est le centre de gravité du triangle $AHF$. \item Quelle est la position remarquable de $G$ sur le segment $[OH]$ ? \item Montre que $G$ est aussi le centre de gravité du triangle $ABC$. \end{enumerate} \end{myenumerate} %@Commentaire: Exercice d'approfondissement. La difficulté réside dans la longueur de la démonstration et dans les synthèses à faire.