{\em Dans ce problème, l'unité de longueur est le millimètre.} \par $ABC$ est un triangle tel que $AB=42$, $AC=56$, $BC=70$. $M$ est un point du segment $[BC]$. \\La perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant par $M$ coupe le segment $[AB]$ en $H$. \\La perpendiculaire à la droite $(AC)$ passant par $M$ coupe le segment $[AC]$ en $K$. \begin{myenumerate} \item Démontre que $ABC$ est un triangle rectangle en $A$. \item Démontre que le quadrilatère $AHMK$ est un rectangle. \end{myenumerate} \par\paragraph{Partie A} Dans cette partie, $BM=14$. \begin{myenumerate} \item Calcule les longueur $BH$ et $HM$. \item En déduire la longueur $AH$. \item Calcule le périmètre du rectangle $AHMK$. \end{myenumerate} \par\paragraph{Partie B} Dans cette partie, on pose $BM=x$ ($x$ en mm). \begin{myenumerate} \item Donne un encadrement de $x$. \item \begin{enumerate} \item Démontre que $HM=0,8\,x$. \item Exprime la longueur $BH$ en fonction de $x$. \item Déduis-en que $AH=42-0,6x$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calcule la valeur de $x$ pour laquelle $HM=AH$. \item Pour la valeur obtenue, précise la nature du quadrilatère $AHMK$ et calcule son périmètre. \end{enumerate} \end{myenumerate}