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Le but de cet exercice est de calculer la valeur exacte de $\sin15$\degres\medskip
 
Dans la figure ci-dessous qui n'est pas représentée en vraie grandeur, $ABC$ est un triangle équilatéral de côté 2~cm pour lequel $[AH]$ est une médiatrice, $BCD$ est un triangle rectangle isocèle en $D$, et $K$ est le pied de la hauteur issue de $D$ dans le triangle $ABD$.\newline
On admet que le point $D$ appartient au segment $[AH]$.\medskip
 
\begin{minipage}{11cm}
	\begin{myenumerate}
		\item%
		\begin{enumerate}
			\item Calcule les valeurs exactes des longueurs $BD$, $DH$, $AH$ et $AD$.
			\item Déduis-en la valeur exacte de l'aire du triangle $ABD$.
		\end{enumerate}
		\item Dans cette question, on \emph{n'utilisera pas} les résultats de la question 1.
		\begin{enumerate}
			\item En justifiant ta réponse, donne la mesure de l'angle $\widehat{ABD}$.
			\item Démontre que $KD=\sqrt{2}\times\sin15$\degres.
			\item Déduis de la question précédente, l'expression de l'aire du triangle $ABD$ en fonction de $\sin15$\degres.
		\end{enumerate}
		\item Démontre que $\sin15\mbox{\degres}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
	\end{myenumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6.5cm}
	\begin{center}
		\psset{unit=1.0cm}
		\begin{pspicture*}(0.5,0.5)(5.5,5)
			\psline[linewidth=0.3pt](2.8,2.8)(3,2.6)(3.2,2.8)%codages angles droits
			\psline[linewidth=0.3pt](3.28,1)(3.28,1.28)(3,1.28)
			\psline[linewidth=0.3pt](2.55,3.26)(2.66,3.44)(2.47,3.55)
			\pspolygon(1,1)(5,1)(3,4.46)
			\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](3,4.46)(3,1)%AH
			\psline(1,1)(3,3)(5,1)%BD et DC
			\psline[linewidth=0.3pt](1.91,2.04)(2.04,1.91)%codages segments égaux
			\psline[linewidth=0.3pt](1.96,2.09)(2.09,1.96)
			\psline[linewidth=0.3pt](4.04,2.09)(3.91,1.96)
			\psline[linewidth=0.3pt](4.09,2.04)(3.96,1.91)
			\psline[linestyle=dashed,dash=1.5pt 1.5pt](2.37,3.37)(3,3)%KD
			\rput[bl](0.6,0.9){B}\rput[bl](5.1,0.9){C}\rput[bl](2.9,4.64){A}
			\rput[bl](2.92,0.6){H}\rput[bl](3.1,3.1){D}\rput[bl](2.1,3.4){K}
		\end{pspicture*}
	\end{center}
\end{minipage}