%@Auteur:\url{bricamath.net}\par Le but de cet exercice est de calculer la valeur exacte de $\sin15$\degres\medskip Dans la figure ci-dessous qui n'est pas représentée en vraie grandeur, $ABC$ est un triangle équilatéral de côté 2~cm pour lequel $[AH]$ est une médiatrice, $BCD$ est un triangle rectangle isocèle en $D$, et $K$ est le pied de la hauteur issue de $D$ dans le triangle $ABD$.\newline On admet que le point $D$ appartient au segment $[AH]$.\medskip \begin{minipage}{11cm} \begin{myenumerate} \item% \begin{enumerate} \item Calcule les valeurs exactes des longueurs $BD$, $DH$, $AH$ et $AD$. \item Déduis-en la valeur exacte de l'aire du triangle $ABD$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on \emph{n'utilisera pas} les résultats de la question 1. \begin{enumerate} \item En justifiant ta réponse, donne la mesure de l'angle $\widehat{ABD}$. \item Démontre que $KD=\sqrt{2}\times\sin15$\degres. \item Déduis de la question précédente, l'expression de l'aire du triangle $ABD$ en fonction de $\sin15$\degres. \end{enumerate} \item Démontre que $\sin15\mbox{\degres}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ \end{myenumerate} \end{minipage} \begin{minipage}{6.5cm} \begin{center} \psset{unit=1.0cm} \begin{pspicture*}(0.5,0.5)(5.5,5) \psline[linewidth=0.3pt](2.8,2.8)(3,2.6)(3.2,2.8)%codages angles droits \psline[linewidth=0.3pt](3.28,1)(3.28,1.28)(3,1.28) \psline[linewidth=0.3pt](2.55,3.26)(2.66,3.44)(2.47,3.55) \pspolygon(1,1)(5,1)(3,4.46) \psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](3,4.46)(3,1)%AH \psline(1,1)(3,3)(5,1)%BD et DC \psline[linewidth=0.3pt](1.91,2.04)(2.04,1.91)%codages segments égaux \psline[linewidth=0.3pt](1.96,2.09)(2.09,1.96) \psline[linewidth=0.3pt](4.04,2.09)(3.91,1.96) \psline[linewidth=0.3pt](4.09,2.04)(3.96,1.91) \psline[linestyle=dashed,dash=1.5pt 1.5pt](2.37,3.37)(3,3)%KD \rput[bl](0.6,0.9){B}\rput[bl](5.1,0.9){C}\rput[bl](2.9,4.64){A} \rput[bl](2.92,0.6){H}\rput[bl](3.1,3.1){D}\rput[bl](2.1,3.4){K} \end{pspicture*} \end{center} \end{minipage}