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%@Titre: Formule de Héron.
%@Dif:5
La formule de Héron permet de calculer l'aire d'un triangle connaissant ces trois côtés.\\Si les longueurs des côtés sont $a$, $b$, $c$ alors en appelant $p$ le demi-périmètre du triangle et $S$ l'aire du triangle, on a
\[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]
Pour la démonstration, on considère un triangle $ABC$, de hauteur $AH$, tel que $\widehat{BAC}$ soit un angle aigu. On appelle :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $a$, $b$, $c$ les longueurs respectives des côtés $BC$, $AC$ et $AB$;
\item[$\bullet$] $h_a$ la hauteur $AH$;
\item[$\bullet$] $x$ la longueur $HC$.
\end{itemize}
\begin{myenumerate}
  \item Exprime $S$ en fonction de $a$ et $h_a$.
  \item Exprime $p$ en fonction de $a$, $b$ et $c$.
  \item Exprime $c^2$ en fonction de $a$, $b$ et $x$.
  \item 
    \begin{enumerate}
    \item Déduis-en l'écriture de $x$ en fonction de $a$, $b$ et $c$.
    \item Déduis-en l'écriture de $h_a^2$ en fonction de $a$, $b$ et $c$. Montre ensuite que l'on peut écrire :
\[h_a^2=\left(b-\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}\right)\times\left(b+\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}\right)\]
puis sous la forme
\[h_a^2=\frac1{4a^2}\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)\]
\item Factorise l'expression $\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)$.
\item Factorise l'expression $\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)$.
    \end{enumerate}
  \item En étudiant $S^2$, déduis-en la formule de Héron.
\end{myenumerate}