1 \documentclass[12pt
]{article
}
2 \usepackage{pst-anamorphosis-add,pst-plot,pst-
3d
}
4 \usepackage[nomessages
]{fp
}
5 \usepackage[T1]{fontenc}
6 \usepackage[ansinew
]{inputenc}
7 \usepackage{amsmath,amssymb
}
8 \usepackage[a4paper]{geometry
}
10 \definecolor{sepia
}{rgb
}{1,
0.8,
0.8}
11 \definecolor{grisclair
}{rgb
}{0.8,
0.8,
0.8}
12 \definecolor{BleuCiel
}{cmyk
}{0.2,
0,
0,
0}
13 \definecolor{OrangePale
}{cmyk
}{0,
0.2,
0.4,
0}
14 \title{Les anamorphoses : présentation théorique
}
15 \author{Jürgen Gilg, Manuel Luque, Jean-Michel Sarlat
}
16 \date{15 octobre
2011}
19 \section{L'anamorphose cylindrique
}
20 \input{fig3d-anacyl.tex
}
22 \begin{pspicture
}(-
4,-
1)(
6.5,
7.5)
33 \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!
30](G')(G)(S)(S')
34 \psaxes[ticks=none,labels=none
]{->
}(
0,
0)(-
4,
0)(
6.5,
7.5)
41 \psline[linestyle=dashed
](
3;
0)
%
43 \psarc[doubleline=true
](
0,
0)
{1}{-
90}{-
54.46}%
44 \psarc[doubleline=true
](
0,
0)
{1}{54.46}{90}
45 \uput[72](
1.2;
72)
{$
\alpha$
}%
46 \uput[-
72](
1.2;-
72)
{$
\alpha$
}%
47 \rput{-
90}(
0,
0)
{\psframe(
0.3,
0.3)
}
49 \psline[linecolor=red
](V)(I)(P')
50 \pcline[nodesepB=
1.5,linecolor=red,arrowsize=
0.175,arrowinset=
0.075]{->>
}(P')(I)
51 \pcline[nodesepB=
2.5,linecolor=red,arrowsize=
0.175,arrowinset=
0.075]{->>
}(I)(V)
57 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{|<->|
}(
0,-
0.2)(
1,-
0.2)
58 \uput[-
90](
0.5,-
0.2)
{$r_P$
}
59 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{<->
}(
0,
2.8)(
3,
2.8)
60 \uput[-
90](
1.5,
2.8)
{$r_I=R$
}
63 On place à l'intérieur du cylindre l'image telle qu'elle doit
64 être vue par un observateur regardant dans le miroir cylindrique
65 (on peut la placer à l'extérieur, mais il faut que les rayons lumineux rencontrent toujours le cylindre, il faut donc veiller aux dimensions). L'objet anamorphique est «~l'objet déformé~» dont le miroir reconstituera les proportions réelles.
\par
66 Objet et image obéissent aux lois de la réflexion de l'optique
69 \item rayon incident et rayon réfléchi appartiennent à un même
71 \item rayon incident et rayon réfléchi sont symétriques par
72 rapport à la normale au miroir au point d'incidence.
74 L'image non déformée (celle qui est vue dans le miroir) est
75 placée, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de
76 l'objet anamorphique se réfléchit sur le miroir et après réflexion
77 parvient à l'
{\oe}il de notre observateur. L'observateur a
78 l'illusion que le rayon provient du point image.
79 Il faut donc reconstruire mathématiquement la marche d'un tel
80 rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir.
\par
81 L'observateur est suffisamment éloigné du miroir pour pouvoir être
82 considéré comme ponctuel.
84 Soit $P$ un point de l'image(noté $A'$ dans le schéma ci-après), $V$ l'
{\oe}il de l'observateur. Traçons un
85 droite $PV$ et déterminons le point d'intersection $I$ avec le
86 cylindre : c'est le point d'incidence.
\par
87 $V(x_V,y_V,z_V)$ et $P(x_P,y_P,
0)$
\par
88 L'équation paramétrique de la droite $(PV)$ s'écrit $
\overrightarrow{IV
}=
\rho\overrightarrow{PV
}$:
91 x_V-x_I&=&
\rho(x_V-x_P)\\
92 y_V-y_I&=&
\rho(y_V-y_P)\\
99 x_I&=&x_V(
1-
\rho)+
\rho x_P\\
100 y_I&=&y_V(
1-
\rho)+
\rho y_P\\
105 Le point $I$ appartenant au cylindre, ses coordonnées vérifient la
108 Après développement, on obtient l'équation du second degré en
110 $$a
\rho^
2+
2b'
\rho+c=
0$$ avec :
113 a=(x_V-x_P)^
2+(y_V+y_P)^
2\\
114 b'=x_Vx_P+y_Vy_P-x_V^
2-y_V^
2\\
119 La résolution de cette équation nous donne les solutions
123 \rho'=
\dfrac{-b'+
\sqrt{\Delta'
}}{a
}\\
124 \rho''=
\dfrac{-b'-
\sqrt{\Delta'
}}{a
}
127 \qquad \Delta'=b'^
2-ac
129 On retiendra la plus petite valeur positive des deux, que par la suite j'appelle $
\rho$.
131 $IV$ représente le rayon réfléchi par le miroir. Le rayon incident est
132 défini par la droite symétrique de $IV$ par rapport à la normale
133 au miroir en $I$. Je cherche le symétrique de $V$, nommé $V'$ par rapport à
134 cette normale $IN$. Ce point $V'$ remplit deux conditions :
136 \item $
\overrightarrow{IV
}+
\overrightarrow{IV'
}=k
\overrightarrow{IN
}$
137 \item $
\overrightarrow{VV'
}.
\overrightarrow{IN
}=
0$
139 La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur
140 $
\overrightarrow{IN
}(x_I,y_I,
0)$\\
141 La première condition se traduit par :
144 x_V-x_I+x_
{V'
}-x_I=kx_I\\
145 y_V-x_I+y_
{V'
}-y_I=ky_I\\
152 x_
{V'
}=kx_I+
2x_I-x_V\\
153 y_
{V'
}=ky_I+
2y_I-y_V\\
159 $$(x_
{V'
}-x_V)x_I+(y_
{V'
}-y_V)y_I=
0$$
160 En remplaçant $x_
{V'
}$ et $y_
{V'
}$ tirés de la première condition
162 $$k(x_I^
2+y_I^
2)+
2x_I^
2-
2x_Vx_I+
2y_I^
2-
2y_Vy_I=
0$$
163 $$kR^
2+
2R^
2=
2(x_Vx_I+y_Vy_I)$$
164 $$k+
2=
\dfrac{2}{R^
2}(x_Vx_I+y_Vy_I)$$
165 Les coordonnées de $V'$ s'en déduisent :
168 x_
{V'
}=(k+
2)x_I-x_V\\
169 y_
{V'
}=(k+
2)y_I-y_V\\
174 Il reste à trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan
175 horizontal $z=
0$.
\par
176 \'Equation paramétrique de $IV'$, M étant un point courant :
177 $
\overrightarrow{MV'
}=
\alpha\overrightarrow{IV'
}$
180 x_
{V'
}-x=
\alpha(x_
{V'
}-x_I)\\
181 y_
{V'
}-y=
\alpha(y_
{V'
}-y_I)\\
182 z_
{V'
}-z=
\alpha(z_
{V'
}-z_I)
186 $z=
0\Longrightarrow \alpha=
\dfrac{z_
{V'
}}{z_
{V'
}-z_I
}$ soit
187 $$
\alpha=
\dfrac{1-
2\rho}{-
\rho}$$
188 En remplaçant $
\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonnées du point de l'objet
192 x=x_
{V'
}-
\alpha(x_
{V'
}-x_I)\\
193 y=y_
{V'
}-
\alpha(y_
{V'
}-y_I)
197 Cette série de calculs doit être appliquée à tous les points de
198 l'image « normale » afin d'obtenir l'objet anamorphique (déformé)
199 dont le miroir « redressera » la forme.
201 On notera que
\textit{la cote de l'observateur $z_V$ n'intervient pas
}. On le comprend aisément en faisant un dessin du plan vertical passant par l'
\oe{}il et l'axe du cylindre miroir. La position de la projection horizontale étant fixée $(x_V,y_V)$, quelle que soit la valeur de $z_V$, $A$ et $A'$ étant symétriques par rapport à la génératrice du miroir appartenant au plan vertical choisi, si $A'$ est donné alors $A$ est fixé quelque soit~$z_V$.
202 \section{L'anamorphose conique
}
203 Le principe est identique à celui de l'anamorphose cylindrique :
204 imaginons un rayon lumineux provenant de l'objet « anamorphique »,
205 se réfléchissant sur le miroir conique et parvenant à l'
{\oe}il de
206 l'observateur placé au-dessus et dans l'axe du cône à une position
207 suffisamment haute pour que l'observateur puisse être considéré
208 comme ponctuel. Ainsi l'observateur aura l'illusion d'observer
209 l'image reconstituée par le miroir conique. Image et objet sont
210 dans le plan horizontal.
211 \input{fig3d-anacon.tex
}
212 Il s'agit de d\'
{e
}terminer en premier, l'intersection de $(VP)$ avec
213 le c\^
{o
}ne, qu'on appelle $I$ (point d'incidence). Les coordonn\'
{e
}es de
214 $V$, $S$ et $P$ sont not\'
{e
}es : $V(
0,
0,Z_V)$, $S(
0,
0,Z_S)$ et
217 L'\'
{e
}quation param\'
{e
}trique de la droite $(PV)$ s'\'
{e
}crit $
\overrightarrow{IV
}=
\lambda\overrightarrow{PV
}$:
220 0-x_I&=&
\lambda(
0-x_P)\\
221 0-y_I&=&
\lambda(
0-y_P)\\
222 z_V-z_I&=&
\lambda(z_V-
0)
236 r_I^
2=x_I^
2+y_I^
2\quad\textrm{et
}\quad r_P^
2=x_P^
2+y_P^
2\quad\textrm{et
}\quad |
\overrightarrow{OG
}|=R
238 Le point $I$ appartenant au c\^
{o
}ne, ses coordonn\'
{e
}es v\'
{e
}rifient la
239 relation (th\'
{e
}or\^
{e
}me de Thalès):
241 \frac{R
}{z_S
}=
\frac{r_I
}{z_S-z_I
}
245 \frac{R
}{z_S
}=
\frac{\lambda r_P
}{z_S-(
1-
\lambda)z_P
}
248 \lambda=
\frac{R(z_S-z_V)
}{r_Pz_S-R z_V
}
251 \begin{pspicture
}(-
4,-
1)(
6.5,
10)
260 \psdots[dotstyle=|
](P')
263 \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!
30](G')(G)(S)
264 \psaxes[ticks=none,labels=none
]{->
}(
0,
0)(-
4,
0)(
5.5,
10.5)
271 \psline[linestyle=dashed
](
4;
30.96)
272 \uput[15.5](
4;
30.1)
{$N$
}
273 \rput{-
59.036}(
0,
0)
{\psframe(
0.5,
0.5)
}
274 \psarc[doubleline=true
](
0,
0)
{1}{101.31}{120.964}
275 %\psarc[doubleline=true](0,0){1}{-79.09}{-59.036}
276 \psarc[doubleline=true
](
0,
0)
{1.2}{-
59.036}{-
39.38}
279 \uput[-
50](I1)
{$
\alpha$
}
280 \uput[112](I2)
{$
\alpha$
}
282 \rput(P')
{\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray
](
0,
0)
{1}{140.175}{180}
283 \uput[160](
1;
160)
{$
\alpha'$
}}
284 \rput(S)
{\psarc[linecolor=gray,linewidth=
2\pslinewidth](
0,
0)
{1}{-
90}{-
59.036}
285 \uput[-
75](
1;-
75)
{$
\theta$
}}
286 \rput(V)
{\psarc(
0,
0)
{2}{-
90}{-
78.69}
287 \uput[-
80](
2;-
85)
{$
\beta$
}}
288 \psline[linecolor=red
](V)(I)(P')
289 \pcline[nodesepB=
1.5,linecolor=red,arrowsize=
0.175,arrowinset=
0.075]{->>
}(P')(I)
290 \pcline[nodesepB=
4,linecolor=red,arrowsize=
0.175,arrowinset=
0.075]{->>
}(I)(V)
297 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{|<->|
}(
0,-
0.2)(
2,-
0.2)
298 \uput[-
90](
1,-
0.2)
{$r_P$
}
299 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{|<->|
}(
0,-
0.8)(
3,-
0.8)
300 \uput[-
90](
1.5,-
0.8)
{$R$
}
301 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{<->
}(
1.5,
2.5)(
0,
2.5)
302 \uput[-
90](
0.75,
2.5)
{$r_I$
}
303 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{<->|
}(-
0.2,
0)(-
0.2,
5)
304 \uput[180](-
0.2,
2.5)
{$z_S$
}
305 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{<->|
}(-
1,
0)(-
1,
10)
306 \uput[180](-
1,
5)
{$z_V$
}
307 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth,linestyle=dashed
](
1.5,
2.5)(
1.5,
0)
310 Pour construire le rayon incident, $(P'I)$, $(IV)$ est le rayon
311 r\'
{e
}fl\'
{e
}chi, d\'
{e
}terminons~$
\alpha'$.
313 Un raisonnement g\'
{e
}om\'
{e
}trique \'
{e
}l\'
{e
}mentaire nous montre que :
315 \alpha'=
90^
\circ-
2\theta+
\beta
319 \beta=
\arctan\frac{r_P
}{z_V
}
323 \theta=
\arctan\frac{R
}{z_S
}\quad\textrm{demi-angle au sommet du c\^
{o
}ne
}
325 Dans le plan horizontal, les coordonn\'
{e
}es de $P'$ sont :
329 x_
{P'
}&=&x_I+
\dfrac{z_I
}{\tan \alpha'
}\\
[0.5cm
]
330 y_
{P'
}&=&y_I+
\dfrac{z_I
}{\tan \alpha'
}\\
334 \section{L'anamorphose sphérique
}
336 \begin{pspicture
}(-
4,-
1)(
8,
5)
337 \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!
30](
0,
0)
{2}{0}{180}
338 \psaxes[labels=none,ticks=none
]{->
}(
0,
0)(-
3,
0)(
7.5,
5)
341 \pnode(!/alpha
15 def /xI
2 alpha cos mul def /yI
2 alpha sin mul def /beta yI xI
1.5 sub atan def xI yI)
{I
}
343 \rput(I)
{\pnode(!beta cos
5 mul beta sin
5 mul)
{V
}}
344 \psline[linecolor=red
](I)(V)
345 \rput(I)
{\psarc[doubleline=true
](
0,
0)
{1}{!alpha
}{!beta
}
346 \psarc[doubleline=true
](
0,
0)
{1.2}{!
2 alpha mul beta sub
}{!alpha
}}
347 \pnode(!yI neg xI
2 alpha mul beta sub tan mul add
2 alpha mul beta sub tan div
0)
{M
}
348 \psline[linecolor=red
](M)(I)
349 \pcline[nodesepB=
0.5,linecolor=red,arrowsize=
0.175,arrowinset=
0.075]{->>
}(M)(I)
350 \pcline[nodesepB=
2,linecolor=red,arrowsize=
0.175,arrowinset=
0.075]{->>
}(I)(V)
351 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{<->
}(O)(I)
353 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{<->
}(O)(V)
354 \uput[75](
3,
2.7)
{$r_V$
}
355 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{|<->|
}(
0,-
0.3)(
1.5,-
0.3)
356 \uput[-
90](
0.75,-
0.3)
{$r_P$
}
358 \psline[linestyle=dashed
](
5;
15)
360 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth,linecolor=gray
](
1.5;
105)
361 \uput[105](
1.5;
105)
{$T$
}
362 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth,linecolor=gray
](
1.25;-
75)
363 \rput{-
75}(
0,
0)
{\psframe(
0.3,
0.3)
}
376 On place à l'intérieur de la demi-sphère l'image telle qu'elle doit
377 être vue par un observateur regardant dans le miroir sphérique.
378 (on peut la placer à l'extérieur, mais il faut que les rayons lumineux rencontrent toujours la sphère, il faut donc veiller aux dimensions). L'objet anamorphique est «~l'objet déformé~» dont le miroir reconstituera les proportions réelles.
\par
379 Objet et image obéissent aux lois de la réflexion de l'optique
382 \item rayon incident et rayon réfléchi appartiennent à un même
384 \item rayon incident et rayon réfléchi sont symétriques par
385 rapport à la normale au miroir au point d'incidence.
387 L'image non déformée (celle qui est vue dans le miroir) est
388 placée, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de
389 l'objet anamorphique se réfléchit sur le miroir et après réflexion
390 parvient à l'
{\oe}il de notre observateur. L'observateur a
391 l'illusion que le rayon provient du point image.
392 Il faut donc reconstruire mathématiquement la marche d'un tel
393 rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir.
\par
394 L'observateur est suffisamment éloigné du miroir pour pouvoir être
395 considéré comme ponctuel.
397 Soit $P$ un point de l'image, $V$ l'
{\oe}il de l'observateur. Traçons un
398 droite $PV$ et déterminons le point d'intersection $I$ avec la
399 sphère : c'est le point d'incidence.
\par
400 $V(x_V,y_V,z_V)$ et $P(x_P,y_P,
0)$
\par
401 L'équation paramétrique de la droite $(PV)$ s'écrit $
\overrightarrow{IV
}=
\lambda\overrightarrow{PV
}$:
404 x_V-x_I&=&
\lambda(x_V-x_P)\\
405 y_V-y_I&=&
\lambda(y_V-y_P)\\
406 z_V-z_I&=&
\lambda(z_V-
0)
412 x_I&=&x_V(
1-
\lambda)+
\lambda x_P\\
413 y_I&=&y_V(
1-
\lambda)+
\lambda y_P\\
418 Le point $I$ appartenant à la sphère, ses coordonnées vérifient la
420 $$x_I^
2+y_I^
2+z_I^
2=R^
2$$
423 r_V^
2=x_V^
2+y_V^
2+z_V^
2\quad\textrm{et
}\quad r_P^
2=x_P^
2+y_P^
2
426 \left(x_V+
\lambda(x_P-x_V)
\right)^
2+
\left(y_V+
\lambda(y_P-y_V)
\right)^
2+
\left((
1-
\lambda)z_V
\right)^
2=R^
2
429 x_V^
2+
2\lambda x_V(x_P-x_V)+
\lambda^
2(x_P-x_V)^
2+y_V^
2+
2\lambda y_V(y_P-y_V) +
\lambda^
2(y_P-y_V)^
2+(
1-
2\lambda+
\lambda^
2)z_V^
2=R^
2
431 Après développement, on obtient l'équation du second degré en
434 \lambda^
2\left((x_P-x_V)^
2+(y_P-y_V)^
2+z_V^
2\right)+
2\lambda\left(x_V(x_P-x_V)+y_V(y_P-y_V)-z_V^
2\right)+x_V^
2+y_V^
2+z_V^
2-
438 \lambda^
2\left(x_V^
2+y_V^
2+z_V^
2+x_P^
2+y_P^
2-
2x_Px_V-
2y_Py_V
\right)+
2\lambda\left(-x_V^
2-y_V^
2-z_V^
2+x_Px_V+y_Py_V
\right)+x_V^
2+y_V^
2+z_V^
2-
442 a
\lambda^
2+
2b'
\lambda+c=
0
444 Pour le coefficient $a$ de $
\lambda^
2$
446 a=x_V^
2+y_V^
2+z_V^
2+x_P^
2+y_P^
2-
2x_Px_V-
2y_Py_V
448 Pour le coefficient $
2b'$ de $
\lambda$ :
450 2b'=-x_V^
2-y_V^
2-z_V^
2+x_Px_V+y_Py_V
452 Pour le coefficient $c$ :
454 c=x_V^
2+y_V^
2+z_V^
2-R^
2
457 a
\lambda^
2+
2b'
\lambda+c=
0
462 a=x_V^
2+y_V^
2+z_V^
2+x_P^
2+y_P^
2-
2x_Px_V-
2y_Py_V\\
463 b'=-x_V^
2-y_V^
2-z_V^
2+x_Px_V+y_Py_V\\
464 c=x_V^
2+y_V^
2+z_V^
2-R^
2
470 a=r_V^
2+r_P^
2-
2x_Px_V-
2y_Py_V\\
471 b'=-r_V^
2+x_Px_V+y_Py_V\\
476 La résolution de cette équation nous donne les solutions
480 \lambda'=
\dfrac{-b'+
\sqrt{\Delta'
}}{a
}\\
481 \lambda''=
\dfrac{-b'-
\sqrt{\Delta'
}}{a
}
484 \qquad \Delta'=b'^
2-ac
486 On retiendra la valeur positive.
% et \texttt{Coeff1} dans le programme.
488 $IV$ représente le rayon réfléchi par le miroir. Le rayon incident est
489 défini par la droite symétrique de $IV$ par rapport à la normale
490 au miroir en $I$. Je cherche le symétrique de $V$, nommé $V'$ par rapport à
491 cette normale $IN$. Ce point $V'$ remplit deux conditions :
493 \item $
\overrightarrow{IV
}+
\overrightarrow{IV'
}=k
\overrightarrow{IN
}$
494 \item $
\overrightarrow{VV'
}.
\overrightarrow{IN
}=
0$
496 La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur
497 $
\overrightarrow{IN
}(x_I,y_I,z_I)$\\
498 La première condition se traduit par :
501 x_V-x_I+x_
{V'
}-x_I=kx_I\\
502 y_V-x_I+y_
{V'
}-y_I=ky_I\\
503 z_V-z_I+z_
{V'
}-z_I=kz_I
509 x_
{V'
}=kx_I+
2x_I-x_V\\
510 y_
{V'
}=ky_I+
2y_I-y_V\\
517 (x_
{V'
}-x_V)x_I+(y_
{V'
}-y_V)y_I+(z_
{V'
}-z_V)z_I=
0
519 En remplaçant $x_
{V'
}$, $y_
{V'
}$ et $z_
{V'
}'$ tirés de la première condition
522 k(x_I^
2+y_I^
2+y_I^
2)+
2x_I^
2-
2x_Vx_I+
2y_I^
2-
2y_Vy_I+
2z_I^
2-
2z_Vz_I=
0
525 kR^
2+
2R^
2=
2(x_Vx_I+y_Vy_I+z_Vz_I)
528 k+
2=
\dfrac{2}{R^
2}(x_Vx_I+y_Vy_I)+z_Vz_I
530 Les coordonnées de $V'$ s'en déduisent :
533 x_
{V'
}=(k+
2)x_I-x_V\\
534 y_
{V'
}=(k+
2)y_I-y_V\\
539 Il reste à trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan
540 horizontal $z=
0$.
\par
541 \'Equation paramétrique de $IV'$, M étant un point courant :
542 $
\overrightarrow{MI
}=
\alpha\overrightarrow{V'I
}$
545 x_I-x=
\alpha(x_I-x_
{V'
})\\
546 y_I-y=
\alpha(y_I-y_
{V'
})\\
547 z_I-z=
\alpha(z_I-z_
{V'
})
551 $z=
0\Longrightarrow \alpha=
\dfrac{z_
{I
}}{z_I-z_
{V'
}}$.
553 En remplaçant $
\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonnées du point de l'objet
557 x=x_I-
\alpha(x_I-x_
{V'
})\\
558 y=y_I-
\alpha(y_I-y_
{V'
})\\
563 Cette série de calculs doit être appliquée à tous les points de
564 l'image « normale » afin d'obtenir l'objet anamorphique (déformé)
565 dont le miroir « redressera » la forme.
567 \textbf{Remarque
} : l'image doit se former du côté de l'observateur à l'intérieur du miroir, plus près du bord du miroir que du centre.
568 Si on déplace le point $P$ vers $O$, il arrive un moment où le rayon réfléchi part au-dessus de l'horizontale et ne rencontre plus le plan
569 horizontal. L'anamorphose n'est plus possible et pour les calculs c'est le CRASH !
571 \section{La perspective
}
572 Dans le livre de Jurgis Baltru
\9aaïtis
\footnote{ \textit{Anamorphoses : les perspectives dépravées
} en livre de poche chez Flammarion.
}, on trouve le principe de la «
\textit{costruzione legittima
} » avec un schéma de Léonard de Vinci (
1492) et des schémas anamorphiques de Niceron (
1658). Je cite page
58 :
574 << Rappelons en quelques mots quels ont été le procédés utilisés par les artistes pour l'ordonnancement de leurs tableaux en perspective normale. La première ligne tracée est celle de l'horizon à la hauteur de l'
\oe{}il. Deux points y sont ensuite fixés : au milieu le point principal vers où convergent toutes les lignes droites parallèles qui s'éloignent en profondeur ; sur la même horizontale et à la même distance du point principal que l'
\oe{}il, en face de la composition -- le point de distance, vers lequel convergent les diagonales.
577 \begin{pspicture
}(-
5,-
3)(
5,
15)
578 \psset{ua=
2,F=
10,D=
4,type=perspective
}
579 \psframe*
[linecolor=BleuCiel
](-
5,
10)(
5,
13)
580 \psframe*
[linecolor=OrangePale
](-
5,
2)(
5,
10)
581 \psline[arrowinset=
0,arrowsize=
2mm
]{->
}(
0,
14)
582 \psline[arrowinset=
0,arrowsize=
2mm
]{->
}(
7,
0)
589 \uput[ur
](F')
{$
{F'
}$
}
590 \rput(
0,
12)
{\multido{\n=
22.5+
45.0}{8}{%
591 \psline[linecolor=yellow
](
1;
\n)
}%
592 \pscircle[linestyle=none,fillstyle=gradient,gradmidpoint=
0,gradend=yellow,gradbegin=gray
]{0.5}}
593 \multido{\i=-
2+
1}{5}{%
594 \pnode(!
\i\space -
2)
{A
}
595 \pnode(!
\i\space 2)
{B
}
599 \multido{\i=-
2+
1}{5}{%
602 \pslineA[linecolor=blue
](A)(B)
603 \psline[linecolor=blue
](A)(B)
631 \psline[linecolor=red
](A)(F')
632 \psline[linecolor=red
](P)(F)
633 \psline[linecolor=lightgray
](P)(F')
634 \psline[linecolor=lightgray
](Q)(F')
635 \psline[linecolor=lightgray
](R)(F')
636 \psline[linecolor=lightgray
](S')(F')
637 \psline[linecolor=lightgray
](N2')(F')
638 \psline[linecolor=lightgray
](N3')(F')
641 \uput[ul
](A')
{$
{A'
}$
}
642 \uput[ur
](B')
{$
{B'
}$
}
647 \uput[ul
](C')
{$
{C'
}$
}
648 \uput[ur
](D')
{$
{D'
}$
}
650 \uput[dr
](O')
{$
{O'
}$
}
651 \psline{<->|
}(-
3,
2)(-
3,
10)
653 \pcline{|<->|
}(F)(F')
655 \psdots(A)(B)(C)(D)(A')(B')(C')(D')(P)(P')(F)(F')(O)(O')
656 \psdots[linecolor=blue
](N1)(N1')
657 \uput[dl
](N1)
{$
\blue {N_1
}$
}
658 \uput[dl
](N1')
{$
\blue {N_1'
}$
}
659 \psdots[linecolor=gray
](M2)(M2')
660 \uput[dr
](M2)
{\tiny $
\gray {(X,Y)
}$
}
661 \uput[dr
](M2')
{\tiny $
\gray {(x',y')
}$
}
662 \psdots[linecolor=red
](M1')
663 \uput[dr
](M1')
{\tiny $
\red {(
\alpha_1,
\beta_1)
}$
}
668 \item $A
\longrightarrow A'$
669 \item $B
\longrightarrow B'$
670 \item $C
\longrightarrow C'$
671 \item $D
\longrightarrow D'$
672 \item $O
\longrightarrow O'$
673 \item $M_1
\longrightarrow M_1'$
674 \item $M_2
\longrightarrow M'_2$
676 Déterminons les coordonnées $(
\alpha_1,
\beta_1)$ de l'intersection
677 de $(PF)$ avec $(AF')$.
679 Posons que les coordonnées des points essentiels sont :
689 \'Equation de $(AF')$ :
690 $$
\frac{y-f
}{x-e
}=
\frac{a-f
}{-a-e
}\Longrightarrow
691 x(a-f)+y(a+e)-a(f+e)=
0$$
692 \'Equation de $(PF)$ :
693 $$
\frac{x-
0}{y-f
}=
\frac{X-
0}{a-f
}\Longrightarrow x(a-f)-yX+fX=
0$$
694 Intersection $(PF)
\bigcap (AF')$
695 $$
\alpha_1=
\frac{Xe
}{X+a+e
}\qquad\beta_1=
\frac{a(f+e)+fX
}{X+a+e
}$$
696 Si on prend maintenant, un point d'ordonnée $Y
\neq X$ par exemple
697 $N_1$ dont l'image $N'_1$ se situe toujours sur $(PF)$, mais à
698 l'intersection de $PF$ avec la parallèle à $x'Ox$ menée par le
699 point-image du point de coordonnée $(Y,Y)$ (ici $O'$ qui est
700 l'image de $O(
0,
0)$).
702 Il s'agit de déterminer l'intersection de $(PF)$ avec la droite d'équation :
703 $$y=
\beta_2=
\frac{a(f+e)+fY
}{Y+a+e
}$$
704 Après calculs et simplifications, on trouve pour l'abscisse :
705 $$
\alpha_2=
\frac{Xe
}{Y+a+e
}$$
706 En résumé si dans le repère $Oxy$, on appelle $(X,Y)$ les
707 coordonnées d'un point-objet et $(x',y')$ les coordonnées du point
708 image dans la transformation
\textbf{anamorphose oblique
} ou
709 \textbf{perspective
}, les formules qui permettent de passer de
710 l'objet à l'image s'écrivent :
714 {\blue x'
}=
\displaystyle\frac{{\red X
}e
}{{\red Y
}+a+e
}\\
[0.5cm
]
715 {\blue y'
}=
\displaystyle\frac{a(f+e)+f
{\red Y
}}{{\red Y
}+a+e
}