1 \documentclass{article
}
2 \usepackage[a4paper,margin=
2cm
]{geometry
}
3 \usepackage[latin1]{inputenc}
4 \usepackage{pstricks-add,pst-eqdf,pst-func
}
5 \usepackage{array,amsmath
}
7 \newpsstyle{vecteurA
}{arrowinset=
0.05,arrowsize=
0.125,linecolor=
{[rgb
]{1 0.5 0}}}
8 \newpsstyle{vecteurB
}{arrowinset=
0.05,arrowsize=
0.1,linecolor=
{[rgb
]{0 0.5 1}}}
9 \newpsstyle{vecteurC
}{arrowinset=
0.1,arrowsize=
0.2,linecolor=
{[rgb
]{1 0.5 0}}}
11 \title{Interaction gravitationnelle avec PSTricks
}
16 y
[2]|y
[3]|-GM*y
[0]/((sqrt(y
[0]^
2+y
[1]^
2))^
3)|-GM*y
[1]/((sqrt(y
[0]^
2+y
[1]^
2))^
3)
}%
17 \section{Mise en orbite d'un satellite
}
21 \begin{pspicture
}(-
6,-
2)(
2,
5)
26 /x0 r0 theta0 cos mul def
27 /y0 r0 theta0 sin mul def
29 /v0x v0 theta0 sin mul neg def
30 /v0y v0 theta0 cos mul def
31 /Lc r0 v0 mul def
% moment cinetique
32 /par Lc dup mul GM div def
% paramètre de l'ellipse
34 /exc
1 0.5 v0
4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div
2 mul add sqrt def
36 /a_2 par
1 exc dup mul sub div def
% demi-grand axe
37 /b_2 par
1 exc dup mul sub sqrt div def
% demi-petit axe
38 /periode
2 3.1416 mul a_2
3 exp GM div sqrt mul def
40 /vA GM par div sqrt
1 exc sub mul def
42 /vP GM par div sqrt
1 exc add mul def
44 /vAx vA theta0
90 add cos mul neg def
45 /vAy vA theta0
90 add sin mul neg def
47 /vPx vP theta0
90 add cos mul def
48 /vPy vP theta0
90 add sin mul def
50 /xA par
1 exc sub div theta0 cos mul neg def
51 /yA par
1 exc sub div theta0 sin mul neg def
53 /xP par
1 exc add div theta0 cos mul def
54 /yP par
1 exc add div theta0 sin mul def
56 /xO xP xA add
2 div def
57 /yO yP yA add
2 div def
59 \pscircle[fillcolor=gray!
70,fillstyle=solid
](
0,
0)
{0.3}
60 \psdot[dotstyle=+
](
0,
0)
62 \psgrid[subgriddiv=
2,gridcolor=lightgray,gridlabels=
8pt
](-
6,-
2)(
2,
5)
63 \rput(
1,
4)
{\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white
]{T=
\psPrintValue[decimals=
2]{periode
}\hphantom{0000}s
}}
64 \parametricplot[linecolor=red,plotpoints=
360]{0}{360}{/radius par
1 exc t theta0 sub cos mul add div def
67 \pscircle*(!x0 y0)
{0.05}
68 \pnode(!xP yP)
{P
} % périgée
69 \pnode(!xA yA)
{A
} % Apogée
70 \pnode(!xO yO)
{O
} % centre
71 \rput(!x0 y0)
{\psline[style=vecteurB
]{->
}(!v0x v0y)
\uput[ur
](!v0x v0y)
{$
\overrightarrow{v_0
}$
}}
72 \psline[linestyle=dashed
](A)(P)
76 % position du satellite à un instant quelconque
77 \pstVerb{/theta_i
170 def
78 /radius par
1 exc theta_i theta0 sub cos mul add div def
79 /xS radius theta_i cos mul def
80 /yS radius theta_i sin mul def
81 /ux theta_i cos
1 mul def
82 /uy theta_i sin
1 mul def
85 /xi2 xS ux
2 div sub def
86 /yi2 yS uy
2 div sub def
}%
91 \psline[linestyle=dotted
](S)(
0,
0)
92 \psline[style=vecteurA
]{->
}(S)(Mi)
94 \uput[u
](Mi2)
{$
\overrightarrow{F
}$
}
95 \psarcn{->
}(
0,
0)
{0.4}{0}{!theta0
}
96 \uput{0.5}[!theta0
2 div
](
0,
0)
{$
\theta_0$
}
97 \rput(A)
{\psline[style=vecteurB
]{->
}(!vAx vAy)
}
98 %\rput(P){\psline[style=vecteurB]{->}(!vPx vPy)}
99 \psline[arrowinset=
0.05,arrowsize=
0.1]{<->
}(
2,
0)(
0,
0)(
0,
5)
100 \uput[r
](
0,
4.9)
{$y$
}\uput[u
](
1.9,
0)
{$x$
}
101 \psdot(O)
\uput[r
](O)
{$
\Omega$
}
102 \rput{!
90 theta0 add
}(O)
{\psline[linestyle=dashed
](!b_2 neg
0)(!b_2
0)
}
104 \caption{Mouvement d'un satellite
}
107 Soit (M) la masse de l'astre et (m) celle du satellite avec $m
\ll M$. Le centre de masse du système \
{M,m\
} est confondu avec le centre de l'astre attracteur. La mise en orbite s'effectue à partir du point $M_0(x_0,y_0)$ avec une vitesse $
\overrightarrow{v_0
}(v_
{0_x
},v_
{0_x
})$. $
\theta_0$ est l'angle que fait $
\overrightarrow{Ox
}$ avec $
\overrightarrow{OM_0
}$. Le satellite (S), supposé ponctuel, subit de la part de l'astre une force d'attraction gravitationnelle :
109 \overrightarrow{F
}=-
\mathcal{G
}\frac{Mm
}{r^
2}\overrightarrow{u
}\qquad \text{avec
}\quad \overrightarrow{u
}=
\frac{\overrightarrow{r
}}{r
}\quad \text{et
}\quad \overrightarrow{r
}=
\overrightarrow{OS
}
111 Tous les
\textit{bons
} livres de mécanique
\footnote{Comme celui, par exemple, de José-Philippe Pérez, aux éditions Masson.
} établissent les relations suivantes :
113 r=
\frac{p
}{1+
\mathrm{e
}\cos(
\theta-
\theta_0)
}
115 Paramètres et excentricité ont pour expressions respectives, avec les notations suivantes : $K=
\mathcal{G
}Mm$, $
\mathcal{E
}$ l'énergie du système et $L$ le moment cinétique.
117 \mathrm{e
}=
\sqrt{1+
\frac{2\mathcal{E
}L^
2}{mK^
2}}\qquad p=
\frac{L^
2}{mK
}
119 On choisit une vitesse initiale $
\overrightarrow{v_0
}$ perpendiculaire à $
\overrightarrow{OM_0
}$, dans ces conditions le moment cinétique et l'énergie, qui restent constants, valent :
121 L=mr_0v_0
\qquad \mathcal{E
}=-
\frac{K
}{r_0
}+
\frac{1}{2}mv_0^
2
123 En remplaçant $L$ et $
\mathcal{E
}$, on obtient pour l'excentricité et le paramètre les expressions suivantes :
125 \mathrm{e
}=
\sqrt{1+
\frac{1}{\mathcal{G
}^
2M^
2}\Big(
\frac{1}{2}v_0^
4r_0^
2-
\mathcal{G
}Mr_0v_0^
2\Big)
}
128 p=
\frac{v_0^
2r_0^
2}{\mathcal{G
}M
}
130 On se limite au cas du mouvement elliptique, avec, en conséquence, la condition :
132 \mathcal{E
}=-
\frac{K
}{r_0
}+
\frac{1}{2}mv_0^
2 <
0
134 Le demi-grand axe $a$, le demi-petit axe $b$ sont :
136 a=
\frac{p
}{1-
\mathrm{e
}^
2}\qquad b=
\frac{p
}{\sqrt{1-
\mathrm{e
}^
2}}
138 La période $T$ qui obéit à la troisième loi de Képler :
140 T^
2=
\frac{4\pi^
2a^
3}{\mathcal{G
}M
}
142 La vitesse, en un point de l'ellipse, se calcule par :
144 v^
2=
\mathcal{G
}M
\Big(
\frac{2}{r
}-
\frac{1}{a
}\Big)
146 Sachant que $r_p=
\dfrac{p
}{1+
\mathrm{e
}}$ et $r_A=
\dfrac{p
}{1-
\mathrm{e
}}$, on en déduit les vitesses au périgée et à l'apogée :
148 v_P=
\sqrt{\frac{\mathcal{G
}M
}{p
}}(
1+
\mathrm{e
})
\qquad v_A=
\sqrt{\frac{\mathcal{G
}M
}{p
}}(
1-
\mathrm{e
})
151 \section{L'étude avec PSTricks
}
152 \subsection{La trajectoire
}
154 /GM
1 def
% 4e14 def % GxM
155 /x0
6.5e6 def
% position initiale
157 /vx0
0 def
% vitesse initiale
161 % y[0] y[1] y[2] y[3]
165 \ddot{x
}&=&-
\dfrac{GM
}{r^
3}x\\
[1em
]
166 \ddot{y
}&=&-
\dfrac{GM
}{r^
3}y\\
170 \qquad r=
\sqrt{x^
2+y^
2}
173 On peut dessiner la trajectoire du satellite et de ses caractéristiques de deux façons :
175 \item par l'utilisation de
\verb+
\parametricplot+ ;
176 \item ou celle de
\verb+
\psplotDiffEqn+.
178 \verb+
\parametricplot+ utilise l'expression exacte de l'équation de la trajectoire en coordonnées polaires :
180 \parametricplot[linecolor=red,unit=
2,plotpoints=
360]{0}{360}{%
181 /radius par
1 exc t theta0 sub cos mul add div def
185 L'excentricité, la période, demi-grand axe et demi-petit axe sont calculés par quelques lignes de code
\textsf{postscript
}. Il faut s'assurer que les conditions initiales choisies vérifient bien la condition d'une trajectoire elliptique, pour cela il faut que l'énergie initiale $
\mathcal{E
}_0<
0$, sinon cela entraînera une erreur lors du passage à l'interpréteur
\textsf{postscript
}.
191 /x0 r0 theta0 cos mul def
192 /y0 r0 theta0 sin mul def
194 /v0x v0 theta0 sin mul neg def
195 /v0y v0 theta0 cos mul def
196 /Lc r0 v0 mul def
% moment cinetique
197 /par Lc dup mul GM div def
% paramètre de l'ellipse
199 /exc
1 0.5 v0
4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul
200 v0 dup mul mul sub GM dup mul div
2 mul add sqrt def
202 /a_2 par
1 exc dup mul sub div def
% demi-grand axe
204 /b_2 par
1 exc dup mul sub sqrt div def
% demi-petit axe
206 /periode
2 3.1416 dup mul a_2
3 exp mul GM div sqrt mul def
209 \verb+
\psplotDiffEqn+ utilise les équations différentielles du mouvement, en notation algébrique :
212 % y[0] y[1] y[2] y[3]
214 y
[2]|y
[3]|-GM*y
[0]/((sqrt(y
[0]^
2+y
[1]^
2))^
3)|-GM*y
[1]/((sqrt(y
[0]^
2+y
[1]^
2))^
3)
}
215 \psplotDiffEqn[unit=
2,whichabs=
0,whichord=
1,
%
216 linecolor=blue,linewidth=
0.1,
%
217 method=rk4,plotpoints=
1000,
%
218 algebraic
]{0}{37.8}{x0 y0 v0x v0y
}{\eqsatellite}%
220 Ce qui permet, par ailleurs de vérifier la qualité du tracé par la méthode numérique, en bleu, tandis que le tracé à partir de l'expression exacte est en trait fin en rouge.
223 \begin{pspicture
}(-
12,-
2)(
4,
10)
228 /x0 r0 theta0 cos mul def
229 /y0 r0 theta0 sin mul def
231 /v0x v0 theta0 sin mul neg def
232 /v0y v0 theta0 cos mul def
233 /Lc r0 v0 mul def
% moment cinetique
234 /par Lc dup mul GM div def
% paramètre de l'ellipse
236 /exc
1 0.5 v0
4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div
2 mul add sqrt def
238 /a_2 par
1 exc dup mul sub div def
% demi-grand axe
239 /b_2 par
1 exc dup mul sub sqrt div def
% demi-petit axe
240 /periode
2 3.1416 dup mul a_2
3 exp mul GM div sqrt mul def
242 \psframe*
[linecolor=white
](-
3,-
0.2)(
0,
0.2)
243 \pscircle[fillcolor=blue!
50,fillstyle=solid
](
0,
0)
{0.5}
244 \psgrid[unit=
2,subgriddiv=
2,gridcolor=lightgray,gridlabels=
8pt
](-
6,-
1)(
2,
5)
245 \rput(-
2,
0)
{T=
\psPrintValue[decimals=
2]{periode
}\hphantom{00000}s
}
246 \psplotDiffEqn[unit=
2,whichabs=
0,whichord=
1,linecolor=blue,linewidth=
0.1,method=rk4,plotpoints=
1000,algebraic
]{0}{37.8}{x0 y0 v0x v0y
}{\eqsatellite}%
247 \parametricplot[linecolor=red,unit=
2,plotpoints=
360]{0}{360}{/radius par
1 exc t theta0 sub cos mul add div def
250 \psdot[unit=
2,dotsize=
0.12](!x0 y0)
251 \rput(!x0
2 mul y0
2 mul)
{\psline[style=vecteurC
]{->
}(!v0x v0y)
}
254 \subsection{La vitesse
}
255 \verb+
\psplotDiffEqn+ permet de voir comment varie la vitesse sur l'ellipse :
258 % y[0] y[1] y[2] y[3]
259 \psplotDiffEqn[xunit=
0.2,yunit=
5,
%
260 plotfuncy=dup
2 get dup mul exch
3 get dup mul add sqrt,
261 linecolor=red,method=rk4,plotpoints=
1000,
262 algebraic
]{0}{50}{x0 y0 v0x v0y
}{\eqsatellite}%
265 \begin{pspicture
}(
0,-
1)(
10,
7)
266 \psgrid[subgriddiv=
0,gridcolor=lightgray,griddots=
10,gridlabels=
0pt
]
270 /x0 r0 theta0 cos mul def
271 /y0 r0 theta0 sin mul def
273 /v0x v0 theta0 sin mul neg def
274 /v0y v0 theta0 cos mul def
}%
275 \psplotDiffEqn[xunit=
0.2,yunit=
5,
276 plotfuncy=dup
2 get dup mul exch
3 get dup mul add sqrt,
277 linecolor=red,method=rk4,plotpoints=
1000,algebraic
]{0}{50}{x0 y0 v0x v0y
}{\eqsatellite}%
278 \multido{\i=
1+
1,
\I=
5+
5}{9}{\uput[u
](
\i,
0)
{\I}}
279 \pnode(!
36.4 5 div
0)
{P
}
280 \psdot(P)
\uput[d
](P)
{Périgée
}
281 \psline[linestyle=dashed
](P)(!
36.4 5 div
7)
282 \pnode(!
36.4 10 div
0)
{A
}
283 \psdot(A)
\uput[d
](A)
{Apogée
}
284 \psline[linestyle=dashed
](A)(!
36.4 10 div
7)
286 \psline[arrowinset=
0.1,arrowsize=
0.2]{<->
}(
10,
0)(
0,
0)(
0,
7)
287 \uput[u
](
10,
0)
{$t$(s)
}
291 On peut obtenir les caractéristiques de la vitesse en un point quelconque, car le moment cinétique $L=mr
\dot{\theta}$ étant constant, pour chaque valeur de $
\theta$, on en déduit $r$ puis $
\dot{\theta}$. En coordonnées polaires, la vitesse s'exprime par :
293 \overrightarrow{v
}=
\dot{r
}\overrightarrow{u_r
}+r
\dot{\theta}\overrightarrow{u_
{\theta}}
295 $
\dot{\theta}$ et $
\dot{r
}$ s'obtiennent par les relations suivantes :
297 \dot{\theta}=
\frac{r_0v_0
}{r^
2}
300 \dot{r
}=-
\frac{p(-
\dot{\theta}\sin(
\theta-
\theta_0)
}{(
1+
\mathrm{e
}\cos(
\theta-
\theta_0))^
2}=
\frac{r_0v_0
}{p
}\sin(
\theta-
\theta_0)
302 La chaîne de calculs est la suivante : $
\theta\Longrightarrow r
\Longrightarrow \dot{\theta}\Longrightarrow \dot{r
}\Longrightarrow \overrightarrow{v
}$.
304 Le package `
\textsf{pst-eqdf
}' comprend la commande
\verb+
\psequadiff+ qui est une version simplifiée de
\verb+
\psplotDiffEqn+, dont elle ne reprend que la méthode Runge-Kutta~
4. Elle permet de sauvegarder sous forme de tableaux et/ou de fichiers toutes les variables et les dérivées de la fonction étudiée, cette possibilité est intéressante pour déterminer les caractéristiques de la vitesse au cours du temps et elle est particulièrement utile pour créer une animation. Nous allons l'utiliser pour dessiner le vecteur-vitesse à quelques instants.
306 On sauve successivement le tableau des positions et celui des vitesses.
308 \psequadiff[method=rk4,plotpoints=
1000,
310 whichabs=
0,whichord=
1,
311 tabname=XiYi
]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y
}{\eqsatellite}%
314 \psequadiff[method=rk4,plotpoints=
1000,
316 whichabs=
2,whichord=
3,
317 tabname=vxvy
]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y
}{\eqsatellite}%
320 Pour ensuite dessiner la trajectoire et les vecteurs-vitesse.
322 %\listplot[unit=1]{vxvy aload pop}
323 % on dessine la vitesse un point sur 100
324 \pscircle[fillcolor=gray!
70,fillstyle=solid
](
0,
0)
{0.3}
325 \multido{\i=
0+
100}{20}{%
326 \pstVerb{/vX vxvy
\i\space get def
327 /vY vxvy
\i\space 1 add get def
328 /xi XiYi
\i\space get def
329 /yi XiYi
\i\space 1 add get def
}%
330 \rput(!xi yi)
{\psline[style=vecteurA
]{->
}(! vX
2 mul vY
2 mul)
}}
333 \begin{pspicture
}(-
10,-
10)(
6,
7)
338 /x0 r0 theta0 cos mul def
339 /y0 r0 theta0 sin mul def
341 /v0x v0 theta0 sin mul neg def
342 /v0y v0 theta0 cos mul def
343 /Lc r0 v0 mul def
% moment cinetique
344 /par Lc dup mul GM div def
% paramètre de l'ellipse
346 /exc
1 0.5 v0
4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div
2 mul add sqrt def
348 /a_2 par
1 exc dup mul sub div def
% demi-grand axe
349 /b_2 par
1 exc dup mul sub sqrt div def
% demi-petit axe
350 /periode
2 3.1416 dup mul a_2
3 exp mul GM div sqrt mul def
}%
351 \rput(-
2,
0)
{T=
\psPrintValue[decimals=
2]{periode
}\hphantom{00000}s
}
352 \psequadiff[method=rk4,
358 % ,saveData,filename=XiYi.dat
359 ]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y
}{\eqsatellite}%
360 \listplot{XiYi aload pop
}
361 \psequadiff[method=rk4,
367 % ,saveData,filename=vxvy.dat
368 ]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y
}{\eqsatellite}%
369 %\listplot[unit=1]{vxvy aload pop}
370 % on dessine la vitesse un point sur 100
371 \pscircle[fillcolor=gray!
70,fillstyle=solid
](
0,
0)
{0.3}
372 \multido{\i=
0+
100}{20}{%
373 \pstVerb{/vX vxvy
\i\space get def
374 /vY vxvy
\i\space 1 add get def
375 /xi XiYi
\i\space get def
376 /yi XiYi
\i\space 1 add get def
}%
377 \rput(!xi yi)
{\psline[style=vecteurA
]{->
}(! vX
2 mul vY
2 mul)
}}
378 \psgrid[subgriddiv=
2,gridcolor=lightgray,gridlabels=
8pt
](-
5,-
5)(
3,
3)
382 \section{Mouvement circulaire
}
385 \begin{pspicture
}(-
5,-
5.5)(
5,
5.5)
390 /x0 r0 theta0 cos mul def
391 /y0 r0 theta0 sin mul def
392 /v0 GM r0 div sqrt def
393 /v0x v0 theta0 sin mul neg def
394 /v0y v0 theta0 cos mul def
395 /Lc r0 v0 mul def
% moment cinetique
396 /par Lc dup mul GM div def
% paramètre de l'ellipse
398 /exc
1 0.5 v0
4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div
2 mul add sqrt def
400 /a_2 par
1 exc dup mul sub div def
% demi-grand axe
401 /b_2 par
1 exc dup mul sub sqrt div def
% demi-petit axe
402 /periode
2 3.1416 mul a_2
3 exp GM div sqrt mul def
404 /vA GM par div sqrt
1 exc sub mul def
406 /vP GM par div sqrt
1 exc add mul def
408 /vAx vA theta0
90 add cos mul neg def
409 /vAy vA theta0
90 add sin mul neg def
411 /vPx vP theta0
90 add cos mul def
412 /vPy vP theta0
90 add sin mul def
414 \pscircle[fillcolor=gray!
70,fillstyle=solid
](
0,
0)
{0.75}
415 \psdot[dotstyle=+
](
0,
0)
417 \psgrid[subgriddiv=
2,gridcolor=lightgray,gridlabels=
8pt
](-
5,-
5)(
5,
5)
418 \rput(
0,-
2)
{\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white
]{T=
\psPrintValue[decimals=
2]{periode
}\hphantom{000000}s
}}
419 \parametricplot[linecolor=red,plotpoints=
360]{0}{360}{/radius par
1 exc t theta0 sub cos mul add div def
422 \pscircle*(!x0 y0)
{0.1}
423 %\pnode(!par 1 exc add div theta0 cos mul par 1 exc add div theta0 sin mul){P} % périgée
424 %\pnode(!par 1 exc sub div theta0 cos mul neg par 1 exc sub div theta0 sin mul neg){A} % Apogée
425 \rput(!x0 y0)
{\psline[arrowinset=
0.1,arrowsize=
0.2,linecolor=
{[rgb
]{0 0.5 1}},unit=
4]{->
}(!v0x v0y)
\uput[ur
](!v0x
2 mul v0y
2 mul)
{$
\overrightarrow{v_0
}$
}}
426 \uput[ur
](!x0 y0)
{$M_0$
}
427 \psline[linestyle=dashed
](
0,
0)(!x0 y0)
428 % position du satellite à un instant quelconque
429 \pstVerb{/theta_i
170 def
430 /radius par
1 exc theta_i theta0 sub cos mul add div def
431 /xS radius theta_i cos mul def
432 /yS radius theta_i sin mul def
433 /ux theta_i cos
1 mul def
434 /uy theta_i sin
1 mul def
437 /xi2 xS ux
2 div sub def
438 /yi2 yS uy
2 div sub def
}%
439 \pnode(!xi2 yi2)
{Mi2
}
443 \psline[linestyle=dotted
](S)(
0,
0)
444 \psline[style=vecteurC
]{->
}(S)(Mi)
446 \uput[u
](Mi2)
{$
\overrightarrow{F
}$
}
447 \psarc{->
}(
0,
0)
{1}{0}{!theta0
}
448 \uput{1.1}[!theta0
2 div
](
0,
0)
{$
\theta_0$
}
449 \psline[arrowinset=
0.1,arrowsize=
0.2]{<->
}(
5,
0)(
0,
0)(
0,
5)
450 \psline[arrowinset=
0.05,arrowsize=
0.1]{<->
}(
5,
0)(
0,
0)(
0,
5)
451 \uput[u
](
0,
5)
{$y$
}\uput[r
](
5,
0)
{$x$
}
454 Il s'obtient très facilement à partir de l'étude précédente si on sait que dans ce cas :
456 v_0=
\sqrt{\frac{\mathcal{G
}M
}{r_0
}}
463 /x0 r0 theta0 cos mul def
464 /y0 r0 theta0 sin mul def
465 /v0 GM r0 div sqrt def
466 /v0x v0 theta0 sin mul neg def
467 /v0y v0 theta0 cos mul def
}%
469 \section{L'hodographe du mouvement du satellite
}
470 On rappelle qu'en coordonnées polaires le vecteur-vitesse s'écrit :
472 \overrightarrow{v
}=
\dot{r
}\overrightarrow{u_r
}+r
\dot{\theta}\overrightarrow{u_
{\theta}}
475 \dot{\theta}=
\frac{r_0v_0
}{r^
2}
478 \dot{r
}=-
\frac{p(-
\mathrm{e
}\dot{\theta}\sin(
\theta-
\theta_0)
}{(
1+
\mathrm{e
}\cos(
\theta-
\theta_0))^
2}=
\frac{r_0v_0
}{p
}\mathrm{e
}\sin(
\theta-
\theta_0)
480 On peut exprimer $v$ uniquement en fonction de $
\theta$ :
482 \overrightarrow{v
}=
\frac{r_0v_0
}{p
}\mathrm{e
}\sin(
\theta-
\theta_0)
\overrightarrow{u_r
}+
\frac{r_0v_0
}{p
}\Big(
1+
\mathrm{e
}\cos(
\theta-
\theta_0)
\Big)
\overrightarrow{u_
\theta}
484 Ses composantes dans la base $(
\overrightarrow{u_r
},u_
\theta)$ sont :
488 v_r&=&
\dfrac{r_0v_0
}{p
}\mathrm{e
}\sin(
\theta-
\theta_0)\\
[1em
]
489 v_
\theta&=&
\dfrac{r_0v_0
}{p
}\Big(
1+
\mathrm{e
}\cos(
\theta-
\theta_0)
\Big)
494 On repasse aux coordonnées cartésiennes par une rotation d'angle $(-
\theta)$.
498 \dot{x
}&=&v_r
\cos\theta-v_
\theta\sin\theta\\
[1em
]
499 \dot{y
}&=&v_r
\sin\theta+v_
\theta\cos\theta
507 \dfrac{p
}{r_0v_0
}\dot{x
}&=&
\mathrm{e
}\sin(
\theta-
\theta_0)
\cos\theta-
\Big(
1+
\mathrm{e
}\cos(
\theta-
\theta_0)
\Big)
\sin\theta\\
[1em
]
508 \dfrac{p
}{r_0v_0
}\dot{y
}&=&
\mathrm{e
}\sin(
\theta-
\theta_0)
\sin\theta+
\Big(
1+
\mathrm{e
}\cos(
\theta-
\theta_0)
\Big)
\cos\theta
513 En utilisant les relations trigonométriques de soustraction :
515 \sin\alpha\cos\beta-
\cos\alpha\sin\beta=
\sin(
\alpha-
\beta)
\qquad \cos\alpha\cos\beta+
\sin\alpha\sin\beta=
\cos(
\alpha-
\beta)
521 \dfrac{p
}{r_0v_0
}\dot{x
}&=&-
\mathrm{e
}\sin\theta_0-
\sin\theta\\
[1em
]
522 \dfrac{p
}{r_0v_0
}\dot{y
}&=&
\hphantom{-
}\mathrm{e
}\cos\theta_0+
\cos\theta
530 \dot{x
}+
\dfrac{r_0v_0
}{p
}\mathrm{e
}\sin\theta_0&=&-
\dfrac{r_0v_0
}{p
}\sin\theta\\
[1em
]
531 \dot{y
}-
\dfrac{r_0v_0
}{p
}\mathrm{e
}\cos\theta_0&=&
\dfrac{r_0v_0
}{p
}\cos\theta
536 L'équation de l'hodographe :
538 \left(
\dot{x
}+
\dfrac{r_0v_0
}{p
}\mathrm{e
}\sin\theta_0\right)^
2+
\left(
\dot{y
}-
\dfrac{r_0v_0
}{p
}\mathrm{e
}\cos\theta_0\right)^
2=
\left(
\dfrac{r_0v_0
}{p
}\right)^
2
540 est celle d'un cercle centré en $
\Big(
\dfrac{r_0v_0
}{p
}\mathrm{e
}\sin\theta_0,
\dfrac{r_0v_0
}{p
}\mathrm{e
}\cos\theta_0\Big)$, de rayon $R=
\dfrac{r_0v_0
}{p
}$. Ce qu'on vérifie sur le graphe suivant : en rouge l'hodographe a été obtenu à partir de l'équation différentielle et en noir avec un trait plus fin par l'expression exacte de l'équation du cercle.
542 \begin{pspicture
}(-
12,-
2)(
4,
8)
544 \uput[r
](
0,
4)
{$y$
}\uput[u
](
2,
0)
{$x$
}
548 /x0 r0 theta0 cos mul def
549 /y0 r0 theta0 sin mul def
551 /v0x v0 theta0 sin mul neg def
552 /v0y v0 theta0 cos mul def
553 /Lc r0 v0 mul def
% moment cinetique
554 /par Lc dup mul GM div def
% paramètre de l'ellipse
556 /exc
1 0.5 v0
4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div
2 mul add sqrt def
558 /a_2 par
1 exc dup mul sub div def
% demi-grand axe
559 /b_2 par
1 exc dup mul sub sqrt div def
% demi-petit axe
560 /periode
2 3.1416 dup mul a_2
3 exp mul GM div sqrt mul def
561 % rayon de l'hodographe
562 /rH r0 v0 mul par div def
563 % les coordonnées du centre
564 /xCH rH exc mul theta0 sin mul neg def
565 /yCH rH exc mul theta0 cos mul def
}%
566 \psequadiff[method=rk4,
572 % saveData,filename=XiYi.dat
573 ]{0}{36.5}{x0 y0 v0x v0y
}{\eqsatellite}%
574 \listplot{XiYi aload pop
}
575 \psequadiff[method=rk4,
581 % saveData,filename=vxvy.dat
582 ]{0}{36.5}{x0 y0 v0x v0y
}{\eqsatellite}%
583 \listplot[unit=
1,linecolor=red,linewidth=
0.075]{vxvy aload pop
}
584 % on dessine la vitesse un point sur 50
585 \multido{\i=
0+
50}{40}{%
586 \pstVerb{ /vX vxvy
\i\space get def
587 /vY vxvy
\i\space 1 add get def
588 /xi XiYi
\i\space get def
589 /yi XiYi
\i\space 1 add get def
}%
590 \rput(!xi yi)
{\psline[unit=
1,linecolor=blue
]{->
}(!vX vY)
}}
591 \pscircle[fillcolor=gray!
70,fillstyle=solid
](
0,
0)
{0.2}
592 \psgrid[subgriddiv=
2,gridcolor=lightgray,gridlabels=
8pt
](-
6,-
2)(
2,
4)
593 \psline[arrowinset=
0.05,arrowsize=
0.1]{<->
}(
2,
0)(
0,
0)(
0,
4)
594 \pscircle(!xCH yCH)
{!rH
}
595 \psdot[dotstyle=+
](!xCH yCH)