1 \documentclass{article
}
2 \usepackage[a4paper,margin=
2cm
]{geometry
}
3 \usepackage[latin1]{inputenc}
4 \usepackage{pstricks-add,pst-eqdf,pst-func
}
5 \usepackage{array,amsmath
}
7 \newpsstyle{vecteurA
}{arrowinset=
0.05,arrowsize=
0.125,linecolor=
{[rgb
]{1 0.5 0}}}
8 \newpsstyle{vecteurB
}{arrowinset=
0.05,arrowsize=
0.1,linecolor=
{[rgb
]{0 0.5 1}}}
9 \newpsstyle{vecteurC
}{arrowinset=
0.1,arrowsize=
0.2,linecolor=
{[rgb
]{1 0.5 0}}}
11 \def\datRoot{C:/Users/J\"
{u
}rgen/Desktop/gravitation/
}
12 \title{Interaction gravitationnelle avec PSTricks
}
17 y
[2]|y
[3]|-GM*y
[0]/((sqrt(y
[0]^
2+y
[1]^
2))^
3)|-GM*y
[1]/((sqrt(y
[0]^
2+y
[1]^
2))^
3)
}%
18 \section{Mise en orbite d'un satellite
}
22 \begin{pspicture
}(-
6,-
2)(
2,
5)
27 /x0 r0 theta0 cos mul def
28 /y0 r0 theta0 sin mul def
30 /v0x v0 theta0 sin mul neg def
31 /v0y v0 theta0 cos mul def
32 /Lc r0 v0 mul def
% moment cinetique
33 /par Lc dup mul GM div def
% param\`{e}tre de l'ellipse
35 /exc
1 0.5 v0
4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div
2 mul add sqrt def
37 /a_2 par
1 exc dup mul sub div def
% demi-grand axe
38 /b_2 par
1 exc dup mul sub sqrt div def
% demi-petit axe
39 /periode
2 3.1416 mul a_2
3 exp GM div sqrt mul def
40 % vitesse \`{a} l'apog\'{e}e
41 /vA GM par div sqrt
1 exc sub mul def
42 % vitesse au p\'{e}rig\'{e}e
43 /vP GM par div sqrt
1 exc add mul def
44 % coordonn\'{e}es de vA
45 /vAx vA theta0
90 add cos mul neg def
46 /vAy vA theta0
90 add sin mul neg def
47 % coordonn\'{e}es de vP
48 /vPx vP theta0
90 add cos mul def
49 /vPy vP theta0
90 add sin mul def
51 /xA par
1 exc sub div theta0 cos mul neg def
52 /yA par
1 exc sub div theta0 sin mul neg def
54 /xP par
1 exc add div theta0 cos mul def
55 /yP par
1 exc add div theta0 sin mul def
57 /xO xP xA add
2 div def
58 /yO yP yA add
2 div def
60 \pscircle[fillcolor=gray!
70,fillstyle=solid
](
0,
0)
{0.3}
61 \psdot[dotstyle=+
](
0,
0)
63 \psgrid[subgriddiv=
2,gridcolor=lightgray,gridlabels=
8pt
](-
6,-
2)(
2,
5)
64 \rput(
1,
4)
{\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white
]{T=
\psPrintValue[decimals=
2]{periode
}\hphantom{0000}s
}}
65 \parametricplot[linecolor=red,plotpoints=
360]{0}{360}{/radius par
1 exc t theta0 sub cos mul add div def
68 \pscircle*(!x0 y0)
{0.05}
69 \pnode(!xP yP)
{P
} % p\'{e}rig\'{e}e
70 \pnode(!xA yA)
{A
} % Apog\'{e}e
71 \pnode(!xO yO)
{O
} % centre
72 \rput(!x0 y0)
{\psline[style=vecteurB
]{->
}(!v0x v0y)
\uput[ur
](!v0x v0y)
{$
\overrightarrow{v_0
}$
}}
73 \psline[linestyle=dashed
](A)(P)
77 % position du satellite \`{a} un instant quelconque
78 \pstVerb{/theta_i
170 def
79 /radius par
1 exc theta_i theta0 sub cos mul add div def
80 /xS radius theta_i cos mul def
81 /yS radius theta_i sin mul def
82 /ux theta_i cos
1 mul def
83 /uy theta_i sin
1 mul def
86 /xi2 xS ux
2 div sub def
87 /yi2 yS uy
2 div sub def
}%
92 \psline[linestyle=dotted
](S)(
0,
0)
93 \psline[style=vecteurA
]{->
}(S)(Mi)
95 \uput[u
](Mi2)
{$
\overrightarrow{F
}$
}
96 \psarcn{->
}(
0,
0)
{0.4}{0}{!theta0
}
97 \uput{0.5}[!theta0
2 div
](
0,
0)
{$
\theta_0$
}
98 \rput(A)
{\psline[style=vecteurB
]{->
}(!vAx vAy)
}
99 %\rput(P){\psline[style=vecteurB]{->}(!vPx vPy)}
100 \psline[arrowinset=
0.05,arrowsize=
0.1]{<->
}(
2,
0)(
0,
0)(
0,
5)
101 \uput[r
](
0,
4.9)
{$y$
}\uput[u
](
1.9,
0)
{$x$
}
102 \psdot(O)
\uput[r
](O)
{$
\Omega$
}
103 \rput{!
90 theta0 add
}(O)
{\psline[linestyle=dashed
](!b_2 neg
0)(!b_2
0)
}
105 \caption{Mouvement d'un satellite
}
108 Soit (M) la masse de l'astre et (m) celle du satellite avec $m
\ll M$. Le centre de masse du syst\`
{e
}me \
{M,m\
} est confondu avec le centre de l'astre attracteur. La mise en orbite s'effectue \`
{a
} partir du point $M_0(x_0,y_0)$ avec une vitesse $
\overrightarrow{v_0
}(v_
{0_x
},v_
{0_x
})$. $
\theta_0$ est l'angle que fait $
\overrightarrow{Ox
}$ avec $
\overrightarrow{OM_0
}$. Le satellite (S), suppos\'
{e
} ponctuel, subit de la part de l'astre une force d'attraction gravitationnelle :
110 \overrightarrow{F
}=-
\mathcal{G
}\frac{Mm
}{r^
2}\overrightarrow{u
}\qquad \text{avec
}\quad \overrightarrow{u
}=
\frac{\overrightarrow{r
}}{r
}\quad \text{et
}\quad \overrightarrow{r
}=
\overrightarrow{OS
}
112 Tous les
\textit{bons
} livres de m\'
{e
}canique
\footnote{Comme celui, par exemple, de Jos\'
{e
}-Philippe P\'
{e
}rez, aux \'
{e
}ditions Masson.
} \'
{e
}tablissent les relations suivantes :
114 r=
\frac{p
}{1+
\mathrm{e
}\cos(
\theta-
\theta_0)
}
116 Param\`
{e
}tres et excentricit\'
{e
} ont pour expressions respectives, avec les notations suivantes : $K=
\mathcal{G
}Mm$, $
\mathcal{E
}$ l'\'
{e
}nergie du syst\`
{e
}me et $L$ le moment cin\'
{e
}tique.
118 \mathrm{e
}=
\sqrt{1+
\frac{2\mathcal{E
}L^
2}{mK^
2}}\qquad p=
\frac{L^
2}{mK
}
120 On choisit une vitesse initiale $
\overrightarrow{v_0
}$ perpendiculaire \`
{a
} $
\overrightarrow{OM_0
}$, dans ces conditions le moment cin\'
{e
}tique et l'\'
{e
}nergie, qui restent constants, valent :
122 L=mr_0v_0
\qquad \mathcal{E
}=-
\frac{K
}{r_0
}+
\frac{1}{2}mv_0^
2
124 En rempla
\c{c
}ant $L$ et $
\mathcal{E
}$, on obtient pour l'excentricit\'
{e
} et le param\`
{e
}tre les expressions suivantes :
126 \mathrm{e
}=
\sqrt{1+
\frac{1}{\mathcal{G
}^
2M^
2}\Big(
\frac{1}{2}v_0^
4r_0^
2-
\mathcal{G
}Mr_0v_0^
2\Big)
}
129 p=
\frac{v_0^
2r_0^
2}{\mathcal{G
}M
}
131 On se limite au cas du mouvement elliptique, avec, en cons\'
{e
}quence, la condition :
133 \mathcal{E
}=-
\frac{K
}{r_0
}+
\frac{1}{2}mv_0^
2 <
0
135 Le demi-grand axe $a$, le demi-petit axe $b$ sont :
137 a=
\frac{p
}{1-
\mathrm{e
}^
2}\qquad b=
\frac{p
}{\sqrt{1-
\mathrm{e
}^
2}}
139 La p\'
{e
}riode $T$ qui ob\'
{e
}it \`
{a
} la troisi\`
{e
}me loi de K\'
{e
}pler :
141 T^
2=
\frac{4\pi^
2a^
3}{\mathcal{G
}M
}
143 La vitesse, en un point de l'ellipse, se calcule par :
145 v^
2=
\mathcal{G
}M
\Big(
\frac{2}{r
}-
\frac{1}{a
}\Big)
147 Sachant que $r_p=
\dfrac{p
}{1+
\mathrm{e
}}$ et $r_A=
\dfrac{p
}{1-
\mathrm{e
}}$, on en d\'
{e
}duit les vitesses au p\'
{e
}rig\'
{e
}e et \`
{a
} l'apog\'
{e
}e :
149 v_P=
\sqrt{\frac{\mathcal{G
}M
}{p
}}(
1+
\mathrm{e
})
\qquad v_A=
\sqrt{\frac{\mathcal{G
}M
}{p
}}(
1-
\mathrm{e
})
152 \section{L'\'
{e
}tude avec PSTricks
}
153 \subsection{La trajectoire
}
155 /GM
1 def
% 4e14 def % GxM
156 /x0
6.5e6 def
% position initiale
158 /vx0
0 def
% vitesse initiale
162 % y[0] y[1] y[2] y[3]
166 \ddot{x
}&=&-
\dfrac{GM
}{r^
3}x\\
[1em
]
167 \ddot{y
}&=&-
\dfrac{GM
}{r^
3}y\\
171 \qquad r=
\sqrt{x^
2+y^
2}
174 On peut dessiner la trajectoire du satellite et de ses caract\'
{e
}ristiques de deux fa
\c{c
}ons :
176 \item par l'utilisation de
\verb+
\parametricplot+ ;
177 \item ou celle de
\verb+
\psplotDiffEqn+.
179 \verb+
\parametricplot+ utilise l'expression exacte de l'\'
{e
}quation de la trajectoire en coordonn\'
{e
}es polaires :
181 \parametricplot[linecolor=red,unit=
2,plotpoints=
360]{0}{360}{%
182 /radius par
1 exc t theta0 sub cos mul add div def
186 L'excentricit\'
{e
}, la p\'
{e
}riode, demi-grand axe et demi-petit axe sont calcul\'
{e
}s par quelques lignes de code
\textsf{postscript
}. Il faut s'assurer que les conditions initiales choisies v\'
{e
}rifient bien la condition d'une trajectoire elliptique, pour cela il faut que l'\'
{e
}nergie initiale $
\mathcal{E
}_0<
0$, sinon cela entra\^
{\i}nera une erreur lors du passage \`
{a
} l'interpr\'
{e
}teur
\textsf{postscript
}.
192 /x0 r0 theta0 cos mul def
193 /y0 r0 theta0 sin mul def
195 /v0x v0 theta0 sin mul neg def
196 /v0y v0 theta0 cos mul def
197 /Lc r0 v0 mul def
% moment cinetique
198 /par Lc dup mul GM div def
% param\`{e}tre de l'ellipse
200 /exc
1 0.5 v0
4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul
201 v0 dup mul mul sub GM dup mul div
2 mul add sqrt def
203 /a_2 par
1 exc dup mul sub div def
% demi-grand axe
205 /b_2 par
1 exc dup mul sub sqrt div def
% demi-petit axe
207 /periode
2 3.1416 dup mul a_2
3 exp mul GM div sqrt mul def
210 \verb+
\psplotDiffEqn+ utilise les \'
{e
}quations diff\'
{e
}rentielles du mouvement, en notation alg\'
{e
}brique :
213 % y[0] y[1] y[2] y[3]
215 y
[2]|y
[3]|-GM*y
[0]/((sqrt(y
[0]^
2+y
[1]^
2))^
3)|-GM*y
[1]/((sqrt(y
[0]^
2+y
[1]^
2))^
3)
}
216 \psplotDiffEqn[unit=
2,whichabs=
0,whichord=
1,
%
217 linecolor=blue,linewidth=
0.1,
%
218 method=rk4,plotpoints=
1000,
%
219 algebraic
]{0}{37.8}{x0 y0 v0x v0y
}{\eqsatellite}%
221 Ce qui permet, par ailleurs de v\'
{e
}rifier la qualit\'
{e
} du trac\'
{e
} par la m\'
{e
}thode num\'
{e
}rique, en bleu, tandis que le trac\'
{e
} \`
{a
} partir de l'expression exacte est en trait fin en rouge.
224 \begin{pspicture
}(-
12,-
2)(
4,
10)
229 /x0 r0 theta0 cos mul def
230 /y0 r0 theta0 sin mul def
232 /v0x v0 theta0 sin mul neg def
233 /v0y v0 theta0 cos mul def
234 /Lc r0 v0 mul def
% moment cinetique
235 /par Lc dup mul GM div def
% param\`{e}tre de l'ellipse
237 /exc
1 0.5 v0
4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div
2 mul add sqrt def
239 /a_2 par
1 exc dup mul sub div def
% demi-grand axe
240 /b_2 par
1 exc dup mul sub sqrt div def
% demi-petit axe
241 /periode
2 3.1416 dup mul a_2
3 exp mul GM div sqrt mul def
243 \psframe*
[linecolor=white
](-
3,-
0.2)(
0,
0.2)
244 \pscircle[fillcolor=blue!
50,fillstyle=solid
](
0,
0)
{0.5}
245 \psgrid[unit=
2,subgriddiv=
2,gridcolor=lightgray,gridlabels=
8pt
](-
6,-
1)(
2,
5)
246 \rput(-
2,
0)
{T=
\psPrintValue[decimals=
2]{periode
}\hphantom{00000}s
}
247 \psplotDiffEqn[unit=
2,whichabs=
0,whichord=
1,linecolor=blue,linewidth=
0.1,method=rk4,plotpoints=
1000,algebraic
]{0}{37.8}{x0 y0 v0x v0y
}{\eqsatellite}%
248 \parametricplot[linecolor=red,unit=
2,plotpoints=
360]{0}{360}{/radius par
1 exc t theta0 sub cos mul add div def
251 \psdot[unit=
2,dotsize=
0.12](!x0 y0)
252 \rput(!x0
2 mul y0
2 mul)
{\psline[style=vecteurC
]{->
}(!v0x v0y)
}
255 \subsection{La vitesse
}
256 \verb+
\psplotDiffEqn+ permet de voir comment varie la vitesse sur l'ellipse :
259 % y[0] y[1] y[2] y[3]
260 \psplotDiffEqn[xunit=
0.2,yunit=
5,
%
261 plotfuncy=dup
2 get dup mul exch
3 get dup mul add sqrt,
262 linecolor=red,method=rk4,plotpoints=
1000,
263 algebraic
]{0}{50}{x0 y0 v0x v0y
}{\eqsatellite}%
266 \begin{pspicture
}(
0,-
1)(
10,
7)
267 \psgrid[subgriddiv=
0,gridcolor=lightgray,griddots=
10,gridlabels=
0pt
]
271 /x0 r0 theta0 cos mul def
272 /y0 r0 theta0 sin mul def
274 /v0x v0 theta0 sin mul neg def
275 /v0y v0 theta0 cos mul def
}%
276 \psplotDiffEqn[xunit=
0.2,yunit=
5,
277 plotfuncy=dup
2 get dup mul exch
3 get dup mul add sqrt,
278 ,linecolor=red,method=rk4,plotpoints=
1000,algebraic
]{0}{50}{x0 y0 v0x v0y
}{\eqsatellite}%
279 \multido{\i=
1+
1,
\I=
5+
5}{9}{\uput[u
](
\i,
0)
{\I}}
280 \pnode(!
36.4 5 div
0)
{P
}
281 \psdot(P)
\uput[d
](P)
{P\'
{e
}rig\'
{e
}e
}
282 \psline[linestyle=dashed
](P)(!
36.4 5 div
7)
283 \pnode(!
36.4 10 div
0)
{A
}
284 \psdot(A)
\uput[d
](A)
{Apog\'
{e
}e
}
285 \psline[linestyle=dashed
](A)(!
36.4 10 div
7)
287 \psline[arrowinset=
0.1,arrowsize=
0.2]{<->
}(
10,
0)(
0,
0)(
0,
7)
288 \uput[u
](
10,
0)
{$t$(s)
}
292 On peut obtenir les caract\'
{e
}ristiques de la vitesse en un point quelconque, car le moment cin\'
{e
}tique $L=mr
\dot{\theta}$ \'
{e
}tant constant, pour chaque valeur de $
\theta$, on en d\'
{e
}duit $r$ puis $
\dot{\theta}$. En coordonn\'
{e
}es polaires, la vitesse s'exprime par :
294 \overrightarrow{v
}=
\dot{r
}\overrightarrow{u_r
}+r
\dot{\theta}\overrightarrow{u_
{\theta}}
296 $
\dot{\theta}$ et $
\dot{r
}$ s'obtiennent par les relations suivantes :
298 \dot{\theta}=
\frac{r_0v_0
}{r^
2}
301 \dot{r
}=-
\frac{p(-
\dot{\theta}\sin(
\theta-
\theta_0)
}{(
1+
\mathrm{e
}\cos(
\theta-
\theta_0))^
2}=
\frac{r_0v_0
}{p
}\sin(
\theta-
\theta_0)
303 La cha\^
{\i}ne de calculs est la suivante : $
\theta\Longrightarrow r
\Longrightarrow \dot{\theta}\Longrightarrow \dot{r
}\Longrightarrow \overrightarrow{v
}$.
305 Le package `
\textsf{pst-eqdf
}' comprend la commande
\verb+
\psequadiff+ qui est une version simplifi\'
{e
}e de
\verb+
\psplotDiffEqn+, dont elle ne reprend que la m\'
{e
}thode Runge-Kutta~
4. Elle permet de sauvegarder sous forme de tableaux et/ou de fichiers toutes les variables et les d\'
{e
}riv\'
{e
}es de la fonction \'
{e
}tudi\'
{e
}e, cette possibilit\'
{e
} est int\'
{e
}ressante pour d\'
{e
}terminer les caract\'
{e
}ristiques de la vitesse au cours du temps et elle est particuli\`
{e
}rement utile pour cr\'
{e
}er une animation. Nous allons l'utiliser pour dessiner le vecteur-vitesse \`
{a
} quelques instants.
307 On sauve successivement le tableau des positions et celui des vitesses.
309 \psequadiff[method=rk4,plotpoints=
1000,
311 whichabs=
0,whichord=
1,
312 tabname=XiYi
]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y
}{\eqsatellite}%
315 \psequadiff[method=rk4,plotpoints=
1000,
317 whichabs=
2,whichord=
3,
318 tabname=vxvy
]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y
}{\eqsatellite}%
321 Pour ensuite dessiner la trajectoire et les vecteurs-vitesse.
323 %\listplot[unit=1]{vxvy aload pop}
324 % on dessine la vitesse un point sur 100
325 \pscircle[fillcolor=gray!
70,fillstyle=solid
](
0,
0)
{0.3}
326 \multido{\i=
0+
100}{20}{%
327 \pstVerb{/vX vxvy
\i\space get def
328 /vY vxvy
\i\space 1 add get def
329 /xi XiYi
\i\space get def
330 /yi XiYi
\i\space 1 add get def
}%
331 \rput(!xi yi)
{\psline[style=vecteurA
]{->
}(! vX
2 mul vY
2 mul)
}}
334 \begin{pspicture
}(-
10,-
10)(
6,
7)
339 /x0 r0 theta0 cos mul def
340 /y0 r0 theta0 sin mul def
342 /v0x v0 theta0 sin mul neg def
343 /v0y v0 theta0 cos mul def
344 /Lc r0 v0 mul def
% moment cinetique
345 /par Lc dup mul GM div def
% param\`{e}tre de l'ellipse
347 /exc
1 0.5 v0
4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div
2 mul add sqrt def
349 /a_2 par
1 exc dup mul sub div def
% demi-grand axe
350 /b_2 par
1 exc dup mul sub sqrt div def
% demi-petit axe
351 /periode
2 3.1416 dup mul a_2
3 exp mul GM div sqrt mul def
}%
352 \rput(-
2,
0)
{T=
\psPrintValue[decimals=
2]{periode
}\hphantom{00000}s
}
353 \psequadiff[method=rk4,
359 % ,saveData,filename=XiYi.dat
360 ]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y
}{\eqsatellite}%
361 \listplot{XiYi aload pop
}
362 \psequadiff[method=rk4,
368 % ,saveData,filename=vxvy.dat
369 ]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y
}{\eqsatellite}%
370 %\listplot[unit=1]{vxvy aload pop}
371 % on dessine la vitesse un point sur 100
372 \pscircle[fillcolor=gray!
70,fillstyle=solid
](
0,
0)
{0.3}
373 \multido{\i=
0+
100}{20}{%
374 \pstVerb{/vX vxvy
\i\space get def
375 /vY vxvy
\i\space 1 add get def
376 /xi XiYi
\i\space get def
377 /yi XiYi
\i\space 1 add get def
}%
378 \rput(!xi yi)
{\psline[style=vecteurA
]{->
}(! vX
2 mul vY
2 mul)
}}
379 \psgrid[subgriddiv=
2,gridcolor=lightgray,gridlabels=
8pt
](-
5,-
5)(
3,
3)
385 \section{Mouvement circulaire
}
388 \begin{pspicture
}(-
5,-
5.5)(
5,
5.5)
393 /x0 r0 theta0 cos mul def
394 /y0 r0 theta0 sin mul def
395 /v0 GM r0 div sqrt def
396 /v0x v0 theta0 sin mul neg def
397 /v0y v0 theta0 cos mul def
398 /Lc r0 v0 mul def
% moment cinetique
399 /par Lc dup mul GM div def
% param\`{e}tre de l'ellipse
401 /exc
1 0.5 v0
4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div
2 mul add sqrt def
403 /a_2 par
1 exc dup mul sub div def
% demi-grand axe
404 /b_2 par
1 exc dup mul sub sqrt div def
% demi-petit axe
405 /periode
2 3.1416 mul a_2
3 exp GM div sqrt mul def
406 % vitesse \`{a} l'apog\'{e}e
407 /vA GM par div sqrt
1 exc sub mul def
408 % vitesse au p\'{e}rig\'{e}e
409 /vP GM par div sqrt
1 exc add mul def
410 % coordonn\'{e}es de vA
411 /vAx vA theta0
90 add cos mul neg def
412 /vAy vA theta0
90 add sin mul neg def
413 % coordonn\'{e}es de vP
414 /vPx vP theta0
90 add cos mul def
415 /vPy vP theta0
90 add sin mul def
417 \pscircle[fillcolor=gray!
70,fillstyle=solid
](
0,
0)
{0.75}
418 \psdot[dotstyle=+
](
0,
0)
420 \psgrid[subgriddiv=
2,gridcolor=lightgray,gridlabels=
8pt
](-
5,-
5)(
5,
5)
421 \rput(
0,-
2)
{\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white
]{T=
\psPrintValue[decimals=
2]{periode
}\hphantom{000000}s
}}
422 \parametricplot[linecolor=red,plotpoints=
360]{0}{360}{/radius par
1 exc t theta0 sub cos mul add div def
425 \pscircle*(!x0 y0)
{0.1}
426 %\pnode(!par 1 exc add div theta0 cos mul par 1 exc add div theta0 sin mul){P} % p\'{e}rig\'{e}e
427 %\pnode(!par 1 exc sub div theta0 cos mul neg par 1 exc sub div theta0 sin mul neg){A} % Apog\'{e}e
428 \rput(!x0 y0)
{\psline[arrowinset=
0.1,arrowsize=
0.2,linecolor=
{[rgb
]{0 0.5 1}},unit=
4]{->
}(!v0x v0y)
\uput[ur
](!v0x
2 mul v0y
2 mul)
{$
\overrightarrow{v_0
}$
}}
429 \uput[ur
](!x0 y0)
{$M_0$
}
430 \psline[linestyle=dashed
](
0,
0)(!x0 y0)
431 % position du satellite \`{a} un instant quelconque
432 \pstVerb{/theta_i
170 def
433 /radius par
1 exc theta_i theta0 sub cos mul add div def
434 /xS radius theta_i cos mul def
435 /yS radius theta_i sin mul def
436 /ux theta_i cos
1 mul def
437 /uy theta_i sin
1 mul def
440 /xi2 xS ux
2 div sub def
441 /yi2 yS uy
2 div sub def
}%
442 \pnode(!xi2 yi2)
{Mi2
}
446 \psline[linestyle=dotted
](S)(
0,
0)
447 \psline[style=vecteurC
]{->
}(S)(Mi)
449 \uput[u
](Mi2)
{$
\overrightarrow{F
}$
}
450 \psarc{->
}(
0,
0)
{1}{0}{!theta0
}
451 \uput{1.1}[!theta0
2 div
](
0,
0)
{$
\theta_0$
}
452 \psline[arrowinset=
0.1,arrowsize=
0.2]{<->
}(
5,
0)(
0,
0)(
0,
5)
453 \psline[arrowinset=
0.05,arrowsize=
0.1]{<->
}(
5,
0)(
0,
0)(
0,
5)
454 \uput[u
](
0,
5)
{$y$
}\uput[r
](
5,
0)
{$x$
}
457 Il s'obtient tr\`
{e
}s facilement \`
{a
} partir de l'\'
{e
}tude pr\'
{e
}c\'
{e
}dente si on sait que dans ce cas :
459 v_0=
\sqrt{\frac{\mathcal{G
}M
}{r_0
}}
466 /x0 r0 theta0 cos mul def
467 /y0 r0 theta0 sin mul def
468 /v0 GM r0 div sqrt def
469 /v0x v0 theta0 sin mul neg def
470 /v0y v0 theta0 cos mul def
}%