1 \documentclass{article
}
2 \usepackage[a4paper,margin=
2cm
]{geometry
}
3 \usepackage[latin1]{inputenc}
4 \usepackage{pst-eqdf,pst-func
}
5 \usepackage{array,amsmath
}
6 \newpsstyle{vecteurA
}{arrowinset=
0.05,arrowsize=
0.125,linecolor=
{[rgb
]{1 0.5 0}}}
7 \newpsstyle{vecteurB
}{arrowinset=
0.05,arrowsize=
0.1,linecolor=
{[rgb
]{0 0.5 1}}}
8 \newpsstyle{vecteurC
}{arrowinset=
0.1,arrowsize=
0.2,linecolor=
{[rgb
]{1 0.5 0}}}
10 \title{L'hodographe du mouvement d'un satellite
}
15 y
[2]|y
[3]|-GM*y
[0]/((sqrt(y
[0]^
2+y
[1]^
2))^
3)|-GM*y
[1]/((sqrt(y
[0]^
2+y
[1]^
2))^
3)
}%
16 On rappelle qu'en coordonnées polaires le vecteur-vitesse s'écrit :
18 \overrightarrow{v
}=
\dot{r
}\overrightarrow{u_r
}+r
\dot{\theta}\overrightarrow{u_
{\theta}}
21 \dot{\theta}=
\frac{r_0v_0
}{r^
2}
24 \dot{r
}=-
\frac{p(-
\mathrm{e
}\dot{\theta}\sin(
\theta-
\theta_0)
}{(
1+
\mathrm{e
}\cos(
\theta-
\theta_0))^
2}=
\frac{r_0v_0
}{p
}\mathrm{e
}\sin(
\theta-
\theta_0)
26 On peut exprimer $v$ uniquement en fonction de $
\theta$ :
28 \overrightarrow{v
}=
\frac{r_0v_0
}{p
}\mathrm{e
}\sin(
\theta-
\theta_0)
\overrightarrow{u_r
}+
\frac{r_0v_0
}{p
}\Big(
1+
\mathrm{e
}\cos(
\theta-
\theta_0)
\Big)
\overrightarrow{u_
\theta}
30 Ses composantes dans la base $(
\overrightarrow{u_r
},u_
\theta)$ sont :
34 v_r&=&
\dfrac{r_0v_0
}{p
}\mathrm{e
}\sin(
\theta-
\theta_0)\\
[1em
]
35 v_
\theta&=&
\dfrac{r_0v_0
}{p
}\Big(
1+
\mathrm{e
}\cos(
\theta-
\theta_0)
\Big)
40 On repasse aux coordonnées cartésiennes par une rotation d'angle $(-
\theta)$.
44 \dot{x
}&=&v_r
\cos\theta-v_
\theta\sin\theta\\
[1em
]
45 \dot{y
}&=&v_r
\sin\theta+v_
\theta\cos\theta
53 \dfrac{p
}{r_0v_0
}\dot{x
}&=&
\mathrm{e
}\sin(
\theta-
\theta_0)
\cos\theta-
\Big(
1+
\mathrm{e
}\cos(
\theta-
\theta_0)
\Big)
\sin\theta\\
[1em
]
54 \dfrac{p
}{r_0v_0
}\dot{y
}&=&
\mathrm{e
}\sin(
\theta-
\theta_0)
\sin\theta+
\Big(
1+
\mathrm{e
}\cos(
\theta-
\theta_0)
\Big)
\cos\theta
59 En utilisant les relations trigonométriques de soustraction :
61 \sin\alpha\cos\beta-
\cos\alpha\sin\beta=
\sin(
\alpha-
\beta)
\qquad \cos\alpha\cos\beta+
\sin\alpha\sin\beta=
\cos(
\alpha-
\beta)
67 \dfrac{p
}{r_0v_0
}\dot{x
}&=&-
\mathrm{e
}\sin\theta_0-
\sin\theta\\
[1em
]
68 \dfrac{p
}{r_0v_0
}\dot{y
}&=&
\hphantom{-
}\mathrm{e
}\cos\theta_0+
\cos\theta
76 \dot{x
}+
\dfrac{r_0v_0
}{p
}\mathrm{e
}\sin\theta_0&=&-
\dfrac{r_0v_0
}{p
}\sin\theta\\
[1em
]
77 \dot{y
}-
\dfrac{r_0v_0
}{p
}\mathrm{e
}\cos\theta_0&=&
\dfrac{r_0v_0
}{p
}\cos\theta
82 L'équation de l'hodographe :
84 \left(
\dot{x
}+
\dfrac{r_0v_0
}{p
}\mathrm{e
}\sin\theta_0\right)^
2+
\left(
\dot{y
}-
\dfrac{r_0v_0
}{p
}\mathrm{e
}\cos\theta_0\right)^
2=
\left(
\dfrac{r_0v_0
}{p
}\right)^
2
86 est celle d'un cercle centré en $
\Big(
\dfrac{r_0v_0
}{p
}\mathrm{e
}\sin\theta_0,
\dfrac{r_0v_0
}{p
}\mathrm{e
}\cos\theta_0\Big)$, de rayon $R=
\dfrac{r_0v_0
}{p
}$. Ce qu'on vérifie sur le graphe suivant : en rouge l'hodographe a été obtenu à partir de l'équation différentielle et en noir avec un trait plus fin par l'expression exacte de l'équation du cercle.
88 \begin{pspicture
}(-
10,-
2)(
4,
8)
90 \uput[r
](
0,
4)
{$y$
}\uput[u
](
2,
0)
{$x$
}
94 /x0 r0 theta0 cos mul def
95 /y0 r0 theta0 sin mul def
97 /v0x v0 theta0 sin mul neg def
98 /v0y v0 theta0 cos mul def
99 /Lc r0 v0 mul def
% moment cinetique
100 /par Lc dup mul GM div def
% paramètre de l'ellipse
102 /exc
1 0.5 v0
4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div
2 mul add sqrt def
104 /a_2 par
1 exc dup mul sub div def
% demi-grand axe
105 /b_2 par
1 exc dup mul sub sqrt div def
% demi-petit axe
106 /periode
2 3.1416 dup mul a_2
3 exp mul GM div sqrt mul def
107 % rayon de l'hodographe
108 /rH r0 v0 mul par div def
109 % les coordonnées du centre
110 /xCH rH exc mul theta0 sin mul neg def
111 /yCH rH exc mul theta0 cos mul def
}%
112 \psequadiff[method=rk4,
118 saveData,filename=XiYi.dat
]{0}{36.5}{x0 y0 v0x v0y
}{\eqsatellite}%
119 \listplot{XiYi aload pop
}
120 \psequadiff[method=rk4,
126 saveData,filename=vxvy.dat
]{0}{36.5}{x0 y0 v0x v0y
}{\eqsatellite}%
127 \listplot[unit=
1,linecolor=red,linewidth=
0.075]{vxvy aload pop
}
128 % on dessine la vitesse un point sur 50
129 \multido{\i=
0+
50}{40}{%
130 \pstVerb{ /vX vxvy
\i\space get def
131 /vY vxvy
\i\space 1 add get def
132 /xi XiYi
\i\space get def
133 /yi XiYi
\i\space 1 add get def
}%
134 \rput(!xi yi)
{\psline[unit=
1,linecolor=blue
]{->
}(!vX vY)
}}
135 \pscircle[fillcolor=gray!
70,fillstyle=solid
](
0,
0)
{0.2}
136 \psgrid[subgriddiv=
2,gridcolor=lightgray,gridlabels=
8pt
](-
5,-
2)(
2,
4)
137 \psline[arrowinset=
0.05,arrowsize=
0.1]{<->
}(
2,
0)(
0,
0)(
0,
4)
138 \pscircle(!xCH yCH)
{!rH
}
139 \psdot[dotstyle=+
](!xCH yCH)
144 \begin{pspicture
}(-
10,-
10)(
6,
6)
146 \uput[r
](
0,
3)
{$y$
}\uput[u
](
3,
0)
{$x$
}
150 /x0 r0 theta0 cos mul def
151 /y0 r0 theta0 sin mul def
153 /v0x v0 theta0 sin mul neg def
154 /v0y v0 theta0 cos mul def
155 /Lc r0 v0 mul def
% moment cinetique
156 /par Lc dup mul GM div def
% paramètre de l'ellipse
158 /exc
1 0.5 v0
4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div
2 mul add sqrt def
160 /a_2 par
1 exc dup mul sub div def
% demi-grand axe
161 /b_2 par
1 exc dup mul sub sqrt div def
% demi-petit axe
162 /periode
2 3.1416 dup mul a_2
3 exp mul GM div sqrt mul def
}%
163 \rput(-
2,
0)
{T=
\psPrintValue[decimals=
2]{periode
}\hphantom{00000}s
}
164 \psequadiff[method=rk4,
170 % saveData,filename=XiYi.dat
171 ]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y
}{\eqsatellite}%
172 \listplot{XiYi aload pop
}
173 \psequadiff[method=rk4,
179 % saveData,filename=vxvy.dat
180 ]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y
}{\eqsatellite}%
181 \listplot[unit=
2,linecolor=red
]{vxvy aload pop
}
182 % on dessine la vitesse un point sur 100
183 \pscircle[fillcolor=gray!
70,fillstyle=solid
](
0,
0)
{0.3}
184 \multido{\i=
0+
100}{20}{%
185 \pstVerb{/vX vxvy
\i\space get def
186 /vY vxvy
\i\space 1 add get def
187 /xi XiYi
\i\space get def
188 /yi XiYi
\i\space 1 add get def
}%
189 \rput(!xi yi)
{\psline[style=vecteurA
]{->
}(! vX
2 mul vY
2 mul)
}}
190 \psgrid[subgriddiv=
2,gridcolor=lightgray,gridlabels=
8pt
](-
5,-
5)(
3,
3)
191 \psline[arrowinset=
0.05,arrowsize=
0.1]{<->
}(
3,
0)(
0,
0)(
0,
3)