2 \documentclass{article
}
3 \usepackage[a4paper,margin=
2cm
]{geometry
}
4 \usepackage[T1]{fontenc}
5 \usepackage[latin1]{inputenc}%
6 \usepackage[garamond
]{mathdesign
}
7 \usepackage{pst-eqdf,pst-node,pst-tools
}
8 \usepackage{array,amsmath
}
9 \newpsstyle{vecteurA
}{arrowinset=
0.05,arrowsize=
0.1,linecolor=
{[rgb
]{1 0.5 0}}}
10 \newpsstyle{vecteurB
}{arrowinset=
0.05,arrowsize=
0.1,linecolor=
{[rgb
]{0 0.5 1}}}
11 \newpsstyle{vecteurC
}{arrowinset=
0.1,arrowsize=
0.2,linecolor=
{[rgb
]{1 0 0}}}
13 \title{Gravitation : le problème des deux corps avec PSTricks\\ partie
1}
14 \date{3 juillet
2\,
012}
17 \section{Présentation
}
18 Cette première partie aborde uniquement le problème théorique et l'établissement des relations et formules indispensables à la réalisation des figures avec `PSTricks' et à l'animation avec le package `
\textsf{animate
}'. Elle pourra donc sembler superflue à tous ceux qui connaissent bien ce problème classique. De très bons livres traitent le
\textit{problème des deux corps
} de façon très claire comme celui de José-Philippe Pérez dans ``
\textit{Mécanique
}'' aux éditions Masson ou celui publié par le
\textsc{Cnes
} aux éditions
\textsc{cepadues
} : ``
\textit{Le mouvement du satellite
}'' qui est, comme on s'en doute, très complet.
20 La deuxième partie détaillera la procédure suivie pour réaliser les schémas et les animations. Toutefois, on peut, dès à présent, avoir accès au code des figures dans le fichier source de ce
document.
21 \section{Étude théorique
}
24 M1*(y
[4]-y
[0])/((y
[4]-y
[0])^
2+(y
[5]-y
[1])^
2)^
1.5|
%
25 M1*(y
[5]-y
[1])/((y
[4]-y
[0])^
2+(y
[5]-y
[1])^
2)^
1.5|
%
27 M2*(y
[0]-y
[4])/((y
[4]-y
[0])^
2+(y
[5]-y
[1])^
2)^
1.5|
%
28 M2*(y
[1]-y
[5])/((y
[4]-y
[0])^
2+(y
[5]-y
[1])^
2)^
1.5}
30 %% x1 y1 x'1 y'1 x2 y2 x'2 y'2
31 On considère un système de deux corps en interaction gravitationnelle $M_1$ de masse $m_1$ et $M_2$ de masse $m_2$ dans le repère galiléen
\textit{inertiel
} $
\mathcal{R
}$. Ils sont supposés ponctuels.
33 \begin{pspicture
}(-
3,-
1)(
5,
6)
34 \psgrid[subgriddiv=
0,gridcolor=lightgray,griddots=
10,gridlabels=
0pt
]%
35 \pstVerb{/x01 -
2 def /y01
1 def
42 /xG0 x01 M1 mul x02 M2 mul add Mt div def
43 /yG0 y01 M1 mul y02 M2 mul add Mt div def
}%
48 \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=red!
50](M1)
{0.21}
49 \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=blue!
50](M2)
{0.07}
51 \psline[linestyle=dotted
](M1)(M2)
52 \psline[linestyle=dashed
](M2)(O)(M1)
53 \psline{<->
}(
5,
0)(
0,
0)(
0,
6)
57 \uput[l
](
0,
5.8)
{$
\mathcal{R
}$
}
58 \uput{0.22}[l
](M1)
{$M_1$
}
59 \uput{0.1}[u
](M2)
{$M_2$
}
61 \pcline[offset=
5pt,linestyle=none
](M1)(M2)
63 \rput(M1)
{\psline[style=vecteurC
]{->
}(!xr0
5 div yr0
5 div)
\uput[u
](!xr0
10 div yr0
10 div)
{$
\overrightarrow{F
}_
{2/
1}$
}}
64 \rput(M2)
{\psline[style=vecteurC
]{->
}(!xr0
5 div neg yr0
5 div neg)
\uput[u
](!xr0
10 div neg yr0
10 div neg)
{$
\overrightarrow{F
}_
{1/
2}$
}}
67 On note $
\overrightarrow{r
}=
\overrightarrow{M_1M_2
}$. $M_2$ subit de la part de $M_1$ une force attractive $
\overrightarrow{F
}_
{1/
2}$ et réciproquement $M_1$ subit de la part de $M_2$ une force attractive $
\overrightarrow{F
}_
{2/
1}$ telles que :
69 \overrightarrow{F
}_
{1/
2}=-
\mathcal{G
}\frac{m_1m_2
}{r^
3}\overrightarrow{r
}\quad \overrightarrow{F
}_
{2/
1}=+
\mathcal{G
}\frac{m_1m_2
}{r^
3}\overrightarrow{r
}
71 Bien sûr : $
\overrightarrow{F
}_
{1/
2}+
\overrightarrow{F
}_
{2/
1}=
\overrightarrow{0}$. Par conséquent, le centre de masse $C$ du système $\
{M_1,M_2\
}$ est, dans le repère $
\mathcal{R
}$, soit immobile, soit en mouvement de translation rectiligne uniforme suivant les conditions initiales.
73 Dans $
\mathcal{R
}$ la position de $C$ est déterminée par la relation :
75 \overrightarrow{OC
}=
\frac{m_1
\overrightarrow{OM_1
}+m_2
\overrightarrow{OM_2
}}{m_1+m_2
}
78 \overrightarrow{v_
{C/
\mathcal{R
}}}=
\frac{m_1
\overrightarrow{v_1
}+m_2
\overrightarrow{v_2
}}{m_1+m_2
}=
\overrightarrow{v_0
}
81 $
\overrightarrow{v_0
}$ étant déterminé par les valeurs initiales de $
\overrightarrow{v_1
}$ et $
\overrightarrow{v_2
}$.
82 L'étude peut donc se poursuivre dans le repère lié au centre de masse $
\mathcal{R
}^*$, lui-même galiléen.
84 On pose : $
\overrightarrow{r_1
}=
\overrightarrow{CM_1
}$ et $
\overrightarrow{r_2
}=
\overrightarrow{CM_2
}$. On a toujours : $
\overrightarrow{r
}=
\overrightarrow{M_1M_2
}=
\overrightarrow{r_2
}-
\overrightarrow{r_1
}$.
86 \begin{pspicture
}(-
3.5,-
1)(
5.5,
8.25)
87 %\psframe(-3.5,-1)(5.5,9)
88 \pstVerb{/x01 -
2 def /y01
1 def
95 /xG0 x01 M1 mul x02 M2 mul add Mt div def
96 /yG0 y01 M1 mul y02 M2 mul add Mt div def
}%
101 \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=red!
50](M1)
{0.21}
102 \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=blue!
50](M2)
{0.07}
104 \psline[linestyle=dotted
](M1)(M2)
105 \psline[linestyle=dashed
](M2)(O)(M1)
106 \psline[linecolor=gray
]{<->
}(
5,
0)(
0,
0)(
0,
6)
107 \rput(C)
{\psline[style=vecteurA
]{<->
}(
5.5,
0)(
0,
0)(
0,
6)
%
108 \uput[l
](
0,
5.8)
{$
\mathcal{R^*
}$
}
109 \psgrid[subgriddiv=
0,gridcolor=lightgray,griddots=
10,gridlabels=
0pt
](-
3,-
3)(
6,
6)
%
110 \uput[r
](
0,
5.8)
{$y^*$
}
111 \uput[u
](
5.5,
0)
{$x^*$
}}
115 \uput[l
](
0,
5.8)
{$
\mathcal{R
}$
}
116 \uput{0.22}[l
](M1)
{$M_1$
}
117 \uput{0.1}[u
](M2)
{$M_2$
}
119 \pcline[offset=
5pt,linestyle=none
](M1)(M2)
120 \ncput*
[nrot=:U
]{$r$
}
121 \rput(M1)
{\psline[style=vecteurC
]{->
}(!xr0
5 div yr0
5 div)
\uput[u
](!xr0
10 div yr0
10 div)
{$
\overrightarrow{F
}_
{2/
1}$
}}
122 \rput(M2)
{\psline[style=vecteurC
]{->
}(!xr0
5 div neg yr0
5 div neg)
\uput[u
](!xr0
10 div neg yr0
10 div neg)
{$
\overrightarrow{F
}_
{1/
2}$
}}
126 Dans le repère $
\mathcal{R
}^*$, la quantité de mouvement du système $\
{M_1,M_2\
}$ est nulle : $
\overrightarrow{p
}^*=(m_1+m_2)
\overrightarrow{v
}_C^*=
\overrightarrow{0}$.
127 Pour chacun des deux corps, la quantité de mouvement dans $
\mathcal{R
}^*$ est :
129 \overrightarrow{p
}_1^*=m_1
\overrightarrow{v
}_1^*=m_1(
\overrightarrow{v
}_
{1/
\mathcal{R
}}-
\overrightarrow{v
}_
{C/
\mathcal{R
}})=-
\overrightarrow{p
}^*_2
131 D'après (
\ref{vc
}) qui donne $
\overrightarrow{v
}_
{C/
\mathcal{R
}}$, on obtient :
133 \overrightarrow{p
}_1^*=m_1
\left(
\overrightarrow{v
}_
{1/
\mathcal{R
}}-
\frac{m_1
\overrightarrow{v
}_
{1/
\mathcal{R
}}+m_2
\overrightarrow{v
}_
{2/
\mathcal{R
}}}{m_1+m_2
}\right)=
%
134 \frac{m_1m_2
}{m_1+m_2
}(
\overrightarrow{v
}_
{1/
\mathcal{R
}}-
\overrightarrow{v
}_
{2/
\mathcal{R
}})=-
\overrightarrow{p
}^*_2
136 Puisque, on a défini $
\overrightarrow{r
}$ par $
\overrightarrow{r_2
}-
\overrightarrow{r_1
}$, en posant $
\mu\dfrac{m_1m_2
}{m_1+m_2
}$ :
138 \overrightarrow{p
}^*_1=-
\mu\dfrac{\mathrm{d
}\overrightarrow{r
}}{\mathrm{d
}t
}\qquad \overrightarrow{p
}^*_2=
\mu\dfrac{\mathrm{d
}\overrightarrow{r
}}{\mathrm{d
}t
}
140 La quantité de mouvement de $M_2$ est identique à celle d'une particule fictive de masse $
\mu$, appelée
\textit{masse réduite
}, et de vitesse $
\overrightarrow{v
}_
{2/
\mathcal{R
}}-
\overrightarrow{v
}_
{1/
\mathcal{R
}}$ : vitesse relative de $M_2$ par rapport à $M_1$, idem pour $M_1$.
142 On considère cette particule fictive de masse $
\mu$ située au point $M$ tel que : $
\overrightarrow{CM
}=
\overrightarrow{r
}$.
144 La relation fondamentale de la dynamique appliquée à chacun des deux corps donne :
148 \dfrac{\mathrm{d
}\overrightarrow{p
}^*_1
}{\mathrm{d
}t
}=
\overrightarrow{F
}_
{2/
1}\\
[1em
]
149 \dfrac{\mathrm{d
}\overrightarrow{p
}^*_2
}{\mathrm{d
}t
}=
\overrightarrow{F
}_
{1/
2}
153 En remplaçant $
\overrightarrow{p
}^*_1$ (ou $
\overrightarrow{p
}^*_2$) par son expression en fonction de $
\mu$, on a :
155 \mu\dfrac{\mathrm{d
}^
2\overrightarrow{r
}}{\mathrm{d
}t^
2}=
\overrightarrow{F
}_
{1/
2}=-
\mathcal{G
}\frac{m_1m_2
}{r^
3}\overrightarrow{r
}
158 Nous désignons cette force par $
\overrightarrow{F
}$. Remarquons qu'elle peut s'écrire, en notant la masse totale $(m_1+m_2)$ du système $\
{M_1,M_2\
}$ par $m_t$~:
160 \overrightarrow{F
}=-
\mathcal{G
}\frac{\mu m_t
}{r^
3}\overrightarrow{r
}
163 En conclusion, cette particule fictive $M$, de masse $
\mu$ positionnée en $
\overrightarrow{CM
}=
\overrightarrow{r
}$ est attirée par un corps fictif de masse égale à la masse totale du système $(m_1+m_2)$, placé en $C$. Sa position et sa vitesse initiales sont déterminées par les positions et vitesses initiales de $M_1$ et $M_2$.
165 \overrightarrow{r
}_0=
\overrightarrow{r
}_
{2_0
}-
\overrightarrow{r
}_
{1_0
} \quad \mbox{et
} \quad \overrightarrow{v
}^*_0=
\overrightarrow{v
}_
{0/R
}=
\overrightarrow{v
}_
{2_0
}^*-
\overrightarrow{v
}_
{1_0
}^*=
166 \overrightarrow{v
}_
{{0_2
}/R
}-
\overrightarrow{v
}_
{{0_1
}/R
}
168 Si nous connaissons le mouvement de $M$ nous pourrons en déduire les mouvements respectifs de $M_1$ et $M_2$, puisque d'après la définition du centre de masse :
170 \overrightarrow{r_1
}=-
\frac{m_2
}{m_1+m_2
}\overrightarrow{r
}\quad\mbox{et
}\quad \overrightarrow{r_2
}=
\frac{m_1
}{m_1+m_2
}\overrightarrow{r
}
173 Les trajectoires de $M_1$ et $M_2$ se déduiront de celle de $M$ par une homothétie de centre C.
175 \begin{pspicture
}(-
3.5,-
1)(
6.5,
8.25)
176 %\psframe(-3.5,-1)(5.5,9)
177 \pstVerb{/x01 -
2 def /y01
1 def
178 /x02
4 def /y02
5 def
184 /xG0 x01 M1 mul x02 M2 mul add Mt div def
185 /yG0 y01 M1 mul y02 M2 mul add Mt div def
}%
190 \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=red!
50](M1)
{0.21}
191 \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=blue!
50](M2)
{0.07}
192 \pscircle[hatchcolor=gray,fillstyle=vlines,hatchwidth=
0.02,hatchsep=
0.05](C)
{0.25}
194 \psline[linestyle=dotted
](M1)(M2)
195 \psline[linestyle=dashed
](M2)(O)(M1)
196 \psline[linecolor=gray
]{<->
}(
5,
0)(
0,
0)(
0,
6)
197 \rput(C)
{\psline[style=vecteurA
]{<->
}(
5.5,
0)(
0,
0)(
0,
6)
%
198 \uput[l
](
0,
5.8)
{$
\mathcal{R^*
}$
}
199 \psgrid[subgriddiv=
0,gridcolor=lightgray,griddots=
10,gridlabels=
0pt
](-
3,-
3)(
7,
6)
%
200 \uput[r
](
0,
5.8)
{$y^*$
}
201 \uput[u
](
5.5,
0)
{$x^*$
}
204 \pcline[offset=
0.3,linewidth=
0.01,arrowsize=
0.1]{|->
}(
0,
0)(M)
205 \ncput*
[nrot=:U
]{$
\overrightarrow{r
}$
}
206 \psline[linestyle=dotted
](M)
\uput[r
](M)
{$M(
\mu)$
}
207 \rput(M)
{\psline[style=vecteurC
]{->
}(!xr0
5 div neg yr0
5 div neg)
\uput[dr
](!xr0
10 div neg yr0
10 div neg)
{$
\overrightarrow{F
}_
{1/
2}$
}}}
211 \uput[l
](
0,
5.8)
{$
\mathcal{R
}$
}
212 \uput{0.22}[l
](M1)
{$M_1$
}
213 \uput{0.1}[dr
](M2)
{$M_2$
}
214 \uput{0.3}[d
](C)
{$C$
}
215 %\pcline[offset=10pt,linestyle=none](M1)(M2)
216 %\ncput*[nrot=:U]{$r$}
217 %\rput(M1){\psline[style=vecteurC]{->}(!xr0 5 div yr0 5 div)\uput[u](!xr0 10 div yr0 10 div){$\overrightarrow{F}_{2/1}$}}
218 %\rput(M2){\psline[style=vecteurC]{->}(!xr0 5 div neg yr0 5 div neg)\uput[u](!xr0 10 div neg yr0 10 div neg){$\overrightarrow{F}_{1/2}$}}
221 Pour étudier, dans $
\mathcal{R
}^*$, le mouvement de ce point matériel fictif $M$ de masse $(
\mu)$ soumis à la force centrale $
\overrightarrow{F
}$, il est avantageux de passer en coordonnées polaires.
223 \begin{pspicture
}(-
3.5,-
1)(
6.5,
8.25)
224 %\psframe(-3.5,-1)(5.5,9)
225 \pstVerb{/x01 -
2 def /y01
1 def
226 /x02
4 def /y02
5 def
229 /theta_0 yr0 xr0 atan def
233 /xG0 x01 M1 mul x02 M2 mul add Mt div def
234 /yG0 y01 M1 mul y02 M2 mul add Mt div def
}%
239 \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=red!
50](M1)
{0.21}
240 \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=blue!
50](M2)
{0.07}
241 \pscircle[hatchcolor=gray,fillstyle=vlines,hatchwidth=
0.02,hatchsep=
0.05](C)
{0.25}
243 \psline[linestyle=dotted
](M1)(M2)
244 \psline[linestyle=dashed
](M2)(O)(M1)
245 \psline[linecolor=gray
]{<->
}(
5,
0)(
0,
0)(
0,
6)
246 \rput(C)
{\psline[style=vecteurA
]{<->
}(
5.5,
0)(
0,
0)(
0,
6)
%
247 \uput[l
](
0,
5.8)
{$
\mathcal{R^*
}$
}
248 \psgrid[subgriddiv=
0,gridcolor=lightgray,griddots=
10,gridlabels=
0pt
](-
3,-
3)(
7,
6)
%
249 \uput[r
](
0,
5.8)
{$y^*$
}
250 \uput[u
](
5.5,
0)
{$x^*$
}
253 \pcline[offset=
0.3,linewidth=
0.01,arrowsize=
0.1]{|->
}(
0,
0)(M)
254 \ncput*
[nrot=:U
]{$
\overrightarrow{r
}$
}
255 \psline[linestyle=dotted
](M)
\uput[r
](M)
{$M(
\mu)$
}
256 \rput(M)
{\psline[style=vecteurC
]{->
}(!xr0
5 div neg yr0
5 div neg)
\uput[dr
](!xr0
10 div neg yr0
10 div neg)
{$
\overrightarrow{F
}$
}}}
260 \uput[l
](
0,
5.8)
{$
\mathcal{R
}$
}
261 \uput{0.22}[l
](M1)
{$M_1$
}
262 \uput{0.1}[dr
](M2)
{$M_2$
}
263 \uput{0.3}[d
](C)
{$C$
}
264 \rput(C)
{\psline[arrowinset=
0.1,arrowsize=
0.15]{->
}(!theta_0
90 add cos theta_0
90 add sin)
265 \psline[arrowinset=
0.1,arrowsize=
0.15]{->
}(!theta_0 cos theta_0 sin)
266 \uput{.1}[u
](!theta_0
90 add cos theta_0
90 add sin)
{$
\overrightarrow{u
}_
\theta$
}
267 \uput[d
](!theta_0 cos theta_0 sin)
{$
\overrightarrow{u
}_r$
}
268 \psarc{->
}(
0,
0)
{1.5}{0}{!theta_0
}
269 \uput{1.6}[!theta_0
2 div
](
0,
0)
{$
\theta$
}}
272 Pour la suite, retenons que dans $
\mathcal{R
}^*$ :
274 \overrightarrow{u
}_r=
282 \overrightarrow{u
}_
\theta=
291 \frac{\mathrm{d
}\overrightarrow{u
}_r
}{\mathrm{d
}t
}%=
294 %-\dot{\theta}\sin\theta\\
295 %\dot{\theta}\cos\theta
298 =
\dot{\theta}\overrightarrow{u
}_
\theta
300 \frac{\mathrm{d
}\overrightarrow{u
}_
\theta}{\mathrm{d
}t
}=
303 %-\dot{\theta}\cos\theta\\
304 %-\dot{\theta}\sin\theta
307 -
\dot{\theta}\overrightarrow{u
}_r
309 Dans ce repère, la position de $M$ et sa vitesse ont pour expressions respectives :
311 \overrightarrow{r
}=r
\overrightarrow{u
}_r
\quad ;
\quad \overrightarrow{v
}=
\frac{\mathrm{d
}\overrightarrow{r
}}{\mathrm{d
}t
}=
\frac{\mathrm{d
}r
}{\mathrm{d
}t
}\overrightarrow{u
}_r + r
\frac{\mathrm{d
}\overrightarrow{u
}_r
}{\mathrm{d
}t
}=
\frac{\mathrm{d
}r
}{\mathrm{d
}t
}\overrightarrow{u
}_r + r
\dot{\theta}\overrightarrow{u
}_
\theta
313 l'accélération s'écrit :
315 \overrightarrow{\gamma}=
\frac{\mathrm{d
}\overrightarrow{v
}}{\mathrm{d
}t
}=
\ddot{r
}\overrightarrow{u
}_r +
316 \dot{r
}\dot{\theta}\overrightarrow{u
}_
\theta+
317 \dot{r
}\dot{\theta}\overrightarrow{u
}_
\theta +
318 r
\ddot{\theta}\overrightarrow{u
}_
\theta -r
\dot{\theta}^
2\overrightarrow{u
}_r
321 =(
\ddot{r
} -r
\dot{\theta}^
2)
\overrightarrow{u
}_r +
322 (
2\dot{r
}\dot{\theta}+r
\ddot{\theta})
\overrightarrow{u
}_
\theta
334 \overrightarrow{\gamma}=
337 \ddot{r
} -r
\dot{\theta}^
2\\
338 \dfrac{1}{r
}\dfrac{\mathrm{d
}}{\mathrm{d
}t
}(r^
2\dot{\theta})
342 L'équation (
\ref{RFD
}) nous donne, en divisant par $
\mu$, l'accélération :
344 \dfrac{\mathrm{d
}^
2\overrightarrow{r
}}{\mathrm{d
}t^
2}=-
\mathcal{G
}\frac{m_t
}{r^
2}\overrightarrow{u
}_r
346 Et puisque l'accélération radiale est nulle :
348 \dfrac{1}{r
}\dfrac{\mathrm{d
}}{\mathrm{d
}t
}(r^
2\dot{\theta})=
0
352 r^
2\dot{\theta}=
\mathrm{C^
{ste
}}
354 Il est intéressant ici de calculer le moment cinétique de $M$ et d'exprimer la loi des aires.
356 Le moment cinétique :
358 \overrightarrow{\sigma}=
\overrightarrow{r
} \wedge \mu\overrightarrow{v
}
360 $
\overrightarrow{F
}$ étant dirigée vers $C$, son moment par rapport à $C$ est nul. Le moment cinétique est donc constant. Il en découle que le mouvement est plan, puisque le vecteur-position $
\overrightarrow{r
}$ reste toujours perpendiculaire à un vecteur constant. Ce plan est le plan perpendiculaire à $
\sigma_0$ contenant $C$.
362 On peut calculer le moment cinétique $
\overrightarrow{\sigma}$, à partir des coordonnées polaires :
364 \overrightarrow{\sigma}=
\mu
388 =
\mu r^
2\dot{\theta}\overrightarrow{u
}_z
390 La constante des aires(voir plus loin pourquoi elle s'appelle ainsi) est $
\mathrm{C
}=
\dfrac{\sigma}{\mu}=r^
2\dot{\theta}$, c'est aussi la valeur du moment cinétique par unité de masse.
392 On peut aussi calculer le moment cinétique en coordonnées cartésiennes. Les conditions initiales étant fixées, $
\overrightarrow{v
}_0$ est donné par ses coordonnées, ainsi que $
\overrightarrow{r
}_0$.
394 \overrightarrow{\sigma}=
\mu
415 x_0 v_
{y_0
} - y_0 v_
{x_0
}
418 =
\mu(x_0 v_
{y_0
} - y_0 v_
{x_0
})
\overrightarrow{u
}_z
420 Les livres d'astronomie
\footnote{page
43 dans
\textit{Le mouvement du satellite
} : conférences et exercices de mécanique spatiale. Cepadues-éditions
1983.
} préfèrent définir la vitesse par un autre paramètre $
\gamma$,
\textit{angle de l'horizontale locale
}$
\overrightarrow{u
}_z
\wedge \overrightarrow{u
}_r$ (c'est-à-dire $
\overrightarrow{u
}_
\theta$)
\textit{avec la vitesse
}, en se plaçant toujours en coordonnées polaires.
422 \begin{pspicture
}(-
3.5,-
1)(
6.5,
8.25)
423 %\psframe(-3.5,-1)(5.5,9)
424 \pstVerb{/x01 -
2 def /y01
1 def
425 /x02
4 def /y02
5 def
428 /theta_0 yr0 xr0 atan def
432 /xG0 x01 M1 mul x02 M2 mul add Mt div def
433 /yG0 y01 M1 mul y02 M2 mul add Mt div def
}%
438 %\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=red!50](M1){0.21}
439 %\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=blue!50](M2){0.07}
440 \pscircle[hatchcolor=gray,fillstyle=vlines,hatchwidth=
0.02,hatchsep=
0.05](C)
{0.25}
442 %\psline[linestyle=dotted](M1)(M2)
443 %\psline[linestyle=dashed](M2)(O)(M1)
444 \psline[linecolor=gray
]{<->
}(
5,
0)(
0,
0)(
0,
6)
445 \rput(C)
{\psline[style=vecteurA
]{<->
}(
5.5,
0)(
0,
0)(
0,
6)
%
446 \uput[l
](
0,
5.8)
{$
\mathcal{R^*
}$
}
447 \psgrid[subgriddiv=
0,gridcolor=lightgray,griddots=
10,gridlabels=
0pt
](-
3,-
3)(
7,
6)
%
448 \uput[r
](
0,
5.8)
{$y^*$
}
449 \uput[u
](
5.5,
0)
{$x^*$
}
452 % \pcline[offset=0.3,linewidth=0.01,arrowsize=0.1]{|->}(0,0)(M)
453 % \ncput*[nrot=:U]{$\overrightarrow{r}$}
454 \psline[linestyle=dotted
](M)
\uput[r
](M)
{$M(
\mu)$
}
455 \rput(M)
{\psline[style=vecteurC
]{->
}(!xr0
5 div neg yr0
5 div neg)
\uput[dr
](!xr0
10 div neg yr0
10 div neg)
{$
\overrightarrow{F
}$
}
456 \psline[linestyle=dotted
](!theta_0
90 add cos
2 mul theta_0
90 add sin
2 mul)
457 \psline[arrowinset=
0.1,arrowsize=
0.15]{->
}(!theta_0
90 add cos theta_0
90 add sin)
458 \psline[arrowinset=
0.1,arrowsize=
0.15,linecolor=blue
]{->
}(!theta_0
45 add cos
2 mul theta_0
45 add sin
2 mul)
459 \uput[r
](!theta_0
45 add cos
1.75 mul theta_0
45 add sin
1.55 mul)
{$
\overrightarrow{v
}$
}
460 \psarc{->
}(
0,
0)
{1.2}{!theta_0
45 add
}{!theta_0
90 add
}
461 \uput{1.3}[!theta_0
67.5 add
](
0,
0)
{$
\gamma$
}}
466 \uput[l
](
0,
5.8)
{$
\mathcal{R
}$
}
467 %\uput{0.22}[l](M1){$M_1$}
468 %\uput{0.1}[dr](M2){$M_2$}
469 \uput{0.3}[d
](C)
{$C$
}
470 \rput(C)
{\psline[arrowinset=
0.1,arrowsize=
0.15]{->
}(!theta_0
90 add cos theta_0
90 add sin)
471 \psline[arrowinset=
0.1,arrowsize=
0.15]{->
}(!theta_0 cos theta_0 sin)
472 \uput{.1}[u
](!theta_0
90 add cos theta_0
90 add sin)
{$
\overrightarrow{u
}_
\theta$
}
473 \uput[d
](!theta_0 cos theta_0 sin)
{$
\overrightarrow{u
}_r$
}
474 \psarc{->
}(
0,
0)
{1.5}{0}{!theta_0
}
475 \uput{1.6}[!theta_0
2 div
](
0,
0)
{$
\theta$
}}
478 Dans ce cas, on peut exprimer la constante des aires par :
480 \mathrm{C
}=rv
\cos\gamma
483 \begin{pspicture
}(-
2,-
2)(
7,
5)
484 \psgrid[subgriddiv=
0,gridcolor=lightgray,griddots=
10,gridlabels=
0pt
]
488 /radius
{par
1 exc t Phi sub cos mul add div
} def
489 /xE
{radius t cos mul neg
} def
490 /yE
{radius t sin mul neg
} def
}%
491 \parametricplot[plotpoints=
360]{0}{360}{
494 \pscustom[fillstyle=vlines,hatchwidth=
0.02,hatchcolor=gray
]{%
495 \psline(
0,
0)(! /t
200 def xE yE)
496 \parametricplot[plotpoints=
360]{200}{210}{
499 \psline(! /t
210 def xE yE)(
0,
0)
}
500 \parametricplot[plotpoints=
360,arrows=->
]{200}{210}{
501 /radius
{2.25 1 exc t Phi sub cos mul add div
} def
504 \psarc{->
}(
0,
0)
{3}{20}{30}
505 \uput{3.2}[25](
0,
0)
{\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white,framesep=
0pt
]{d$
\theta$
}}
506 \rput(
5,
2.3)
{\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white,framesep=
0pt
]{d$
\mathcal{A
}$
}}
507 %\psline[linearc=0.25]{->}(2.2,1.8)(3.5,1.8)(3.5,1.5)
508 \pcline[offset=-
0.3,linestyle=none
](
0,
0)(! /t
200 def xE yE)
509 \ncput*
[nrot=:U
]{$r$
}
510 \uput[l
](
0,
4.8)
{$
\mathcal{R^*
}$
}
511 \uput[r
](
0,
4.8)
{$y^*$
}
514 \psline[style=vecteurA
]{<->
}(
7,
0)(
0,
0)(
0,
5)
517 Géométriquement lorsque $
\theta$ varie de $
\mathrm{d
}\theta$, la surface balayée par le rayon vecteur vaut :
519 \mathrm{d
}\mathcal{A
}=
\frac{1}{2}r^
2\mathrm{d
}\theta
521 On définit ainsi la vitesse
\textit{aérolaire
}, qui est l'aire balayée par unité de temps, en fonction de C :
523 \frac{\mathrm{d
}A
}{\mathrm{d
}t
}=
\frac{\mathrm{C
}}{2}
525 On retrouve ainsi la deuxième loi de Képler.
527 Pour déterminer l'équation de la trajectoire, on utilise la méthode de Binet, qui consiste en un changement de variable en posant $u=
\dfrac{1}{r
}$.
529 \dfrac{\mathrm{d
}r
}{\mathrm{d
}t
}=-
\dfrac{1}{u^
2}\dfrac{\mathrm{d
}u
}{\mathrm{d
}\theta}\dfrac{\mathrm{d
}\theta}{\mathrm{d
}t
}
531 Nous avons la constante des aires $
\mathrm{C
}=r^
2\dot{\theta}=
\dfrac{\dot{\theta}}{u^
2}$, par conséquent :
533 \dfrac{\mathrm{d
}r
}{\mathrm{d
}t
}=-
\mathrm{C
}\dfrac{\mathrm{d
}u
}{\mathrm{d
}\theta}
536 \dfrac{\mathrm{d
}^
2r
}{\mathrm{d
}t^
2}=-
\mathrm{C
}\dfrac{\mathrm{d
}^
2u}{\mathrm{d
}\theta^
2}\dfrac{\mathrm{d
}\theta}{\mathrm{d
}t
}
538 On remplace $
\dot{\theta}$ par $
\mathrm{C
}u^
2$ :
540 \dfrac{\mathrm{d
}^
2r
}{\mathrm{d
}t^
2}=-
\mathrm{C^
2}u^
2\dfrac{\mathrm{d
}^
2u}{\mathrm{d
}\theta^
2}
542 Nous avons vu qu'en appliquant la loi de Newton, la composante de l'accélération $
\gamma$ suivant $
\sqrt[n
]{u
}_r$ vaut :
544 \ddot{r
} -r
\dot{\theta}^
2=-
\mathcal{G
}\frac{m_t
}{r^
2}
546 Ce qui s'écrit avec la variable $u$ :
548 -
\mathrm{C^
2}u^
2\dfrac{\mathrm{d
}^
2u}{\mathrm{d
}\theta^
2}-
\mathrm{C^
2}u^
3=-
\mathcal{G
}m_tu^
2
550 Ce qui, après simplification, donne :
552 \psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=
{[rgb
]{1 1 0.5}}]{%
553 \dfrac{\mathrm{d
}^
2u}{\mathrm{d
}\theta^
2}+u=
\dfrac{\mathcal{G
}m_t
}{\mathrm{C^
2}}}
556 La solution générale de cette équation peut s'écrire :
558 u=A
\cos(
\theta-
\varphi)+
\dfrac{\mathcal{G
}m_t
}{\mathrm{C^
2}}
560 $A$ et $
\varphi$ sont fixés par les conditions initiales. Le rayon-vecteur a pour expression :
562 r=
\frac{1}{A
\cos(
\theta-
\varphi)+
\dfrac{\mathcal{G
}m_t
}{\mathrm{C^
2}}}
564 Il s'écrit encore ainsi :
566 r=
\dfrac{\dfrac{\mathrm{C^
2}}{\mathcal{G
}m_t
}}{A
\dfrac{\mathrm{C^
2}}{\mathcal{G
}m_t
}\cos(
\theta-
\varphi)+
1}
568 Si on pose $p=
\dfrac{\mathrm{C^
2}}{\mathcal{G
}m_t
}$ et $
\mathrm{e
}=Ap$, on reconnaît l'équation d'une conique dont l'un des foyers est $C$, de paramètre $p$ et d'excentricité $
\mathrm{e
}$.
570 \psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=
{[rgb
]{1 1 0.5}}]{%
571 r=
\dfrac{p
}{1+e
\cos(
\theta-
\varphi)
}}
574 Déterminons les constantes en fonction des conditions initiales.
576 Nous avons vu que la constante des aires C pouvait se calculer de deux façons suivant le choix fait pour définir la vitesse initiale, soit $
577 \mathrm{C
}=r_0v_0
\cos\gamma_0$, soit $C=x_0 v_
{y_0
} - y_0 v_
{x_0
}$. Par conséquent $p$ est bien déterminé.
579 Lorsque $
\theta=
\varphi$ alors $r=
\dfrac{p
}{1+
\mathrm{e
}}$, ce qui est la plus petite valeur possible de $r$. On est donc au périgée P de la conique, on note, en ce point, le rayon-vecteur par $
\overrightarrow{r
}_
\mathrm{P
}$. En ce point la vitesse $
\overrightarrow{v
}_
\mathrm{P
}$ est perpendiculaire à $
\overrightarrow{r
}_
\mathrm{P
}$ et la constante des aires peut s'écrire : $
\mathrm{C
}=r_
\mathrm{P
}v_
\mathrm{P
}$.
581 L'angle $
\varphi$ est l'inclinaison du grand axe de la conique avec $Ox$, plus précisément l'angle du rayon-vecteur au périgée, $
\overrightarrow{r
}_P$ avec $Ox$.
583 L'énergie mécanique se conserve au cours du mouvement, elle est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle. En fonction des conditions initiales elle s'écrit(on rappelle que $
\mu$ est la masse(
\textit{réduite
})) de la particule fictive $M$ étudiée :
585 \mathcal{E
}=
\frac{1}{2}\mu v_0^
2-
\mathcal{G
}\frac{\mu(m_1+m_2)
}{r_0
}\quad \text{ou
}\quad \frac{1}{2}\mu v_0^
2-
\mathcal{G
}\frac{m_1m_2
}{r_0
}
587 Au périgée, elle s'exprimera par :
589 \mathcal{E
}=
\frac{1}{2}\mu v_
\mathrm{P
}^
2-
\mathcal{G
}\frac{m_1m_2
}{r_
\mathrm{P
}}
591 Pour exprimer l'énergie dans le cas général, calculons la vitesse en fonction de $u$. Rappelons que :
601 Calculons séparément $
\dot{r
}$ et $r
\dot{\theta}$ :
603 \dot{r
}=
\dfrac{\mathrm{d
}r
}{\mathrm{d
}u
}\dfrac{\mathrm{d
}u
}{\mathrm{d
}\theta}\dfrac{\mathrm{d
}\theta}{\mathrm{d
}t
}=
604 -
\dfrac{1}{u^
2}\dfrac{\mathrm{d
}u
}{\mathrm{d
}\theta}\dot{\theta}=
605 -
\mathrm{C
}\dfrac{\mathrm{d
}u
}{\mathrm{d
}\theta}
608 r
\dot{\theta}=
\dfrac{1}{u
}\mathrm{C
}u^
2=
\mathrm{C
}u
611 v^
2=
\mathrm{C^
2}\left[\left(
\frac{\mathrm{d
}u
}{\mathrm{d
}\theta}\right)^
2+u^
2\right]
614 v^
2=
\mathrm{C^
2}\left[
615 \frac{\mathrm{e^
2}}{p^
2}\sin^
2(
\theta-
\varphi)+
\frac{1}{p^
2}\left[1+
2\mathrm{e
}\cos(
\theta-
\varphi)+
\mathrm{e^
2}\cos^
2(
\theta-
\varphi)
\right]
619 v^
2=
\frac{\mathrm{C^
2}}{p^
2}\left[1+
2\mathrm{e
}\cos(
\theta-
\varphi)+
\mathrm{e^
2} \right]
621 L'énergie cinétique s'exprime par :
623 E_C=
\frac{1}{2}\mu\frac{\mathrm{C^
2}}{p^
2}\left[ 1+
2\mathrm{e
}\cos(
\theta-
\varphi)+
\mathrm{e^
2} \right]
625 On se souvient que $p=
\dfrac{\mathrm{C^
2}}{\mathcal{G
}m_t
}$, il vient :
627 E_C=
\frac{1}{2}\frac{\mathcal{G
}\mu m_t
}{p
}\left[ 1+
2\mathrm{e
}\cos(
\theta-
\varphi)+
\mathrm{e^
2} \right]
629 Pour l'énergie potentielle nous avons :
631 E_p=-
\frac{\mathcal{G
}\mu m_t
}{r
}=-
\frac{\mathcal{G
}\mu m_t
}{p
}\left[1+e
\cos(
\theta-
\varphi)
\right]
633 et pour l'énergie mécanique, nous obtenons après simplification :
635 \mathcal{E
}=E_C+E_p=
\frac{\mathcal{G
}\mu m_t
}{2p
}(
\mathrm{e^
2}-
1)
637 On en déduit l'excentricité :
639 \mathrm{e^
2}=
\frac{2p
\mathcal{E
}}{\mathcal{G
}\mu m_t
}+
1\Longrightarrow \mathrm{e
}=
\sqrt{\frac{2p
\mathcal{E
}}{\mathcal{G
}\mu m_t
}+
1}
641 On peut l'exprimer en fonction de la constante des aires en posant $K=
\mathcal{G
}m_t$ et en remplaçant $p$ par $
\dfrac{\mathrm{C^
2}}{K
}$ :
643 \psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=
{[rgb
]{1 1 0.5}}]{%
644 \mathrm{e
}=
\sqrt{\frac{2\mathrm{C^
2}\mathcal{E
}}{\mu K^
2}+
1}}
647 Il reste à déterminer $
\varphi$, c'est le problème le plus simple à résoudre.
649 r_0=
\frac{p
}{1+
\mathrm{e
}\cos(
\theta_0-
\varphi)
}
653 \psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=
{[rgb
]{1 1 0.5}}]{%
654 \varphi=
\theta_0-
\arccos\left[\left(
\frac{p
}{r_0
}-
1\right)
\frac{1}{\mathrm{e
}}\right]}
657 On distingue trois cas :
660 $
\mathrm{e
}<
1$ ou $
\mathcal{E
}<
0$ : ellipse
662 $
\mathrm{e
}=
1$ ou $
\mathcal{E
}=
0$ : parabole
664 $
\mathrm{e
}>
1$ ou $
\mathcal{E
}>
0$ : hyperbole
666 Et on s'intéresse maintenant au mouvement elliptique. Les conditions initiales $(
\overrightarrow{r
}_0,
\overrightarrow{v
}_0)$ doivent vérifier :
668 \mathcal{E
}=
\frac{1}{2}\mu v_0^
2-
\mathcal{G
} \frac{m_1 m_2
}{r_0
}<
0
671 \begin{pspicture
}(-
2,-
3)(
5,
7)
672 \psgrid[subgriddiv=
0,gridcolor=lightgray,griddots=
10,gridlabels=
0pt
]
676 dup mul neg
1 add sqrt
692 /mu M1 M2 mul M1 M2 add div def
% masse réduite
694 /xG0 M1 x01 mul M2 x02 mul add M1 M2 add div def
695 /yG0 M1 y01 mul M2 y02 mul add M1 M2 add div def
696 % conditions initiales pour le point réduit
699 /theta_0 yr0 xr0 atan def
700 /r0 xr0 dup mul yr0 dup mul add sqrt def
701 /v0xr v0x1 v0x2 sub def
702 /v0yr v0y1 v0y2 sub def
703 /v0r_2 v0xr dup mul v0yr dup mul add def
704 % constante des aires
705 /Cste xr0 v0yr mul yr0 v0xr mul sub def
% Cste des aires
706 /Energie
0.5 mu mul v0r_2 mul
% 1/2 mv^2
707 G M1 M2 mul mul r0 div sub
709 /par Cste dup mul K div def
% p
710 /exc
2 Cste dup mul mul Energie mul mu div K dup mul div
1 add sqrt def
% e
711 /a_2 par
1 exc dup mul sub div def
% demi-grand axe
712 /b_2 a_2
1 exc dup mul sub sqrt mul def
% demi-petit axe
713 /c_2 a_2 exc mul def
% distance focale
715 /Phi theta_0 par r0 div
1 sub exc div arccos sub def
716 /rP par
1 exc add div def
717 /rA par
1 exc sub div def
718 % vitesses à l'apogée et au périgée
719 /vA G Mt mul
2 rA div
1 a_2 div sub mul sqrt def
720 /vP G Mt mul
2 rP div
1 a_2 div sub mul sqrt def
721 % positions du périgée et de l'apogée
722 /xP rP Phi cos mul def
723 /yP rP Phi sin mul def
724 /xA rA Phi cos mul neg def
725 /yA rA Phi sin mul neg def
726 /xW xA xP add
2 div def
727 /yW yA yP add
2 div def
729 /periode
6.28 a_2
3 exp G div Mt div sqrt mul def
730 /radius
{par
1 exc t Phi sub cos mul add div
} def
731 /xE
{radius t cos mul
} def
732 /yE
{radius t sin mul
}def
734 \parametricplot[plotpoints=
360]{0}{360}{xE yE
}%
735 \uput[l
](
0,
6.8)
{$
\mathcal{R^*
}$
}
736 \uput[r
](
0,
6.8)
{$y^*$
}
740 \psline[style=vecteurA
]{<->
}(
5,
0)(
0,
0)(
0,
7)
741 \pnode(!xr0 yr0)
{M0
}\psdot(M0)
742 \rput(M0)
{\psline[unit=
2,style=vecteurA
]{->
}(!v0xr v0yr)
\uput[r
](
0,
0)
{$M_0$
}\uput[r
](!v0xr
2 mul v0yr
2 mul)
{$
\overrightarrow{v
}_0$
}}
744 \pcline[offset=
0.25,linestyle=none
](
0,
0)(M0)
745 \ncput*
[nrot=:U
]{$r_0$
}
746 \psarc[style=vecteurB
]{->
}(
0,
0)
{1.5}{0}{!theta_0
}
747 \uput{1.6}[!theta_0
2 div
](
0,
0)
{$
\theta_0$
}
748 \pnode(!rA Phi cos mul neg rA Phi sin mul neg)
{A
}
749 \psline[linestyle=dotted
](A)
751 \pnode(!rP Phi cos mul rP Phi sin mul)
{P
}
752 \psline[linestyle=dotted
](P)
754 \rput(-
2,
0)
{\psPrintValue[decimals=
4]{exc
}}
755 \pnode(!xW yW)
{W
}\psdot(W)
\uput[r
](W)
{$
\Omega$
}
756 \rput{!Phi
}(W)
{\pnode(!
0 b_2)
{B1
}\pnode(!
0 b_2 neg)
{B2
}\psline[linestyle=dotted
](B1)(B2)
}
758 \pcline[offset=-
0.25,linestyle=none
](W)(B2)
760 \pcline[offset=
0.25,linestyle=none
](W)(A)
762 \pcline[offset=
0.25,linestyle=none
](
0,
0)(W)
764 \psline[linecolor=blue
](W)(B2)
765 \psline[linecolor=red
](W)(A)
766 \psline[linecolor=green
](W)(
0,
0)
767 \rput{!
180 Phi add
}(W)
{\psdot(!c_2
0)
}
768 \psarcn{->
}(
0,
0)
{0.5}{0}{!Phi
}\uput{0.55}[!Phi
2 div
](
0,
0)
{$
\varphi$
}
769 \rput{!Phi
}(P)
{\pnode(!
0 vP)
{vP
}\psline[style=vecteurA
]{->
}(vP)
}
770 \uput[r
](vP)
{$
\overrightarrow{v
}_P$
}
771 \rput{!Phi
}(A)
{\pnode(!
0 vA neg)
{vA
}\psline[style=vecteurA
]{->
}(vA)
}
772 \uput[u
](vA)
{$
\overrightarrow{v
}_A$
}
775 L'un des foyers de l'ellipse est le centre attracteur $C$. L'autre est le symétrique de $C$ par rapport à $
\Omega$.
777 Au périgée, le rayon-vecteur vaut : $r_P=
\dfrac{p
}{1+
\mathrm{e
}}$, à l'apogée $r_A=
\dfrac{p
}{1-
\mathrm{e
}}$.
779 Le demi-grand axe est égal à : $a=
\dfrac{r_P+r_A
}{2}=
\dfrac{p
}{1-
\mathrm{e^
2}}$.
781 La distance focale est égale à : $c=a-r_P=
\dfrac{p
\mathrm{e
}}{1-
\mathrm{e^
2}}=a
\mathrm{e
}$.
783 Pour calculer le demi-petit axe de l'ellipse $b$, on peut rappeler que l'ellipse est lieu des points dont la somme des distances aux foyers est égale à $
2a$. Au point $B$ cette somme est égale à $
2a$, par conséquent le théorème de Pythagore appliqué dans le triangle rectangle $C
\Omega B$ donne la valeur du demi-axe : $b=
\sqrt{a^
2-c^
2}=a
\sqrt{1-
\mathrm{e^
2}}$.
785 Rappelons que $
\mathrm{e^
2}=
\dfrac{2p
\mathcal{E
}}{\mathcal{G
}\mu m_t
}+
1$. On peut exprimer $
\mathcal{E
}$ en fonction de $
\mathrm{e
}$ :
788 \mathcal{E
}=
\frac{\mathcal{G
}\mu m_t
}{2p
}(
\mathrm{e^
2}-
1)=-
\frac{\mathcal{G
}\mu m_t
}{2a
}\quad\text{ou
}\quad\mathcal{E
}=-
\frac{\mathcal{G
}m_1m_2
}{2a
}
790 Pour le système $\
{M_1,M_2\
}$, son énergie s'exprime très simplement en fonction du grand axe de l'ellipse $
2a$.
792 Calculons la vitesse tout au long de l'ellipse :
795 \mathcal{E
}=
\frac{1}{2}\mu v^
2-
\frac{\mathcal{G
}\mu m_t
}{r
}=-
\frac{\mathcal{G
}\mu m_t
}{2a
}
798 v^
2=
\mathcal{G
}m_t
\left(
\frac{2}{r
}-
\frac{1}{a
}\right)
800 On en déduit les vitesses au périgée et à l'apogée :
802 v_P=
\sqrt{\frac{\mathcal{G
}m_t
}{p
}}(
1+
\mathrm{e
})
\qquad v_A=
\sqrt{\frac{\mathcal{G
}m_t
}{p
}}(
1-
\mathrm{e
})
804 La vitesse est maximale au périgée et minimale à l'apogée.
806 La période de révolution se détermine à partir de la vitesse
\textit{aérolaire
}. Cette vitesse vaut :
808 \mathcal{V
}=
\frac{\mathrm{C
}}{2}=
\frac{\sqrt{p
\mathcal{G
}m_t
}}{2}
810 Sachant que surface de l'ellipse est $S=
\pi a b$ :
812 T=
\frac{2\pi a b
}{\sqrt{p
\mathcal{G
}m_t
}}
814 On remplace $b$ par $a
\sqrt{(
1-
\mathrm{e^
2})
}$ et $p$ par $a(
1-
\mathrm{e^
2})$ :
816 T=
\frac{2\pi a^
2 \sqrt{(
1-
\mathrm{e^
2})
}}{\sqrt{a(
1-
\mathrm{e^
2})
\mathcal{G
}m_t
}}=
\frac{2\pi a^
2}{\sqrt{a
\mathcal{G
}m_t
}}
818 En élevant les deux membres au carré on retrouve la troisième loi de Képler :
820 \psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=
{[rgb
]{1 1 0.5}}]{%
821 \frac{T^
2}{a^
3}=
\frac{4\pi^
2}{\mathcal{G
}m_t
}}
824 \section{Le mouvement des
2 corps dans le repère du centre de masse
}
825 Nous avons vu (
\ref{r1r2
}), que les trajectoires de $M_1$ et $M_2$ se déduisent de celle de $M$ par une homothétie de centre~C.
827 \overrightarrow{r_1
}=-
\frac{m_2
}{m_1+m_2
}\overrightarrow{r
}\quad\mbox{et
}\quad \overrightarrow{r_2
}=
\frac{m_1
}{m_1+m_2
}\overrightarrow{r
}
829 Les trajectoires sont donc deux ellipses dont les caractéristiques, paramètre, demi-grand axe et demi-petit axe, se déduisent de l'ellipse de la particule de masse réduite dans le même rapport.
832 \item Paramètre : $p_1=p
\dfrac{m_2
}{m_1+m_2
}$.
833 \item rayon-vecteur à l'apogée : $r_
{A_1
}=r_A
\dfrac{m_2
}{m_1+m_2
}$
834 \item rayon-vecteur au périgée : $r_
{P_1
}=r_P
\dfrac{m_2
}{m_1+m_2
}$
835 \item demi-grand axe : $a_1=
\dfrac{r_
{A_1
}+r_
{P_1
}}{2}=
\dfrac{m_2
}{m_1+m_2
}\dfrac{r_
{A
}+r_
{P
}}{2}=a
\dfrac{m_2
}{m_1+m_2
}$
836 \item excentricité, on vérifie facilement qu'elle est inchangée : $
\mathrm{e_1
}=
\dfrac{r_
{A_1
}-r_
{P_1
}}{r_
{A_1
}+r_
{P_1
}}=
\mathrm{e
}$
840 \item Paramètre : $p_2=p
\dfrac{m_1
}{m_1+m_2
}$.
841 \item rayon-vecteur à l'apogée : $r_
{A_2
}=r_A
\dfrac{m_1
}{m_1+m_2
}$
842 \item rayon-vecteur au périgée : $r_
{P_2
}=r_P
\dfrac{m_1
}{m_1+m_2
}$
843 \item demi-grand axe : $a_1=
\dfrac{r_
{A_2
}+r_
{P_2
}}{2}=
\dfrac{m_1
}{m_1+m_2
}\dfrac{r_
{A
}+r_
{P
}}{2}=a
\dfrac{m_1
}{m_1+m_2
}$
844 \item excentricité : $
\mathrm{e_2
}=
\dfrac{r_
{A_2
}-r_
{P_2
}}{r_
{A_2
}+r_
{P_2
}}=
\mathrm{e
}$
846 Leurs équations respectives s'écrivent :
848 r_1=
\dfrac{p_1
}{1+
\mathrm{e
}\cos(
\theta-
\varphi)
} \quad r_2=
\dfrac{p_2
}{1+
\mathrm{e
}\cos(
\theta-
\varphi)
}
850 Dans l'exemple suivant $\
{m_1=
3,m_2=
1\
}$. Les vitesses initiales dans $
\mathcal{R
}^*$ sont indiquées par une flèche. La trajectoire de $M_1$ est en bleu, celle de $M_2$ en rouge et celle du point fictif est en pointillés.
852 \begin{pspicture
}(-
8,-
10)(
3,
3)
853 \psgrid[subgriddiv=
0,gridcolor=lightgray,griddots=
10,gridlabels=
0pt
]
857 dup mul neg
1 add sqrt
873 /mu M1 M2 mul M1 M2 add div def
% masse réduite
875 /xG0 M1 x01 mul M2 x02 mul add M1 M2 add div def
876 /yG0 M1 y01 mul M2 y02 mul add M1 M2 add div def
877 /vG0x M1 v0x1 mul M2 v0x2 mul add M1 M2 add div def
878 /vG0y M1 v0y1 mul M2 v0y2 mul add M1 M2 add div def
879 /K1 M2 Mt div neg def
881 % conditions initiales pour le point réduit
884 /theta_0 yr0 xr0 atan def
885 /r0 xr0 dup mul yr0 dup mul add sqrt def
886 /v0xr v0x2 v0x1 sub def
887 /v0yr v0y2 v0y1 sub def
888 /v0r_2 v0xr dup mul v0yr dup mul add def
889 % constante des aires
890 /Cste xr0 v0yr mul yr0 v0xr mul sub def
% Cste des aires
891 /Energie
0.5 mu mul v0r_2 mul
% 1/2 mv^2
892 G M1 M2 mul mul r0 div sub
894 /par Cste dup mul K div def
% p
895 /exc
2 Cste dup mul mul Energie mul mu div K dup mul div
1 add sqrt def
% e
896 /a_2 par
1 exc dup mul sub div def
% demi-grand axe
897 /b_2 a_2
1 exc dup mul sub sqrt mul def
% demi-petit axe
898 /c_2 a_2 exc mul def
% distance focale
900 /Phi theta_0 par r0 div
1 sub exc div arccos sub def
901 /rP par
1 exc add div def
902 /rA par
1 exc sub div def
903 % vitesses à l'apogée et au périgée
904 /vA G Mt mul
2 rA div
1 a_2 div sub mul sqrt def
905 /vP G Mt mul
2 rP div
1 a_2 div sub mul sqrt def
906 % positions du périgée et de l'apogée
907 /xP rP Phi cos mul def
908 /yP rP Phi sin mul def
909 /xA rA Phi cos mul neg def
910 /yA rA Phi sin mul neg def
911 /xW xA xP add
2 div def
912 /yW yA yP add
2 div def
914 /periode
6.28 a_2
3 exp G div Mt div sqrt mul def
915 /radius
{par
1 exc t Phi sub cos mul add div
} def
916 /xE
{radius t cos mul
} def
917 /yE
{radius t sin mul
}def
919 \parametricplot[plotpoints=
360,linestyle=dotted
]{0}{360}{xE yE
}%
920 \parametricplot[plotpoints=
360,linecolor=blue
]{0}{360}{xE K1 mul yE K1 mul
}%
921 \parametricplot[plotpoints=
360,linecolor=red
]{0}{360}{xE K2 mul yE K2 mul
}%
922 \uput[l
](
0,
2.8)
{$
\mathcal{R^*
}$
}
923 \uput[r
](
0,
2.8)
{$y^*$
}
927 \psline[style=vecteurA
]{<->
}(
3,
0)(
0,
0)(
0,
3)
928 \pnode(!xr0 yr0)
{M0
}\psdot(M0)
929 \rput(M0)
{\psline[unit=
2,style=vecteurA
]{->
}(!v0xr v0yr)
\uput[l
](
0,
0)
{$M_0$
}\uput[l
](!v0xr
2 mul v0yr
2 mul)
{$
\overrightarrow{v
}_0$
}}
930 \pcline[offset=
0.25,linestyle=none
](M0)(
0,
0)
931 \ncput*
[nrot=:U
]{$r_0$
}
932 \psarcn[style=vecteurB
]{->
}(
0,
0)
{0.75}{0}{!theta_0
}
933 \uput{0.75}[!theta_0
2 div
180 add
](
0,
0)
{$
\theta_0$
}
934 \pnode(!rA Phi cos mul neg rA Phi sin mul neg)
{A
}
935 \psline[linestyle=dotted
](A)
937 \pnode(!rP Phi cos mul rP Phi sin mul)
{P
}
938 \psline[linestyle=dotted
](P)
940 %\rput(-2,0){\psPrintValue[decimals=4]{exc}}
941 \pnode(!xW yW)
{W
}\psdot(W)
\uput[r
](W)
{$
\Omega$
}
942 %\psline[linecolor=blue](W)(B2)
943 %\psline[linecolor=red](W)(A)
944 %\psline[linecolor=green](W)(0,0)
945 %\rput{! 180 Phi add}(W){\psdot(!c_2 0)}
946 %\psarc{->}(0,0){0.5}{0}{!Phi}\uput{0.55}[!Phi 2 div](0,0){$\varphi$}
947 %\rput{!Phi}(P){\pnode(! 0 vP){vP}\psline[style=vecteurA]{->}(vP)}
948 %\uput[r](vP){$\overrightarrow{v}_P$}
949 %\rput{!Phi}(A){\pnode(! 0 vA neg){vA}\psline[style=vecteurA]{->}(vA)}
950 %\uput[u](vA){$\overrightarrow{v}_A$}
951 \pnode(!x01 xG0 sub y01 yG0 sub)
{M01
}\psdot(M01)
\uput[r
](M01)
{$M_
{0_1
}$
}
952 \pnode(!x02 xG0 sub y02 yG0 sub)
{M02
}\psdot(M02)
\uput[dr
](M02)
{$M_
{0_2
}$
}
953 \psline[linestyle=dashed
](M0)(M02)(M01)
954 \rput(M01)
{\psline[unit=
2,linecolor=blue
]{->
}(!v0x1 vG0x sub v0y1 vG0y sub)
}
955 \rput(M02)
{\psline[unit=
2,linecolor=red
]{->
}(!v0x2 vG0x sub v0y2 vG0y sub)
}
958 \section{Exemples à développer, réalisés avec pst-eqdf
}
960 \mu\frac{\mathrm{d
}^
2\overrightarrow{r
}}{\mathrm{d
}t^
2}=-G
\frac{m_1m_2
}{r^
3}\overrightarrow{r
}
963 \frac{\mathrm{d
}^
2\overrightarrow{r
}}{\mathrm{d
}t^
2}=-G
\frac{(m_1+m_2)
}{r^
3}\overrightarrow{r
}
969 \ddot{x
}=-G
\displaystyle\frac{m_1+m_2
}{r^
3}x\\
[1em
]
970 \ddot{y
}=-G
\displaystyle\frac{m_1+m_2
}{r^
3}y
975 % y[0] y[1] y[2] y[3]
978 -(M1+M2)*y
[0]/(y
[0]^
2+y
[1]^
2)^
1.5|
%
979 -(M1+M2)*y
[1]/(y
[0]^
2+y
[1]^
2)^
1.5}
981 \begin{pspicture
}(-
7,-
4)(
7,
8)
993 /mu M1 M2 mul M1 M2 add div def
% masse réduite
994 /xG M1 x01 mul M2 x02 mul add M1 M2 add div def
995 /yG M1 y01 mul M2 y02 mul add M1 M2 add div def
998 /v0x v0x1 v0x2 sub def
999 /v0y v0y1 v0y2 sub def
1002 %% x1 y1 x'1 y'1 x2 y2 x'2 y'2
1003 \def\InitCondred{ x0 y0 v0x v0y
}
1004 \def\InitCond{ x01 y01 v0x1 v0y1 x02 y02 v0x2 v0y2
}
1006 \psgrid[subgriddiv=
0,gridcolor=lightgray,griddots=
10,gridlabels=
8pt
]%
1007 \psequadiff[whichabs=
0,whichord=
1,
1008 plotpoints=
1000,algebraic,
1009 tabname=X1Y1
]{0}{50}{\InitCond}{\GravAlg}
1010 \listplot[unit=
1,linecolor=red
]{X1Y1 aload pop
}
1011 \psequadiff[whichabs=
4,whichord=
5,
1012 plotpoints=
1000,algebraic,
1013 tabname=X2Y2
]{0}{50}{\InitCond}{\GravAlg}
1014 \listplot[unit=
1,linecolor=blue
]{X2Y2 aload pop
}
1015 \psequadiff[whichabs=
0,whichord=
1,
1016 plotpoints=
1000,algebraic,
1017 tabname=XrYr
]{0}{50}{\InitCondred}{\FictifAlg}
1018 \listplot[unit=
1,linecolor=green
]{XrYr aload pop
}
1019 \psdots(!x01 y01)(!x02 y02)
1020 \psdot[linecolor=red
](!xG yG)
1021 \psline{<->
}(
7,
0)(
0,
0)(
0,
8)
1027 % y[0] y[1] y[2] y[3]
1030 -(M1+M2)*y
[0]/(y
[0]^
2+y
[1]^
2)^
1.5|
%
1031 -(M1+M2)*y
[1]/(y
[0]^
2+y
[1]^
2)^
1.5}
1032 % on se place au centre de masse
1033 \def\GravAlgIIcorps{%
1035 M2*(y
[4]-y
[0])/((y
[4]-y
[0])^
2+(y
[5]-y
[1])^
2)^
1.5|
%
1036 M2*(y
[5]-y
[1])/((y
[4]-y
[0])^
2+(y
[5]-y
[1])^
2)^
1.5|
%
1038 M1*(y
[0]-y
[4])/((y
[4]-y
[0])^
2+(y
[5]-y
[1])^
2)^
1.5|
%
1039 M1*(y
[1]-y
[5])/((y
[4]-y
[0])^
2+(y
[5]-y
[1])^
2)^
1.5}
1041 %% x1 y1 x'1 y'1 x2 y2 x'2 y'2
1044 \def\InitCondred{ xr0 yr0 v0xr v0yr
}
1045 \begin{pspicture
}(-
7,-
4)(
7,
8)
1058 /mu M1 M2 mul M1 M2 add div def
% masse réduite
1059 /xG M1 x01 mul M2 x02 mul add M1 M2 add div def
1060 /yG M1 y01 mul M2 y02 mul add M1 M2 add div def
1063 /v0x v0x1 v0x2 sub def
1064 /v0y v0y1 v0y2 sub def
1065 /mu M1 M2 mul M1 M2 add div def
% masse réduite
1066 /xG M1 x01 mul M2 x02 mul add M1 M2 add div def
1067 /yG M1 y01 mul M2 y02 mul add M1 M2 add div def
1068 /vxG M1 v0x1 mul M2 v0x2 mul add M1 M2 add div def
1069 /vyG M1 v0y1 mul M2 v0y2 mul add M1 M2 add div def
1070 % conditions initiales pour le point réduit
1071 /xr0 x01 x02 sub def
1072 /yr0 y01 y02 sub def
1073 /r0 xr0 dup mul yr0 dup mul add sqrt def
1074 /v0xr v0x1 v0x2 sub def
1075 /v0yr v0y1 v0y2 sub def
1076 /Lc xr0 v0yr mul yr0 v0xr mul sub mu mul def
% moment cinetique
1077 /K xr0 v0yr mul yr0 v0xr mul sub def
1078 /Energie
0.5 mu mul v0xr dup mul v0yr dup mul add mul
% 1/2 mv^2
1079 % Lc dup mul 2 div mu div r0 dup mul div
1080 G M1 M2 mul mul r0 div sub
1082 % /par xr0 v0yr mul yr0 v0xr mul sub dup mul G Mt mul div def % paramètre de l'ellipse
1084 % /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe
1085 /a_2 G M1 M2 add mul mu mul Energie div
2 div neg def
%
1087 /exc
1 K
2 exp a_2 G mul Mt mul div sub sqrt def
1089 % /par2 a_2 1 exc dup mul sub mul def
1091 /periode
6.28 a_2
3 exp G div Mt div sqrt mul def
1094 %% x1 y1 x'1 y'1 x2 y2 x'2 y'2
1095 \def\InitCondred{ x0 y0 v0x v0y
}
1096 \def\InitCond{ x01 y01 v0x1 v0y1 x02 y02 v0x2 v0y2
}
1098 \psgrid[subgriddiv=
0,gridcolor=lightgray,griddots=
10,gridlabels=
8pt
]%
1099 \psequadiff[whichabs=
0,whichord=
1,
1100 plotpoints=
1000,algebraic,
1101 tabname=X1Y1
]{0}{100}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}
1102 \listplot[unit=
1,linecolor=red
]{X1Y1 aload pop
}
1103 \psequadiff[whichabs=
4,whichord=
5,
1104 plotpoints=
1000,algebraic,
1105 tabname=X2Y2
]{0}{100}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}
1106 \listplot[unit=
1,linecolor=blue
]{X2Y2 aload pop
}
1107 % mouvement de M2 par rapport à M1
1108 \psequadiff[plotpoints=
1000,algebraic,
1109 plotfuncx=y dup
4 get exch
0 get sub ,
1110 plotfuncy=dup
5 get exch
1 get sub,
1111 tabname=XY1
]{0}{22.7}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}
1112 \listplot[unit=
1,linecolor=green
]{XY1 aload pop
}
1113 % mouvement de M1 par rapport à M2
1114 \psequadiff[plotpoints=
1000,algebraic,
1115 plotfuncx=y dup
0 get exch
4 get sub ,
1116 plotfuncy=dup
1 get exch
5 get sub,
1117 tabname=XY2
]{0}{22.7}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}
1118 \listplot[unit=
1,linecolor=magenta
]{XY2 aload pop
}
1119 % mouvement de M1 par rapport à G
1120 %\psequadiff[plotpoints=1000,algebraic,
1123 % y 0 get M1 mul add
1128 % y 5 get M2 mul add
1130 % tabname=XY3]{0}{22.7}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}
1131 %\listplot[unit=1]{XY3 aload pop}
1132 % mouvement de M2 par rapport à G
1133 %\psequadiff[plotpoints=1000,algebraic,
1136 % y 0 get M1 mul add
1140 % y 5 get M2 mul add
1142 % tabname=XY4]{0}{22.7}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}
1143 %\listplot[unit=1,linecolor=red]{XY4 aload pop}
1145 \psequadiff[plotpoints=
1000,algebraic,
1146 plotfuncx=y dup
0 get M1 mul exch
1149 plotfuncy=dup
1 get M1 mul exch
1152 tabname=XGYG
]{0}{100}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}
1153 \listplot[unit=
1,linecolor=cyan
]{XGYG aload pop
}
1154 \psdots(!x01 y01)(!x02 y02)
1155 \psdot[linecolor=red
](!xG yG)
1156 \psline{<->
}(
7,
0)(
0,
0)(
0,
8)
1157 \rput(-
2,
0)
{\psPrintValue[decimals=
4]{periode
}\hphantom{00000}s
}
1163 \def\InitCondred{ xr0 yr0 v0xr v0yr
}
1164 \begin{pspicture
}(-
7,-
6)(
7,
8)
1168 dup mul neg
1 add sqrt
1184 /mu M1 M2 mul M1 M2 add div def
% masse réduite
1185 /xG0 M1 x01 mul M2 x02 mul add M1 M2 add div def
1186 /yG0 M1 y01 mul M2 y02 mul add M1 M2 add div def
1189 /theta_0 y0 x0 atan def
1190 /v0x v0x1 v0x2 sub def
1191 /v0y v0y1 v0y2 sub def
1192 /mu M1 M2 mul M1 M2 add div def
% masse réduite
1193 /xG M1 x01 mul M2 x02 mul add M1 M2 add div def
1194 /yG M1 y01 mul M2 y02 mul add M1 M2 add div def
1195 /vxG M1 v0x1 mul M2 v0x2 mul add M1 M2 add div def
1196 /vyG M1 v0y1 mul M2 v0y2 mul add M1 M2 add div def
1197 % conditions initiales pour le point réduit
1198 /xr0 x01 x02 sub def
1199 /yr0 y01 y02 sub def
1200 /r0 xr0 dup mul yr0 dup mul add sqrt def
1201 /v0xr v0x1 v0x2 sub def
1202 /v0yr v0y1 v0y2 sub def
1203 /v0r_2 v0xr dup mul v0yr dup mul add def
1204 % v0r 2 Mt mul r0 div G mul ge { a faire} if
1205 /Lc xr0 v0yr mul yr0 v0xr mul sub mu mul def
% moment cinetique
1206 /K xr0 v0yr mul yr0 v0xr mul sub def
1207 /Energie
0.5 mu mul v0xr dup mul v0yr dup mul add mul
% 1/2 mv^2
1208 % Lc dup mul 2 div mu div r0 dup mul div
1209 G M1 M2 mul mul r0 div sub
1211 % /par xr0 v0yr mul yr0 v0xr mul sub dup mul G Mt mul div def % paramètre de l'ellipse
1213 % /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe
1214 /a_2 G M1 M2 add mul mu mul Energie div
2 div neg def
%
1216 /exc
1 K
2 exp a_2 G mul Mt mul div sub sqrt def
1218 /par2 a_2
1 exc dup mul sub mul def
1220 /periode
6.28 a_2
3 exp G div Mt div sqrt mul def
1222 /Phi theta_0 par2 r0 div
1 sub exc div arccos sub def
1225 %% x1 y1 x'1 y'1 x2 y2 x'2 y'2
1226 \def\InitCondred{ x0 y0 v0x v0y
}
1227 \def\InitCond{ x01 y01 v0x1 v0y1 x02 y02 v0x2 v0y2
}
1229 %\psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=8pt]%
1230 % mouvement de M1 par rapport à G
1231 \psequadiff[plotpoints=
1000,algebraic,
1241 tabname=XY3
]{0}{23.6}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}
1242 \listplot[unit=
1,linecolor=red
]{XY3 aload pop
}
1243 % mouvement de M2 par rapport à G
1244 \psequadiff[plotpoints=
1000,algebraic,
1253 tabname=XY4
]{0}{23.6}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}
1254 \listplot[unit=
1,linecolor=blue
]{XY4 aload pop
}
1255 \psline{<->
}(
7,
0)(
0,
0)(
0,
8)
1256 \rput(-
2,
2)
{\psPrintValue[decimals=
4]{periode
}\hphantom{0000000}s
}
1257 %\parametricplot[plotpoints=360,linestyle=dotted]{0}{360}{%
1258 % /radius par2 1 exc t theta_0 sub cos mul add div def
1260 % radius t sin mul}%
1261 \psdots(!x01 xG0 sub y01 yG0 sub)(!x02 xG0 sub y02 yG0 sub)
1262 \psline(!x01 xG0 sub y01 yG0 sub)(!x02 xG0 sub y02 yG0 sub)
1263 % mouvement de M (masse réduite) par rapport à G
1264 \psequadiff[plotpoints=
1000,algebraic,
1275 tabname=XYM
]{0}{23.6}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}%
1276 \listplot[unit=
1,linecolor=gray!
80,linewidth=
0.1]{XYM aload pop
}
1277 \rput(!x01 xG0 sub y01 yG0 sub)
{\psline[unit=
5,linecolor=red!
50]{->
}(!v0x1 vxG sub v0y1 vyG sub)
}
1278 \rput(!x02 xG0 sub y02 yG0 sub)
{\psline[unit=
5,linecolor=blue!
50]{->
}(!v0x2 vxG sub v0y2 vyG sub)
}
1280 \pstVerb{/xr0 x01 xG0 sub Mt mul M2 div neg def
1281 /yr0 y01 yG0 sub Mt mul M2 div neg def
}%
1282 \psdot[linecolor=gray
](!xr0 yr0)
1283 \psline(!x01 xG0 sub y01 yG0 sub)(!x02 xG0 sub y02 yG0 sub)(!xr0 yr0)
1285 \uput[r
](!x01 xG0 sub y01 yG0 sub)
{$M_1$
}
1286 \uput[dr
](!x02 xG0 sub y02 yG0 sub)
{$M_2$
}
1287 \uput[l
](!xr0 yr0)
{$M$
}
1288 \rput(!xG0 neg yG0 neg)
{\psline{<->
}(
7,
0)(
0,
0)(
0,
8)
\psgrid[subgriddiv=
0,gridcolor=lightgray,griddots=
10,gridlabels=
8pt
]}
1289 \parametricplot[plotpoints=
360,linecolor=white
]{0}{360}{
1290 /radius par2
1 exc t Phi sub cos mul add div def
1291 radius t cos mul neg
1292 radius t sin mul neg
}%