--- /dev/null
+\documentclass{article}\r
+\usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}\r
+\usepackage[latin1]{inputenc}\r
+\usepackage{pst-eqdf,pst-func}\r
+\usepackage{array,amsmath}\r
+\newpsstyle{vecteurA}{arrowinset=0.05,arrowsize=0.125,linecolor={[rgb]{1 0.5 0}}}\r
+\newpsstyle{vecteurB}{arrowinset=0.05,arrowsize=0.1,linecolor={[rgb]{0 0.5 1}}}\r
+\newpsstyle{vecteurC}{arrowinset=0.1,arrowsize=0.2,linecolor={[rgb]{1 0.5 0}}}\r
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%\r
+\title{L'hodographe du mouvement d'un satellite}\r
+\date{23 juin 2\,012}\r
+\begin{document}\r
+\maketitle\r
+\def\eqsatellite{%\r
+y[2]|y[3]|-GM*y[0]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)|-GM*y[1]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)}%\r
+On rappelle qu'en coordonnées polaires le vecteur-vitesse s'écrit :\r
+\[\r
+\overrightarrow{v}=\dot{r}\overrightarrow{u_r}+r\dot{\theta}\overrightarrow{u_{\theta}}\r
+\]\r
+\[\r
+\dot{\theta}=\frac{r_0v_0}{r^2}\r
+\]\r
+\[\r
+\dot{r}=-\frac{p(-\mathrm{e}\dot{\theta}\sin(\theta-\theta_0)}{(1+\mathrm{e}\cos(\theta-\theta_0))^2}=\frac{r_0v_0}{p}\mathrm{e}\sin(\theta-\theta_0)\r
+\]\r
+On peut exprimer $v$ uniquement en fonction de $\theta$ :\r
+\[\r
+\overrightarrow{v}=\frac{r_0v_0}{p}\mathrm{e}\sin(\theta-\theta_0)\overrightarrow{u_r}+\frac{r_0v_0}{p}\Big(1+\mathrm{e}\cos(\theta-\theta_0)\Big)\overrightarrow{u_\theta}\r
+\]\r
+Ses composantes dans la base $(\overrightarrow{u_r},u_\theta)$ sont :\r
+\[\r
+\left\{\r
+\begin{array}{rcl}\r
+v_r&=&\dfrac{r_0v_0}{p}\mathrm{e}\sin(\theta-\theta_0)\\[1em]\r
+v_\theta&=&\dfrac{r_0v_0}{p}\Big(1+\mathrm{e}\cos(\theta-\theta_0)\Big)\r
+\end{array}\r
+\right.\r
+\label{eqv1}\r
+\]\r
+On repasse aux coordonnées cartésiennes par une rotation d'angle $(-\theta)$.\r
+\[\r
+\left\{\r
+\begin{array}{rcl}\r
+\dot{x}&=&v_r\cos\theta-v_\theta\sin\theta\\[1em]\r
+\dot{y}&=&v_r\sin\theta+v_\theta\cos\theta\r
+\end{array}\r
+\right.\r
+\label{eqv2}\r
+\]\r
+\[\r
+\left\{\r
+\begin{array}{rcl}\r
+\dfrac{p}{r_0v_0}\dot{x}&=&\mathrm{e}\sin(\theta-\theta_0)\cos\theta-\Big(1+\mathrm{e}\cos(\theta-\theta_0)\Big)\sin\theta\\[1em]\r
+\dfrac{p}{r_0v_0}\dot{y}&=&\mathrm{e}\sin(\theta-\theta_0)\sin\theta+\Big(1+\mathrm{e}\cos(\theta-\theta_0)\Big)\cos\theta\r
+\end{array}\r
+\right.\r
+\label{eqv3}\r
+\]\r
+En utilisant les relations trigonométriques de soustraction :\r
+\[\r
+\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha-\beta)\qquad \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)\r
+\]\r
+On obtient :\r
+\[\r
+\left\{\r
+\begin{array}{rcl}\r
+\dfrac{p}{r_0v_0}\dot{x}&=&-\mathrm{e}\sin\theta_0-\sin\theta\\[1em]\r
+\dfrac{p}{r_0v_0}\dot{y}&=&\hphantom{-}\mathrm{e}\cos\theta_0+\cos\theta\r
+\end{array}\r
+\right.\r
+\label{eqv4}\r
+\]\r
+\[\r
+\left\{\r
+\begin{array}{rcl}\r
+\dot{x}+\dfrac{r_0v_0}{p}\mathrm{e}\sin\theta_0&=&-\dfrac{r_0v_0}{p}\sin\theta\\[1em]\r
+\dot{y}-\dfrac{r_0v_0}{p}\mathrm{e}\cos\theta_0&=&\dfrac{r_0v_0}{p}\cos\theta\r
+\end{array}\r
+\right.\r
+\label{eqv5}\r
+\]\r
+L'équation de l'hodographe :\r
+\[\r
+\left(\dot{x}+\dfrac{r_0v_0}{p}\mathrm{e}\sin\theta_0\right)^2+\left(\dot{y}-\dfrac{r_0v_0}{p}\mathrm{e}\cos\theta_0\right)^2=\left(\dfrac{r_0v_0}{p}\right)^2\r
+\]\r
+est celle d'un cercle centré en $\Big(\dfrac{r_0v_0}{p}\mathrm{e}\sin\theta_0,\dfrac{r_0v_0}{p}\mathrm{e}\cos\theta_0\Big)$, de rayon $R=\dfrac{r_0v_0}{p}$. Ce qu'on vérifie sur le graphe suivant : en rouge l'hodographe a été obtenu à partir de l'équation différentielle et en noir avec un trait plus fin par l'expression exacte de l'équation du cercle.\r
+\begin{center}\r
+\begin{pspicture}(-10,-2)(4,8)\r
+\psset{unit=2}%\r
+\uput[r](0,4){$y$}\uput[u](2,0){$x$}\r
+\pstVerb{/GM 1 def\r
+ /theta0 -35 def\r
+ /r0 1 def\r
+ /x0 r0 theta0 cos mul def\r
+ /y0 r0 theta0 sin mul def\r
+ /v0 1.3 def\r
+ /v0x v0 theta0 sin mul neg def\r
+ /v0y v0 theta0 cos mul def\r
+ /Lc r0 v0 mul def % moment cinetique\r
+ /par Lc dup mul GM div def % paramètre de l'ellipse\r
+% excentricité\r
+ /exc 1 0.5 v0 4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div 2 mul add sqrt def\r
+%%%%%%%%%%%%%%\r
+ /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe\r
+ /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe\r
+ /periode 2 3.1416 dup mul a_2 3 exp mul GM div sqrt mul def\r
+% rayon de l'hodographe\r
+ /rH r0 v0 mul par div def\r
+% les coordonnées du centre\r
+ /xCH rH exc mul theta0 sin mul neg def\r
+ /yCH rH exc mul theta0 cos mul def}%\r
+\psequadiff[method=rk4,\r
+ plotpoints=1000,\r
+ algebraic,\r
+ whichabs=0,\r
+ whichord=1,\r
+ tabname=XiYi,\r
+ saveData,filename=XiYi.dat]{0}{36.5}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%\r
+\listplot{XiYi aload pop}\r
+\psequadiff[method=rk4,\r
+ plotpoints=1000,\r
+ algebraic,\r
+ whichabs=2,\r
+ whichord=3,\r
+ tabname=vxvy,\r
+ saveData,filename=vxvy.dat]{0}{36.5}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%\r
+\listplot[unit=1,linecolor=red,linewidth=0.075]{vxvy aload pop}\r
+% on dessine la vitesse un point sur 50\r
+\multido{\i=0+50}{40}{%\r
+\pstVerb{ /vX vxvy \i\space get def\r
+ /vY vxvy \i\space 1 add get def\r
+ /xi XiYi \i\space get def\r
+ /yi XiYi \i\space 1 add get def}%\r
+\rput(!xi yi){\psline[unit=1,linecolor=blue]{->}(!vX vY)}}\r
+\pscircle[fillcolor=gray!70,fillstyle=solid](0,0){0.2}\r
+\psgrid[subgriddiv=2,gridcolor=lightgray,gridlabels=8pt](-5,-2)(2,4)\r
+\psline[arrowinset=0.05,arrowsize=0.1]{<->}(2,0)(0,0)(0,4)\r
+\pscircle(!xCH yCH){!rH}\r
+\psdot[dotstyle=+](!xCH yCH)\r
+\end{pspicture}\r
+\end{center}\r
+\newpage\r
+\begin{center}\r
+\begin{pspicture}(-10,-10)(6,6)\r
+\psset{unit=2}%\r
+\uput[r](0,3){$y$}\uput[u](3,0){$x$}\r
+\pstVerb{/GM 1 def\r
+ /theta0 30 def\r
+ /r0 2 def\r
+ /x0 r0 theta0 cos mul def\r
+ /y0 r0 theta0 sin mul def\r
+ /v0 0.85 def\r
+ /v0x v0 theta0 sin mul neg def\r
+ /v0y v0 theta0 cos mul def\r
+ /Lc r0 v0 mul def % moment cinetique\r
+ /par Lc dup mul GM div def % paramètre de l'ellipse\r
+% excentricité\r
+ /exc 1 0.5 v0 4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div 2 mul add sqrt def\r
+%%%%%%%%%%%%%%\r
+ /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe\r
+ /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe\r
+ /periode 2 3.1416 dup mul a_2 3 exp mul GM div sqrt mul def}%\r
+\rput(-2,0){T=\psPrintValue[decimals=2]{periode}\hphantom{00000}s}\r
+\psequadiff[method=rk4,\r
+ plotpoints=1000,\r
+ algebraic,\r
+ whichabs=0,\r
+ whichord=1,\r
+ tabname=XiYi,\r
+% saveData,filename=XiYi.dat\r
+]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%\r
+\listplot{XiYi aload pop}\r
+\psequadiff[method=rk4,\r
+ plotpoints=1000,\r
+ algebraic,\r
+ whichabs=2,\r
+ whichord=3,\r
+ tabname=vxvy,\r
+% saveData,filename=vxvy.dat\r
+]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%\r
+\listplot[unit=2,linecolor=red]{vxvy aload pop}\r
+% on dessine la vitesse un point sur 100\r
+\pscircle[fillcolor=gray!70,fillstyle=solid](0,0){0.3}\r
+\multido{\i=0+100}{20}{%\r
+\pstVerb{/vX vxvy \i\space get def\r
+ /vY vxvy \i\space 1 add get def\r
+ /xi XiYi \i\space get def\r
+ /yi XiYi \i\space 1 add get def}%\r
+\rput(!xi yi){\psline[style=vecteurA]{->}(! vX 2 mul vY 2 mul)}}\r
+\psgrid[subgriddiv=2,gridcolor=lightgray,gridlabels=8pt](-5,-5)(3,3)\r
+\psline[arrowinset=0.05,arrowsize=0.1]{<->}(3,0)(0,0)(0,3)\r
+\end{pspicture}\r
+\end{center}\r
+\end{document}\r
Projets / pst-eqdf.git / blobdiff
Les fichiers de Syracuse sont mis à
disposition (sauf mention contraire) selon les termes de la