--- /dev/null
+\r
+\documentclass{article}\r
+\usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}\r
+\usepackage[T1]{fontenc}\r
+\usepackage[latin1]{inputenc}%\r
+\usepackage[garamond]{mathdesign}\r
+\usepackage{pst-eqdf,pst-node,pst-tools}\r
+\usepackage{array,amsmath}\r
+\newpsstyle{vecteurA}{arrowinset=0.05,arrowsize=0.1,linecolor={[rgb]{1 0.5 0}}}\r
+\newpsstyle{vecteurB}{arrowinset=0.05,arrowsize=0.1,linecolor={[rgb]{0 0.5 1}}}\r
+\newpsstyle{vecteurC}{arrowinset=0.1,arrowsize=0.2,linecolor={[rgb]{1 0 0}}}\r
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%\r
+\title{Gravitation : le problème des deux corps avec PSTricks\\ partie 1}\r
+\date{3 juillet 2\,012}\r
+\begin{document}\r
+\maketitle\r
+\section{Présentation}\r
+ Cette première partie aborde uniquement le problème théorique et l'établissement des relations et formules indispensables à la réalisation des figures avec `PSTricks' et à l'animation avec le package `\textsf{animate}'. Elle pourra donc sembler superflue à tous ceux qui connaissent bien ce problème classique. De très bons livres traitent le \textit{problème des deux corps} de façon très claire comme celui de José-Philippe Pérez dans `\textit{Mécanique}' aux éditions Masson ou de façon très complète(et très claire aussi) comme celui publié par le \textsc{cnes} aux éditions \textsc{cepadues} : `\textit{Le mouvement du satellite}'.\r
+\r
+ La deuxième partie détaillera la procédure suivie pour réaliser les schémas et les animations. Toutefois, on peut, dès à présent, avoir accès au code des figures dans le fichier source de ce document.\r
+\section{Étude théorique}\r
+\newcommand\GravAlg{%\r
+ y[2]|y[3]|%\r
+ M1*(y[4]-y[0])/((y[4]-y[0])^2+(y[5]-y[1])^2)^1.5|%\r
+ M1*(y[5]-y[1])/((y[4]-y[0])^2+(y[5]-y[1])^2)^1.5|%\r
+ y[6]|y[7]|%\r
+ M2*(y[0]-y[4])/((y[4]-y[0])^2+(y[5]-y[1])^2)^1.5|%\r
+ M2*(y[1]-y[5])/((y[4]-y[0])^2+(y[5]-y[1])^2)^1.5}\r
+%% 0 1 2 3 4 5 6 7\r
+%% x1 y1 x'1 y'1 x2 y2 x'2 y'2\r
+On considère un système de deux corps en interaction gravitationnelle $M_1$ de masse $m_1$ et $M_2$ de masse $m_2$ dans le repère galiléen \textit{inertiel} $\mathcal{R}$. Ils sont supposés ponctuels.\r
+\begin{center}\r
+\begin{pspicture}(-3,-1)(5,6)\r
+\psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt]%\r
+\pstVerb{/x01 -2 def /y01 1 def\r
+ /x02 5 def /y02 4 def\r
+ /xr0 x02 x01 sub def\r
+ /yr0 y02 y01 sub def\r
+ /M1 3 def\r
+ /M2 1 def\r
+ /Mt M1 M2 add def\r
+ /xG0 x01 M1 mul x02 M2 mul add Mt div def\r
+ /yG0 y01 M1 mul y02 M2 mul add Mt div def}%\r
+\pnode(0,0){O}\r
+\pnode(!x01 y01){M1}\r
+\pnode(!x02 y02){M2}\r
+\pnode(!xG0 yG0){C}\r
+\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=red!50](M1){0.21}\r
+\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=blue!50](M2){0.07}\r
+\psdot(C)\r
+\psline[linestyle=dotted](M1)(M2)\r
+\psline[linestyle=dashed](M2)(O)(M1)\r
+\psline{<->}(5,0)(0,0)(0,6)\r
+\uput[dl](O){$O$}\r
+\uput[r](0,5.8){$y$}\r
+\uput[u](4.8,0){$x$}\r
+\uput[l](0,5.8){$\mathcal{R}$}\r
+\uput{0.22}[l](M1){$M_1$}\r
+\uput{0.1}[u](M2){$M_2$}\r
+\uput[u](C){$C$}\r
+\pcline[offset=5pt,linestyle=none](M1)(M2)\r
+\ncput*[nrot=:U]{$r$}\r
+\rput(M1){\psline[style=vecteurC]{->}(!xr0 5 div yr0 5 div)\uput[u](!xr0 10 div yr0 10 div){$\overrightarrow{F}_{2/1}$}}\r
+\rput(M2){\psline[style=vecteurC]{->}(!xr0 5 div neg yr0 5 div neg)\uput[u](!xr0 10 div neg yr0 10 div neg){$\overrightarrow{F}_{1/2}$}}\r
+\end{pspicture}\r
+\end{center}\r
+On note $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{M_1M_2}$. $M_2$ subit de la part de $M_1$ une force attractive $\overrightarrow{F}_{1/2}$ et réciproquement $M_1$ subit de la part de $M_2$ une force attractive $\overrightarrow{F}_{2/1}$ telles que :\r
+\[\r
+\overrightarrow{F}_{1/2}=-\mathcal{G}\frac{m_1m_2}{r^3}\overrightarrow{r}\quad \overrightarrow{F}_{2/1}=+\mathcal{G}\frac{m_1m_2}{r^3}\overrightarrow{r}\r
+\]\r
+Bien sûr : $\overrightarrow{F}_{1/2}+\overrightarrow{F}_{2/1}=\overrightarrow{0}$. Par conséquent, le centre de masse $C$ du système $\{M_1,M_2\}$ est, dans le repère $\mathcal{R}$, soit immobile, soit en mouvement de translation rectiligne uniforme suivant les conditions initiales.\r
+\r
+Dans $\mathcal{R}$ la position de $C$ est déterminée par la relation :\r
+\[\r
+\overrightarrow{OC}=\frac{m_1\overrightarrow{OM_1}+m_2\overrightarrow{OM_2}}{m_1+m_2}\r
+\]\r
+\begin{equation}\r
+\overrightarrow{v_{C/\mathcal{R}}}=\frac{m_1\overrightarrow{v_1}+m_2\overrightarrow{v_2}}{m_1+m_2}=\overrightarrow{v_0}\r
+\label{vc}\r
+\end{equation}\r
+$\overrightarrow{v_0}$ étant déterminé par les valeurs initiales de $\overrightarrow{v_1}$ et $\overrightarrow{v_2}$.\r
+L'étude peut donc se poursuivre dans le repère lié au centre de masse $\mathcal{R}^*$, lui-même galiléen.\r
+\r
+On pose : $\overrightarrow{r_1}=\overrightarrow{CM_1}$ et $\overrightarrow{r_2}=\overrightarrow{CM_2}$. On a toujours : $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{M_1M_2}=\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_1}$.\r
+\begin{center}\r
+\begin{pspicture}(-3.5,-1)(5.5,8.25)\r
+%\psframe(-3.5,-1)(5.5,9)\r
+\pstVerb{/x01 -2 def /y01 1 def\r
+ /x02 4 def /y02 5 def\r
+ /xr0 x02 x01 sub def\r
+ /yr0 y02 y01 sub def\r
+ /M1 3 def\r
+ /M2 1 def\r
+ /Mt M1 M2 add def\r
+ /xG0 x01 M1 mul x02 M2 mul add Mt div def\r
+ /yG0 y01 M1 mul y02 M2 mul add Mt div def}%\r
+\pnode(0,0){O}\r
+\pnode(!x01 y01){M1}\r
+\pnode(!x02 y02){M2}\r
+\pnode(!xG0 yG0){C}\r
+\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=red!50](M1){0.21}\r
+\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=blue!50](M2){0.07}\r
+\psdot(C)\r
+\psline[linestyle=dotted](M1)(M2)\r
+\psline[linestyle=dashed](M2)(O)(M1)\r
+\psline[linecolor=gray]{<->}(5,0)(0,0)(0,6)\r
+\rput(C){\psline[style=vecteurA]{<->}(5.5,0)(0,0)(0,6)%\r
+ \uput[l](0,5.8){$\mathcal{R^*}$}\r
+ \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt](-3,-3)(6,6)%\r
+ \uput[r](0,5.8){$y^*$}\r
+ \uput[u](5.5,0){$x^*$}}\r
+\uput[dl](O){$O$}\r
+\uput[r](0,5.8){$y$}\r
+\uput[u](4.8,0){$x$}\r
+\uput[l](0,5.8){$\mathcal{R}$}\r
+\uput{0.22}[l](M1){$M_1$}\r
+\uput{0.1}[u](M2){$M_2$}\r
+\uput[ul](C){$C$}\r
+\pcline[offset=5pt,linestyle=none](M1)(M2)\r
+\ncput*[nrot=:U]{$r$}\r
+\rput(M1){\psline[style=vecteurC]{->}(!xr0 5 div yr0 5 div)\uput[u](!xr0 10 div yr0 10 div){$\overrightarrow{F}_{2/1}$}}\r
+\rput(M2){\psline[style=vecteurC]{->}(!xr0 5 div neg yr0 5 div neg)\uput[u](!xr0 10 div neg yr0 10 div neg){$\overrightarrow{F}_{1/2}$}}\r
+\end{pspicture}\r
+\end{center}\r
+\r
+Dans le repère $\mathcal{R}^*$, la quantité de mouvement du système $\{M_1,M_2\}$ est nulle : $\overrightarrow{p}^*=(m_1+m_2)\overrightarrow{v}_C^*=\overrightarrow{0}$.\r
+Pour chacun des deux corps, la quantité de mouvement dans $\mathcal{R}^*$ est :\r
+\[\r
+\overrightarrow{p}_1^*=m_1\overrightarrow{v}_1^*=m_1(\overrightarrow{v}_{1/\mathcal{R}}-\overrightarrow{v}_{C/\mathcal{R}})=-\overrightarrow{p}^*_2\r
+\]\r
+D'après (\ref{vc}) qui donne $\overrightarrow{v}_{C/\mathcal{R}}$, on obtient :\r
+\[\r
+\overrightarrow{p}_1^*=m_1\left(\overrightarrow{v}_{1/\mathcal{R}}-\frac{m_1\overrightarrow{v}_{1/\mathcal{R}}+m_2\overrightarrow{v}_{2/\mathcal{R}}}{m_1+m_2}\right)=%\r
+ \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}(\overrightarrow{v}_{1/\mathcal{R}}-\overrightarrow{v}_{2/\mathcal{R}})=-\overrightarrow{p}^*_2\r
+\]\r
+Puisque, on a défini $\overrightarrow{r}$ par $\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_1}$, en posant $\mu\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ :\r
+\[\r
+\overrightarrow{p}^*_1=-\mu\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t}\qquad \overrightarrow{p}^*_2=\mu\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t}\r
+\]\r
+La quantité de mouvement de $M_2$ est identique à celle d'une particule fictive de masse $\mu$, appelée \textit{masse réduite}, et de vitesse $\overrightarrow{v}_{2/\mathcal{R}}-\overrightarrow{v}_{1/\mathcal{R}}$ : vitesse relative de $M_2$ par rapport à $M_1$, idem pour $M_1$.\r
+\r
+On considère cette particule fictive de masse $\mu$ située au point $M$ tel que : $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{r}$.\r
+\r
+La relation fondamentale de la dynamique appliquée à chacun des deux corps donne :\r
+\[\r
+\left\{\r
+\begin{array}[m]{l}\r
+ \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{p}^*_1}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{F}_{2/1}\\[1em]\r
+\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{p}^*_2}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{F}_{1/2}\r
+\end{array}\r
+\right.\r
+\]\r
+En remplaçant $\overrightarrow{p}^*_1$ (ou $\overrightarrow{p}^*_2$) par son expression en fonction de $\mu$, on a :\r
+\begin{equation}\r
+ \mu\dfrac{\mathrm{d}^2\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t^2}=\overrightarrow{F}_{1/2}=-\mathcal{G}\frac{m_1m_2}{r^3}\overrightarrow{r}\r
+\label{RFD}\r
+\end{equation}\r
+Nous désignons cette force par $\overrightarrow{F}$. Remarquons qu'elle peut s'écrire, en notant la masse totale $(m_1+m_2)$ du système $\{M_1,M_2\}$ par $m_t$~:\r
+\begin{equation}\r
+\overrightarrow{F}=-\mathcal{G}\frac{\mu m_t}{r^3}\overrightarrow{r}\r
+\label{RF}\r
+\end{equation}\r
+En conclusion, cette particule fictive $M$, de masse $\mu$ positionnée en $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{r}$ est attirée par un corps fictif de masse égale à la masse totale du système $(m_1+m_2)$, placé en $C$. Sa position et sa vitesse initiales sont déterminées par les positions et vitesses initiales de $M_1$ et $M_2$.\r
+\[\r
+\overrightarrow{r}_0=\overrightarrow{r}_{2_0}-\overrightarrow{r}_{1_0} \quad \mbox{et} \quad \overrightarrow{v}^*_0=\overrightarrow{v}_{0/R}=\overrightarrow{v}_{2_0}^*-\overrightarrow{v}_{1_0}^*=\r
+\overrightarrow{v}_{{0_2}/R}-\overrightarrow{v}_{{0_1}/R}\r
+\]\r
+Si nous connaissons le mouvement de $M$ nous pourrons en déduire les mouvements respectifs de $M_1$ et $M_2$, puisque d'après la définition du centre de masse :\r
+\begin{equation}\r
+\overrightarrow{r_1}=-\frac{m_2}{m_1+m_2}\overrightarrow{r}\quad\mbox{et}\quad \overrightarrow{r_2}=\frac{m_1}{m_1+m_2}\overrightarrow{r}\r
+\label{r1r2}\r
+\end{equation}\r
+Les trajectoires de $M_1$ et $M_2$ se déduiront de celle de $M$ par une homothétie de centre C.\r
+\begin{center}\r
+\begin{pspicture}(-3.5,-1)(6.5,8.25)\r
+%\psframe(-3.5,-1)(5.5,9)\r
+\pstVerb{/x01 -2 def /y01 1 def\r
+ /x02 4 def /y02 5 def\r
+ /xr0 x02 x01 sub def\r
+ /yr0 y02 y01 sub def\r
+ /M1 3 def\r
+ /M2 1 def\r
+ /Mt M1 M2 add def\r
+ /xG0 x01 M1 mul x02 M2 mul add Mt div def\r
+ /yG0 y01 M1 mul y02 M2 mul add Mt div def}%\r
+\pnode(0,0){O}\r
+\pnode(!x01 y01){M1}\r
+\pnode(!x02 y02){M2}\r
+\pnode(!xG0 yG0){C}\r
+\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=red!50](M1){0.21}\r
+\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=blue!50](M2){0.07}\r
+\pscircle[hatchcolor=gray,fillstyle=vlines,hatchwidth=0.02,hatchsep=0.05](C){0.25}\r
+\psdot(C)\r
+\psline[linestyle=dotted](M1)(M2)\r
+\psline[linestyle=dashed](M2)(O)(M1)\r
+\psline[linecolor=gray]{<->}(5,0)(0,0)(0,6)\r
+\rput(C){\psline[style=vecteurA]{<->}(5.5,0)(0,0)(0,6)%\r
+ \uput[l](0,5.8){$\mathcal{R^*}$}\r
+ \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt](-3,-3)(7,6)%\r
+ \uput[r](0,5.8){$y^*$}\r
+ \uput[u](5.5,0){$x^*$}\r
+ \pnode(!xr0 yr0){M}\r
+ \pscircle*(M){0.05}\r
+ \pcline[offset=0.3,linewidth=0.01,arrowsize=0.1]{|->}(0,0)(M)\r
+ \ncput*[nrot=:U]{$\overrightarrow{r}$}\r
+ \psline[linestyle=dotted](M)\uput[r](M){$M(\mu)$}\r
+ \rput(M){\psline[style=vecteurC]{->}(!xr0 5 div neg yr0 5 div neg)\uput[dr](!xr0 10 div neg yr0 10 div neg){$\overrightarrow{F}_{1/2}$}}}\r
+\uput[dl](O){$O$}\r
+\uput[r](0,5.8){$y$}\r
+\uput[u](4.8,0){$x$}\r
+\uput[l](0,5.8){$\mathcal{R}$}\r
+\uput{0.22}[l](M1){$M_1$}\r
+\uput{0.1}[dr](M2){$M_2$}\r
+\uput{0.3}[d](C){$C$}\r
+%\pcline[offset=10pt,linestyle=none](M1)(M2)\r
+%\ncput*[nrot=:U]{$r$}\r
+%\rput(M1){\psline[style=vecteurC]{->}(!xr0 5 div yr0 5 div)\uput[u](!xr0 10 div yr0 10 div){$\overrightarrow{F}_{2/1}$}}\r
+%\rput(M2){\psline[style=vecteurC]{->}(!xr0 5 div neg yr0 5 div neg)\uput[u](!xr0 10 div neg yr0 10 div neg){$\overrightarrow{F}_{1/2}$}}\r
+\end{pspicture}\r
+\end{center}\r
+Pour étudier, dans $\mathcal{R}^*$, le mouvement de ce point matériel fictif $M$ de masse $(\mu)$ soumis à la force centrale $\overrightarrow{F}$, il est avantageux de passer en coordonnées polaires.\r
+\begin{center}\r
+\begin{pspicture}(-3.5,-1)(6.5,8.25)\r
+%\psframe(-3.5,-1)(5.5,9)\r
+\pstVerb{/x01 -2 def /y01 1 def\r
+ /x02 4 def /y02 5 def\r
+ /xr0 x02 x01 sub def\r
+ /yr0 y02 y01 sub def\r
+ /theta_0 yr0 xr0 atan def\r
+ /M1 3 def\r
+ /M2 1 def\r
+ /Mt M1 M2 add def\r
+ /xG0 x01 M1 mul x02 M2 mul add Mt div def\r
+ /yG0 y01 M1 mul y02 M2 mul add Mt div def}%\r
+\pnode(0,0){O}\r
+\pnode(!x01 y01){M1}\r
+\pnode(!x02 y02){M2}\r
+\pnode(!xG0 yG0){C}\r
+\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=red!50](M1){0.21}\r
+\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=blue!50](M2){0.07}\r
+\pscircle[hatchcolor=gray,fillstyle=vlines,hatchwidth=0.02,hatchsep=0.05](C){0.25}\r
+\psdot(C)\r
+\psline[linestyle=dotted](M1)(M2)\r
+\psline[linestyle=dashed](M2)(O)(M1)\r
+\psline[linecolor=gray]{<->}(5,0)(0,0)(0,6)\r
+\rput(C){\psline[style=vecteurA]{<->}(5.5,0)(0,0)(0,6)%\r
+ \uput[l](0,5.8){$\mathcal{R^*}$}\r
+ \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt](-3,-3)(7,6)%\r
+ \uput[r](0,5.8){$y^*$}\r
+ \uput[u](5.5,0){$x^*$}\r
+ \pnode(!xr0 yr0){M}\r
+ \pscircle*(M){0.05}\r
+ \pcline[offset=0.3,linewidth=0.01,arrowsize=0.1]{|->}(0,0)(M)\r
+ \ncput*[nrot=:U]{$\overrightarrow{r}$}\r
+ \psline[linestyle=dotted](M)\uput[r](M){$M(\mu)$}\r
+ \rput(M){\psline[style=vecteurC]{->}(!xr0 5 div neg yr0 5 div neg)\uput[dr](!xr0 10 div neg yr0 10 div neg){$\overrightarrow{F}$}}}\r
+\uput[dl](O){$O$}\r
+\uput[r](0,5.8){$y$}\r
+\uput[u](4.8,0){$x$}\r
+\uput[l](0,5.8){$\mathcal{R}$}\r
+\uput{0.22}[l](M1){$M_1$}\r
+\uput{0.1}[dr](M2){$M_2$}\r
+\uput{0.3}[d](C){$C$}\r
+\rput(C){\psline[arrowinset=0.1,arrowsize=0.15]{->}(!theta_0 90 add cos theta_0 90 add sin)\r
+ \psline[arrowinset=0.1,arrowsize=0.15]{->}(!theta_0 cos theta_0 sin)\r
+ \uput{.1}[u](!theta_0 90 add cos theta_0 90 add sin){$\overrightarrow{u}_\theta$}\r
+ \uput[d](!theta_0 cos theta_0 sin){$\overrightarrow{u}_r$}\r
+ \psarc{->}(0,0){1.5}{0}{!theta_0}\r
+ \uput{1.6}[!theta_0 2 div](0,0){$\theta$}}\r
+\end{pspicture}\r
+\end{center}\r
+Pour la suite, retenons que dans $\mathcal{R}*$ :\r
+\[\r
+\overrightarrow{u}_r=\r
+\left|\r
+\begin{array}[m]{l}\r
+\cos\theta\\\r
+\sin\theta\r
+\end{array}\r
+\right.\r
+\quad\r
+\overrightarrow{u}_\theta=\r
+\left|\r
+\begin{array}[m]{l}\r
+-\sin\theta\\\r
+\cos\theta\r
+\end{array}\r
+\right.\r
+\]\r
+\[\r
+\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{u}_r}{\mathrm{d}t}%=\r
+%\left|\r
+%\begin{array}[m]{l}\r
+%-\dot{\theta}\sin\theta\\\r
+%\dot{\theta}\cos\theta\r
+%\end{array}\r
+%\right.\r
+=\dot{\theta}\overrightarrow{u}_\theta\r
+\quad\r
+\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{u}_\theta}{\mathrm{d}t}=\r
+%\left|\r
+%\begin{array}[m]{l}\r
+%-\dot{\theta}\cos\theta\\\r
+%-\dot{\theta}\sin\theta\r
+%\end{array}\r
+%\right.\r
+-\dot{\theta}\overrightarrow{u}_r\r
+\]\r
+Dans ce repère, la position de $M$ et sa vitesse ont pour expressions respectives :\r
+\[\r
+\overrightarrow{r}=r \overrightarrow{u}_r\quad ;\quad \overrightarrow{v}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\overrightarrow{u}_r + r\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{u}_r}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\overrightarrow{u}_r + r\dot{\theta}\overrightarrow{u}_\theta\r
+\]\r
+l'accélération s'écrit :\r
+\[\r
+\overrightarrow{\gamma}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}=\ddot{r}\overrightarrow{u}_r +\r
+ \dot{r}\dot{\theta}\overrightarrow{u}_\theta+\r
+ \dot{r}\dot{\theta}\overrightarrow{u}_\theta +\r
+ r\ddot{\theta}\overrightarrow{u}_\theta -r\dot{\theta}^2\overrightarrow{u}_r\r
+\]\r
+\[\r
+=(\ddot{r} -r\dot{\theta}^2)\overrightarrow{u}_r +\r
+ (2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\overrightarrow{u}_\theta\r
+\]\r
+En résumé :\r
+\[\r
+\overrightarrow{v}=\r
+\left|\r
+\begin{array}{l}\r
+\dot{r}\\\r
+r\dot{\theta}\r
+\end{array}\r
+\right.\r
+\quad \quad\r
+\overrightarrow{\gamma}=\r
+\left|\r
+\begin{array}{l}\r
+\ddot{r} -r\dot{\theta}^2\\\r
+\dfrac{1}{r}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(r^2\dot{\theta})\r
+\end{array}\r
+\right.\r
+\]\r
+L'équation (\ref{RFD}) nous donne, en divisant par $\mu$, l'accélération :\r
+\[\r
+ \dfrac{\mathrm{d}^2\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t^2}=-\mathcal{G}\frac{m_t}{r^2}\overrightarrow{u}_r\r
+\]\r
+Et puisque l'accélération radiale est nulle :\r
+\[\r
+\dfrac{1}{r}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(r^2\dot{\theta})=0\r
+\]\r
+D'où :\r
+\[\r
+r^2\dot{\theta}=\mathrm{C^{ste}}\r
+\]\r
+Il est intéressant ici de calculer le moment cinétique de $M$ et d'exprimer la loi des aires.\r
+\r
+Le moment cinétique :\r
+\[\r
+\overrightarrow{\sigma}=\overrightarrow{r} \wedge \mu\overrightarrow{v}\r
+\]\r
+$\overrightarrow{F}$ étant dirigée vers $C$, son moment par rapport à $C$ est nul. Le moment cinétique est donc constant. Il en découle que le mouvement est plan, puisque le vecteur-position $\overrightarrow{r}$ reste toujours perpendiculaire à un vecteur constant. Ce plan est le plan perpendiculaire à $\sigma_0$ contenant $C$.\r
+\r
+On peut calculer le moment cinétique $\overrightarrow{\sigma}$, à partir des coordonnées polaires :\r
+\[\r
+\overrightarrow{\sigma}=\mu\r
+\left|\r
+\begin{array}{l}\r
+r\\\r
+0\\\r
+0\r
+\end{array}\r
+\right.\r
+\wedge\r
+\left|\r
+\begin{array}{l}\r
+\dot{r}\\\r
+r\dot{\theta}\\\r
+0\r
+\end{array}\r
+\right.\r
+=\r
+\left|\r
+\begin{array}{l}\r
+0\\\r
+0\\\r
+r^2\dot{\theta}\r
+\end{array}\r
+\right.\r
+=\mu r^2\dot{\theta}\overrightarrow{u}_z\r
+\]\r
+La constante des aires(voir plus loin pourquoi elle s'appelle ainsi) est $\mathrm{C}=\dfrac{\sigma}{\mu}=r^2\dot{\theta}$, c'est aussi la valeur du moment cinétique par unité de masse.\r
+\r
+On peut aussi calculer le moment cinétique en coordonnées cartésiennes. Les conditions initiales étant fixées, $\overrightarrow{v}_0$ est donné par ses coordonnées, ainsi que $\overrightarrow{r}_0$.\r
+\[\r
+\overrightarrow{\sigma}=\mu\r
+\left|\r
+\begin{array}{l}\r
+x_0\\\r
+y_0\\\r
+0\r
+\end{array}\r
+\right.\r
+\wedge\r
+\left|\r
+\begin{array}{l}\r
+v_{x_0}\\\r
+v_{y_0}\\\r
+0\r
+\end{array}\r
+\right.\r
+=\r
+\left|\r
+\begin{array}{l}\r
+0\\\r
+0\\\r
+x_0 v_{y_0} - y_0 v_{x_0}\r
+\end{array}\r
+\right.\r
+=\mu(x_0 v_{y_0} - y_0 v_{x_0})\overrightarrow{u}_z\r
+\]\r
+Les livres d'astronomie\footnote{page 43 dans \textit{Le mouvement du satellite} : conférences et exercices de mécanique spatiale. Cepadues-éditions 1983.} préfèrent définir la vitesse par un autre paramètre $\gamma$, \textit{angle de l'horizontale locale }$\overrightarrow{u}_z\wedge \overrightarrow{u}_r$ (c'est-à-dire $\overrightarrow{u}_\theta$) \textit{avec la vitesse}, en se plaçant toujours en coordonnées polaires.\r
+\begin{center}\r
+\begin{pspicture}(-3.5,-1)(6.5,8.25)\r
+%\psframe(-3.5,-1)(5.5,9)\r
+\pstVerb{/x01 -2 def /y01 1 def\r
+ /x02 4 def /y02 5 def\r
+ /xr0 x02 x01 sub def\r
+ /yr0 y02 y01 sub def\r
+ /theta_0 yr0 xr0 atan def\r
+ /M1 3 def\r
+ /M2 1 def\r
+ /Mt M1 M2 add def\r
+ /xG0 x01 M1 mul x02 M2 mul add Mt div def\r
+ /yG0 y01 M1 mul y02 M2 mul add Mt div def}%\r
+\pnode(0,0){O}\r
+\pnode(!x01 y01){M1}\r
+\pnode(!x02 y02){M2}\r
+\pnode(!xG0 yG0){C}\r
+%\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=red!50](M1){0.21}\r
+%\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=blue!50](M2){0.07}\r
+\pscircle[hatchcolor=gray,fillstyle=vlines,hatchwidth=0.02,hatchsep=0.05](C){0.25}\r
+\psdot(C)\r
+%\psline[linestyle=dotted](M1)(M2)\r
+%\psline[linestyle=dashed](M2)(O)(M1)\r
+\psline[linecolor=gray]{<->}(5,0)(0,0)(0,6)\r
+\rput(C){\psline[style=vecteurA]{<->}(5.5,0)(0,0)(0,6)%\r
+ \uput[l](0,5.8){$\mathcal{R^*}$}\r
+ \psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt](-3,-3)(7,6)%\r
+ \uput[r](0,5.8){$y^*$}\r
+ \uput[u](5.5,0){$x^*$}\r
+ \pnode(!xr0 yr0){M}\r
+ \pscircle*(M){0.05}\r
+% \pcline[offset=0.3,linewidth=0.01,arrowsize=0.1]{|->}(0,0)(M)\r
+% \ncput*[nrot=:U]{$\overrightarrow{r}$}\r
+ \psline[linestyle=dotted](M)\uput[r](M){$M(\mu)$}\r
+ \rput(M){\psline[style=vecteurC]{->}(!xr0 5 div neg yr0 5 div neg)\uput[dr](!xr0 10 div neg yr0 10 div neg){$\overrightarrow{F}$}\r
+ \psline[linestyle=dotted](!theta_0 90 add cos 2 mul theta_0 90 add sin 2 mul)\r
+ \psline[arrowinset=0.1,arrowsize=0.15]{->}(!theta_0 90 add cos theta_0 90 add sin)\r
+ \psline[arrowinset=0.1,arrowsize=0.15,linecolor=blue]{->}(!theta_0 45 add cos 2 mul theta_0 45 add sin 2 mul)\r
+ \uput[r](!theta_0 45 add cos 1.75 mul theta_0 45 add sin 1.55 mul){$\overrightarrow{v}$}\r
+ \psarc{->}(0,0){1.2}{!theta_0 45 add}{!theta_0 90 add}\r
+ \uput{1.3}[!theta_0 67.5 add](0,0){$\gamma$}}\r
+ }\r
+\uput[dl](O){$O$}\r
+\uput[r](0,5.8){$y$}\r
+\uput[u](4.8,0){$x$}\r
+\uput[l](0,5.8){$\mathcal{R}$}\r
+%\uput{0.22}[l](M1){$M_1$}\r
+%\uput{0.1}[dr](M2){$M_2$}\r
+\uput{0.3}[d](C){$C$}\r
+\rput(C){\psline[arrowinset=0.1,arrowsize=0.15]{->}(!theta_0 90 add cos theta_0 90 add sin)\r
+ \psline[arrowinset=0.1,arrowsize=0.15]{->}(!theta_0 cos theta_0 sin)\r
+ \uput{.1}[u](!theta_0 90 add cos theta_0 90 add sin){$\overrightarrow{u}_\theta$}\r
+ \uput[d](!theta_0 cos theta_0 sin){$\overrightarrow{u}_r$}\r
+ \psarc{->}(0,0){1.5}{0}{!theta_0}\r
+ \uput{1.6}[!theta_0 2 div](0,0){$\theta$}}\r
+\end{pspicture}\r
+\end{center}\r
+Dans ce cas, on peut exprimer la constante des aires par :\r
+$\r
+\mathrm{C}=rv\cos\gamma\r
+$\r
+\begin{center}\r
+\begin{pspicture}(-2,-2)(7,5)\r
+\psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt]\r
+\pstVerb{/par 2 def\r
+ /exc 0.7 def\r
+ /Phi 30 def\r
+ /radius {par 1 exc t Phi sub cos mul add div} def\r
+ /xE {radius t cos mul neg} def\r
+ /yE {radius t sin mul neg} def}%\r
+\parametricplot[plotpoints=360]{0}{360}{\r
+ xE\r
+ yE}%\r
+\pscustom[fillstyle=vlines,hatchwidth=0.02,hatchcolor=gray]{%\r
+ \psline(0,0)(! /t 200 def xE yE)\r
+\parametricplot[plotpoints=360]{200}{210}{\r
+ xE\r
+ yE}%\r
+ \psline(! /t 210 def xE yE)(0,0)}\r
+\parametricplot[plotpoints=360,arrows=->]{200}{210}{\r
+ /radius {2.25 1 exc t Phi sub cos mul add div} def\r
+ xE\r
+ yE}%\r
+\psarc{->}(0,0){3}{20}{30}\r
+\uput{3.2}[25](0,0){\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white,framesep=0pt]{d$\theta$}}\r
+\rput(5,2.3){\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white,framesep=0pt]{d$\mathcal{A}$}}\r
+%\psline[linearc=0.25]{->}(2.2,1.8)(3.5,1.8)(3.5,1.5)\r
+\pcline[offset=-0.3,linestyle=none](0,0)(! /t 200 def xE yE)\r
+\ncput*[nrot=:U]{$r$}\r
+\uput[l](0,4.8){$\mathcal{R^*}$}\r
+\uput[r](0,4.8){$y^*$}\r
+\uput[u](7,0){$x^*$}\r
+\uput[dl](0,0){$C$}\r
+\psline[style=vecteurA]{<->}(7,0)(0,0)(0,5)\r
+\end{pspicture}\r
+\end{center}\r
+Géométriquement lorsque $\theta$ varie de $\mathrm{d}\theta$, la surface balayée par le rayon vecteur vaut :\r
+\[\r
+\mathrm{d}\mathcal{A}=\frac{1}{2}r^2\mathrm{d}\theta\r
+\]\r
+On définit ainsi la vitesse \textit{aérolaire}, qui est l'aire balayée par unité de temps, en fonction de C :\r
+\[\r
+\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{C}}{2}\r
+\]\r
+On retrouve ainsi la deuxième loi de Képler.\r
+\r
+Pour déterminer l'équation de la trajectoire, on utilise la méthode de Binet, qui consiste en un changement de variable en posant $u=\dfrac{1}{r}$.\r
+\[\r
+\dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=-\dfrac{1}{u^2}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\r
+\]\r
+Nous avons la constante des aires $\mathrm{C}=r^2\dot{\theta}=\dfrac{\dot{\theta}}{u^2}$, par conséquent :\r
+\[\r
+\dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=-\mathrm{C}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\r
+\]\r
+\[\r
+\dfrac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}=-\mathrm{C}\dfrac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\r
+\]\r
+On remplace $\dot{\theta}$ par $\mathrm{C}u^2$ :\r
+\[\r
+\dfrac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}=-\mathrm{C^2}u^2\dfrac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}\r
+\]\r
+Nous avons vu qu'en appliquant la loi de Newton, la composante de l'accélération $\gamma$ suivant $\sqrt[n]{u}_r$ vaut :\r
+\[\r
+\ddot{r} -r\dot{\theta}^2=-\mathcal{G}\frac{m_t}{r^2}\r
+\]\r
+Ce qui s'écrit avec la variable $u$ :\r
+\[\r
+-\mathrm{C^2}u^2\dfrac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}-\mathrm{C^2}u^3=-\mathcal{G}m_tu^2\r
+\]\r
+Ce qui, après simplification, donne :\r
+\begin{equation}\r
+\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor={[rgb]{1 1 0.5}}]{%\r
+\dfrac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}+u=\dfrac{\mathcal{G}m_t}{\mathrm{C^2}}}\r
+\label{equ}\r
+\end{equation}\r
+La solution générale de cette équation peut s'écrire :\r
+\[\r
+u=A\cos(\theta-\varphi)+\dfrac{\mathcal{G}m_t}{\mathrm{C^2}}\r
+\]\r
+$A$ et $\varphi$ sont fixés par les conditions initiales. Le rayon-vecteur a pour expression :\r
+\[\r
+r=\frac{1}{A\cos(\theta-\varphi)+\dfrac{\mathcal{G}m_t}{\mathrm{C^2}}}\r
+\]\r
+Il s'écrit encore ainsi :\r
+\[\r
+r=\dfrac{\dfrac{\mathrm{C^2}}{\mathcal{G}m_t}}{A\dfrac{\mathrm{C^2}}{\mathcal{G}m_t}\cos(\theta-\varphi)+1}\r
+\]\r
+Si on pose $p=\dfrac{\mathrm{C^2}}{\mathcal{G}m_t}$ et $\mathrm{e}=Ap$, on reconnaît l'équation d'une conique dont l'un des foyers est $C$, de paramètre $p$ et d'excentricité $\mathrm{e}$.\r
+\begin{equation}\r
+\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor={[rgb]{1 1 0.5}}]{%\r
+r=\dfrac{p}{1+e\cos(\theta-\varphi)}}\r
+\label{equr}\r
+\end{equation}\r
+Déterminons les constantes en fonction des conditions initiales.\r
+\r
+Nous avons vu que la constante des aires C pouvait se calculer de deux façons suivant le choix fait pour définir la vitesse initiale, soit $\r
+\mathrm{C}=r_0v_0\cos\gamma_0$, soit $C=x_0 v_{y_0} - y_0 v_{x_0}$. Par conséquent $p$ est bien déterminé.\r
+\r
+Lorsque $\theta=\varphi$ alors $r=\dfrac{p}{1+\mathrm{e}}$, ce qui est la plus petite valeur possible de $r$. On est donc au périgée P de la conique, on note, en ce point, le rayon-vecteur par $\overrightarrow{r}_\mathrm{P}$. En ce point la vitesse $\overrightarrow{v}_\mathrm{P}$ est perpendiculaire à $\overrightarrow{r}_\mathrm{P}$ et la constante des aires peut s'écrire : $\mathrm{C}=r_\mathrm{P}v_\mathrm{P}$.\r
+\r
+L'angle $\varphi$ est l'inclinaison du grand axe de la conique avec $Ox$, plus précisément l'angle du rayon-vecteur au périgée, $\overrightarrow{r}_P$ avec $Ox$.\r
+\r
+L'énergie mécanique se conserve au cours du mouvement, elle est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle. En fonction des conditions initiales elle s'écrit(on rappelle que $\mu$ est la masse(\textit{réduite})) de la particule fictive $M$ étudiée :\r
+\[\r
+\mathcal{E}=\frac{1}{2}\mu v_0^2-\mathcal{G}\frac{\mu(m_1+m_2)}{r_0}\quad \text{ou}\quad \frac{1}{2}\mu v_0^2-\mathcal{G}\frac{m_1m_2}{r_0}\r
+\]\r
+Au périgée, elle s'exprimera par :\r
+\[\r
+\mathcal{E}=\frac{1}{2}\mu v_\mathrm{P}^2-\mathcal{G}\frac{m_1m_2}{r_\mathrm{P}}\r
+\]\r
+Pour exprimer l'énergie dans le cas général, calculons la vitesse en fonction de $u$. Rappelons que :\r
+\[\r
+\overrightarrow{v}=\r
+\left|\r
+\begin{array}{l}\r
+\dot{r}\\\r
+r\dot{\theta}\r
+\end{array}\r
+\right.\r
+\]\r
+Calculons séparément $\dot{r}$ et $r\dot{\theta}$ :\r
+\[\r
+\dot{r}=\dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}u}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=\r
+ -\dfrac{1}{u^2}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\dot{\theta}=\r
+ -\mathrm{C}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\r
+\]\r
+\[\r
+r\dot{\theta}=\dfrac{1}{u}\mathrm{C}u^2=\mathrm{C}u\r
+\]\r
+\[\r
+v^2=\mathrm{C^2}\left[\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\right)^2+u^2\right]\r
+\]\r
+\[\r
+v^2=\mathrm{C^2}\left[\r
+ \frac{\mathrm{e^2}}{p^2}\sin^2(\theta-\varphi)+\frac{1}{p^2}\left[1+2\mathrm{e}\cos(\theta-\varphi)+\mathrm{e^2}\cos^2(\theta-\varphi)\right]\r
+ \right]\r
+\]\r
+\[\r
+v^2=\frac{\mathrm{C^2}}{p^2}\left[1+2\mathrm{e}\cos(\theta-\varphi)+\mathrm{e^2} \right]\r
+\]\r
+L'énergie cinétique s'exprime par :\r
+\[\r
+E_C=\frac{1}{2}\mu\frac{\mathrm{C^2}}{p^2}\left[ 1+2\mathrm{e}\cos(\theta-\varphi)+\mathrm{e^2} \right]\r
+\]\r
+On se souvient que $p=\dfrac{\mathrm{C^2}}{\mathcal{G}m_t}$, il vient :\r
+\[\r
+E_C=\frac{1}{2}\frac{\mathcal{G}\mu m_t}{p}\left[ 1+2\mathrm{e}\cos(\theta-\varphi)+\mathrm{e^2} \right]\r
+\]\r
+Pour l'énergie potentielle nous avons :\r
+\[\r
+E_p=-\frac{\mathcal{G}\mu m_t}{r}=-\frac{\mathcal{G}\mu m_t}{p}\left[1+e\cos(\theta-\varphi)\right]\r
+\]\r
+et pour l'énergie mécanique, nous obtenons après simplification :\r
+\[\r
+\mathcal{E}=E_C+E_p=\frac{\mathcal{G}\mu m_t}{2p}(\mathrm{e^2}-1)\r
+\]\r
+On en déduit l'excentricité :\r
+\[\r
+\mathrm{e^2}=\frac{2p\mathcal{E}}{\mathcal{G}\mu m_t}+1\Longrightarrow \mathrm{e}=\sqrt{\frac{2p\mathcal{E}}{\mathcal{G}\mu m_t}+1}\r
+\]\r
+On peut l'exprimer en fonction de la constante des aires en posant $K=\mathcal{G}m_t$ et en remplaçant $p$ par $\dfrac{\mathrm{C^2}}{K}$ :\r
+\begin{equation}\r
+\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor={[rgb]{1 1 0.5}}]{%\r
+\mathrm{e}=\sqrt{\frac{2\mathrm{C^2}\mathcal{E}}{\mu K^2}+1}}\r
+\label{exc}\r
+\end{equation}\r
+Il reste à déterminer $\varphi$, c'est le problème le plus simple à résoudre.\r
+\[\r
+r_0=\frac{p}{1+\mathrm{e}\cos(\theta_0-\varphi)}\r
+\]\r
+On en déduit :\r
+\begin{equation}\r
+\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor={[rgb]{1 1 0.5}}]{%\r
+\varphi=\theta_0-\arccos\left[\left(\frac{p}{r_0}-1\right)\frac{1}{\mathrm{e}}\right]}\r
+\label{phi}\r
+\end{equation}\r
+On distingue trois cas :\r
+\begin{itemize}\r
+\item\r
+ $\mathrm{e}<1$ ou $\mathcal{E}<0$ : ellipse\r
+\item\r
+ $\mathrm{e}=1$ ou $\mathcal{E}=0$ : parabole\r
+\item\r
+ $\mathrm{e}=>$ ou $\mathcal{E}>0$ : hyperbole\r
+\end{itemize}\r
+Et on s'intéresse maintenant au mouvement elliptique. Les conditions initiales $(\overrightarrow{r}_0,\overrightarrow{v}_0)$ doivent vérifier :\r
+\[\r
+\mathcal{E}=\frac{1}{2}\mu v_0^2-\mathcal{G} \frac{m_1 m_2}{r_0}<0\r
+\]\r
+\begin{center}\r
+\begin{pspicture}(-2,-3)(5,7)\r
+\psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt]\r
+\pstVerb{\r
+/arccos {\r
+ dup\r
+ dup mul neg 1 add sqrt\r
+ exch\r
+ atan\r
+} def\r
+ /G 1 def\r
+ /x01 2 def\r
+ /y01 2 def\r
+ /v0x1 .05 def\r
+ /v0y1 0.25 def\r
+ /x02 -2 def\r
+ /y02 -0.5 def\r
+ /v0x2 -0.25 def\r
+ /v0y2 -0.5 def\r
+ /M1 3 def\r
+ /M2 1 def\r
+ /Mt M1 M2 add def\r
+ /mu M1 M2 mul M1 M2 add div def % masse réduite\r
+ /K G Mt mul def\r
+ /xG0 M1 x01 mul M2 x02 mul add M1 M2 add div def\r
+ /yG0 M1 y01 mul M2 y02 mul add M1 M2 add div def\r
+% conditions initiales pour le point réduit\r
+ /xr0 x01 x02 sub def\r
+ /yr0 y01 y02 sub def\r
+ /theta_0 yr0 xr0 atan def\r
+ /r0 xr0 dup mul yr0 dup mul add sqrt def\r
+ /v0xr v0x1 v0x2 sub def\r
+ /v0yr v0y1 v0y2 sub def\r
+ /v0r_2 v0xr dup mul v0yr dup mul add def\r
+% constante des aires\r
+ /Cste xr0 v0yr mul yr0 v0xr mul sub def % Cste des aires\r
+ /Energie 0.5 mu mul v0r_2 mul % 1/2 mv^2\r
+ G M1 M2 mul mul r0 div sub\r
+ def\r
+ /par Cste dup mul K div def % p\r
+ /exc 2 Cste dup mul mul Energie mul mu div K dup mul div 1 add sqrt def % e\r
+ /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe\r
+ /b_2 a_2 1 exc dup mul sub sqrt mul def % demi-petit axe\r
+ /c_2 a_2 exc mul def % distance focale\r
+ % phase\r
+ /Phi theta_0 par r0 div 1 sub exc div arccos sub def\r
+ /rP par 1 exc add div def\r
+ /rA par 1 exc sub div def\r
+% vitesses à l'apogée et au périgée\r
+ /vA G Mt mul 2 rA div 1 a_2 div sub mul sqrt def\r
+ /vP G Mt mul 2 rP div 1 a_2 div sub mul sqrt def\r
+% positions du périgée et de l'apogée\r
+ /xP rP Phi cos mul def\r
+ /yP rP Phi sin mul def\r
+ /xA rA Phi cos mul neg def\r
+ /yA rA Phi sin mul neg def\r
+ /xW xA xP add 2 div def\r
+ /yW yA yP add 2 div def\r
+% periode\r
+ /periode 6.28 a_2 3 exp G div Mt div sqrt mul def\r
+ /radius {par 1 exc t Phi sub cos mul add div} def\r
+ /xE {radius t cos mul} def\r
+ /yE {radius t sin mul}def\r
+ }%\r
+\parametricplot[plotpoints=360]{0}{360}{xE yE}%\r
+\uput[l](0,6.8){$\mathcal{R^*}$}\r
+\uput[r](0,6.8){$y^*$}\r
+\uput[u](5,0){$x^*$}\r
+\uput[l](0,0){$C$}\r
+\psdot(0,0)\r
+\psline[style=vecteurA]{<->}(5,0)(0,0)(0,7)\r
+\pnode(!xr0 yr0){M0}\psdot(M0)\r
+\rput(M0){\psline[unit=2,style=vecteurA]{->}(!v0xr v0yr)\uput[r](0,0){$M_0$}\uput[r](!v0xr 2 mul v0yr 2 mul){$\overrightarrow{v}_0$}}\r
+\psline(M0)\r
+\pcline[offset=0.25,linestyle=none](0,0)(M0)\r
+\ncput*[nrot=:U]{$r_0$}\r
+\psarc[style=vecteurB]{->}(0,0){1.5}{0}{!theta_0}\r
+\uput{1.6}[!theta_0 2 div](0,0){$\theta_0$}\r
+\pnode(!rA Phi cos mul neg rA Phi sin mul neg){A}\r
+\psline[linestyle=dotted](A)\r
+\uput[ur](A){$A$}\r
+\pnode(!rP Phi cos mul rP Phi sin mul){P}\r
+\psline[linestyle=dotted](P)\r
+\uput[dl](P){$P$}\r
+\rput(-2,0){\psPrintValue[decimals=4]{exc}}\r
+\pnode(!xW yW){W}\psdot(W)\uput[r](W){$\Omega$}\r
+\rput{!Phi}(W){\pnode(!0 b_2){B1}\pnode(!0 b_2 neg){B2}\psline[linestyle=dotted](B1)(B2)}\r
+\uput[ul](B2){$B$}\r
+\pcline[offset=-0.25,linestyle=none](W)(B2)\r
+\ncput*{$b$}\r
+\pcline[offset=0.25,linestyle=none](W)(A)\r
+\ncput*{$a$}\r
+\pcline[offset=0.25,linestyle=none](0,0)(W)\r
+\ncput*{$c$}\r
+\psline[linecolor=blue](W)(B2)\r
+\psline[linecolor=red](W)(A)\r
+\psline[linecolor=green](W)(0,0)\r
+\rput{! 180 Phi add}(W){\psdot(!c_2 0)}\r
+\psarcn{->}(0,0){0.5}{0}{!Phi}\uput{0.55}[!Phi 2 div](0,0){$\varphi$}\r
+\rput{!Phi}(P){\pnode(! 0 vP){vP}\psline[style=vecteurA]{->}(vP)}\r
+\uput[r](vP){$\overrightarrow{v}_P$}\r
+\rput{!Phi}(A){\pnode(! 0 vA neg){vA}\psline[style=vecteurA]{->}(vA)}\r
+\uput[u](vA){$\overrightarrow{v}_A$}\r
+\end{pspicture}\r
+\end{center}\r
+L'un des foyers de l'ellipse est le centre attracteur $C$. L'autre est le symétrique de $C$ par rapport à $\Omega$.\r
+\r
+Au périgée, le rayon-vecteur vaut : $r_P=\dfrac{p}{1+\mathrm{e}}$, à l'apogée $r_A=\dfrac{p}{1-\mathrm{e}}$.\r
+\r
+Le demi-grand axe est égal à : $a=\dfrac{r_P+r_A}{2}=\dfrac{p}{1-\mathrm{e^2}}$.\r
+\r
+La distance focale est égale à : $c=a-r_P=\dfrac{p\mathrm{e}}{1-\mathrm{e^2}}=a\mathrm{e}$.\r
+\r
+Pour calculer le demi-petit axe de l'ellipse $b$, on peut rappeler que l'ellipse est lieu des points dont la somme des distances aux foyers est égale à $2a$. Au point $B$ cette somme est égale à $2a$, par conséquent le théorème de Pythagore appliqué dans le triangle rectangle $C\Omega B$ donne la valeur du demi-axe : $b=\sqrt{a^2-c^2}=a\sqrt{1-\mathrm{e^2}}$.\r
+\r
+Rappelons que $\mathrm{e^2}=\dfrac{2p\mathcal{E}}{\mathcal{G}\mu m_t}+1$. On peut exprimer $\mathcal{E}$ en fonction de $\mathrm{e}$ :\r
+\r
+\[\r
+\mathcal{E}=\frac{\mathcal{G}\mu m_t}{2p}(\mathrm{e^2}-1)=-\frac{\mathcal{G}\mu m_t}{2a}\quad\text{ou}\quad\mathcal{E}=-\frac{\mathcal{G}m_1m_2}{2a}\r
+\]\r
+Pour le système $\{M_1,M_2\}$, son énergie s'exprime très simplement en fonction du grand axe de l'ellipse $2a$.\r
+\r
+Calculons la vitesse tout au long de l'ellipse :\r
+\r
+\[\r
+\mathcal{E}=\frac{1}{2}\mu v^2-\frac{\mathcal{G}\mu m_t}{r}=-\frac{\mathcal{G}\mu m_t}{2a}\r
+\]\r
+\[\r
+v^2=\mathcal{G}m_t\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)\r
+\]\r
+On en déduit les vitesses au périgée et à l'apogée :\r
+\[\r
+v_P=\sqrt{\frac{\mathcal{G}m_t}{p}}(1+\mathrm{e})\qquad v_A=\sqrt{\frac{\mathcal{G}m_t}{p}}(1-\mathrm{e})\r
+\]\r
+La vitesse est maximale au périgée et minimale à l'apogée.\r
+\r
+La période de révolution se détermine à partir de la vitesse \textit{aérolaire}. Cette vitesse vaut :\r
+\[\r
+\mathcal{V}=\frac{\mathrm{C}}{2}=\frac{\sqrt{p\mathcal{G}m_t}}{2}\r
+\]\r
+Sachant que surface de l'ellipse est $S=\pi a b$ :\r
+\[\r
+T=\frac{2\pi a b}{\sqrt{p\mathcal{G}m_t}}\r
+\]\r
+On remplace $b$ par $a\sqrt{(1-\mathrm{e^2})}$ et $p$ par $a(1-\mathrm{e^2})$ :\r
+\[\r
+T=\frac{2\pi a^2 \sqrt{(1-\mathrm{e^2})}}{\sqrt{a(1-\mathrm{e^2})\mathcal{G}m_t}}=\frac{2\pi a^2}{\sqrt{a\mathcal{G}m_t}}\r
+\]\r
+En élevant les deux membres au carré on retrouve la troisième loi de Képler :\r
+\begin{equation}\r
+\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor={[rgb]{1 1 0.5}}]{%\r
+\frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{\mathcal{G}m_t}}\r
+\label{Kepler3}\r
+\end{equation}\r
+\section{Le mouvement des 2 corps dans le repère du centre de masse}\r
+Nous avons vu (\ref{r1r2}), que les trajectoires de $M_1$ et $M_2$ se déduisent de celle de $M$ par une homothétie de centre~C.\r
+\[\r
+\overrightarrow{r_1}=-\frac{m_2}{m_1+m_2}\overrightarrow{r}\quad\mbox{et}\quad \overrightarrow{r_2}=\frac{m_1}{m_1+m_2}\overrightarrow{r}\r
+\]\r
+Les trajectoires sont donc deux ellipses dont les caractéristiques, paramètre, demi-grand axe et demi-petit axe, se déduisent de l'ellipse de la particule de masse réduite dans le même rapport.\r
+\r
+\begin{itemize}\r
+ \item Paramètre : $p_1=p\dfrac{m_2}{m_1+m_2}$.\r
+ \item rayon-vecteur à l'apogée : $r_{A_1}=r_A\dfrac{m_2}{m_1+m_2}$\r
+ \item rayon-vecteur au périgée : $r_{P_1}=r_P\dfrac{m_2}{m_1+m_2}$\r
+ \item demi-grand axe : $a_1=\dfrac{r_{A_1}+r_{P_1}}{2}=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\dfrac{r_{A}+r_{P}}{2}=a\dfrac{m_2}{m_1+m_2}$\r
+ \item excentricité, on vérifie facilement qu'elle est inchangée : $\mathrm{e_1}=\dfrac{r_{A_1}-r_{P_1}}{r_{A_1}+r_{P_1}}=\mathrm{e}$\r
+\end{itemize}\r
+pour la deuxième :\r
+\begin{itemize}\r
+ \item Paramètre : $p_2=p\dfrac{m_1}{m_1+m_2}$.\r
+ \item rayon-vecteur à l'apogée : $r_{A_2}=r_A\dfrac{m_1}{m_1+m_2}$\r
+ \item rayon-vecteur au périgée : $r_{P_2}=r_P\dfrac{m_1}{m_1+m_2}$\r
+ \item demi-grand axe : $a_1=\dfrac{r_{A_2}+r_{P_2}}{2}=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\dfrac{r_{A}+r_{P}}{2}=a\dfrac{m_1}{m_1+m_2}$\r
+ \item excentricité : $\mathrm{e_2}=\dfrac{r_{A_2}-r_{P_2}}{r_{A_2}+r_{P_2}}=\mathrm{e}$\r
+\end{itemize}\r
+Leurs équations respectives s'écrivent :\r
+\[\r
+r_1=\dfrac{p_1}{1+\mathrm{e}\cos(\theta-\varphi)} \quad r_2=\dfrac{p_2}{1+\mathrm{e}\cos(\theta-\varphi)}\r
+\]\r
+Dans l'exemple suivant $\{m_1=3,m_2=1\}$. Les vitesses initiales dans $\mathcal{R}^*$ sont indiquées par une flèche. La trajectoire de $M_1$ est en bleu, celle de $M_2$ en rouge et celle du point fictif est en pointillés.\r
+\begin{center}\r
+\begin{pspicture}(-8,-10)(3,3)\r
+\psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt]\r
+\pstVerb{\r
+/arccos {\r
+ dup\r
+ dup mul neg 1 add sqrt\r
+ exch\r
+ atan\r
+} def\r
+ /G 1 def\r
+ /x01 2 def\r
+ /y01 2 def\r
+ /v0x1 .2 def\r
+ /v0y1 0.25 def\r
+ /x02 -3 def\r
+ /y02 0 def\r
+ /v0x2 -0.25 def\r
+ /v0y2 -0.5 def\r
+ /M1 3 def\r
+ /M2 1 def\r
+ /Mt M1 M2 add def\r
+ /mu M1 M2 mul M1 M2 add div def % masse réduite\r
+ /K G Mt mul def\r
+ /xG0 M1 x01 mul M2 x02 mul add M1 M2 add div def\r
+ /yG0 M1 y01 mul M2 y02 mul add M1 M2 add div def\r
+ /vG0x M1 v0x1 mul M2 v0x2 mul add M1 M2 add div def\r
+ /vG0y M1 v0y1 mul M2 v0y2 mul add M1 M2 add div def\r
+ /K1 M2 Mt div neg def\r
+ /K2 M1 Mt div def\r
+% conditions initiales pour le point réduit\r
+ /xr0 x02 x01 sub def\r
+ /yr0 y02 y01 sub def\r
+ /theta_0 yr0 xr0 atan def\r
+ /r0 xr0 dup mul yr0 dup mul add sqrt def\r
+ /v0xr v0x2 v0x1 sub def\r
+ /v0yr v0y2 v0y1 sub def\r
+ /v0r_2 v0xr dup mul v0yr dup mul add def\r
+% constante des aires\r
+ /Cste xr0 v0yr mul yr0 v0xr mul sub def % Cste des aires\r
+ /Energie 0.5 mu mul v0r_2 mul % 1/2 mv^2\r
+ G M1 M2 mul mul r0 div sub\r
+ def\r
+ /par Cste dup mul K div def % p\r
+ /exc 2 Cste dup mul mul Energie mul mu div K dup mul div 1 add sqrt def % e\r
+ /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe\r
+ /b_2 a_2 1 exc dup mul sub sqrt mul def % demi-petit axe\r
+ /c_2 a_2 exc mul def % distance focale\r
+ % phase\r
+ /Phi theta_0 par r0 div 1 sub exc div arccos sub def\r
+ /rP par 1 exc add div def\r
+ /rA par 1 exc sub div def\r
+% vitesses à l'apogée et au périgée\r
+ /vA G Mt mul 2 rA div 1 a_2 div sub mul sqrt def\r
+ /vP G Mt mul 2 rP div 1 a_2 div sub mul sqrt def\r
+% positions du périgée et de l'apogée\r
+ /xP rP Phi cos mul def\r
+ /yP rP Phi sin mul def\r
+ /xA rA Phi cos mul neg def\r
+ /yA rA Phi sin mul neg def\r
+ /xW xA xP add 2 div def\r
+ /yW yA yP add 2 div def\r
+% periode\r
+ /periode 6.28 a_2 3 exp G div Mt div sqrt mul def\r
+ /radius {par 1 exc t Phi sub cos mul add div} def\r
+ /xE {radius t cos mul} def\r
+ /yE {radius t sin mul}def\r
+ }%\r
+\parametricplot[plotpoints=360,linestyle=dotted]{0}{360}{xE yE}%\r
+\parametricplot[plotpoints=360,linecolor=blue]{0}{360}{xE K1 mul yE K1 mul}%\r
+\parametricplot[plotpoints=360,linecolor=red]{0}{360}{xE K2 mul yE K2 mul}%\r
+\uput[l](0,2.8){$\mathcal{R^*}$}\r
+\uput[r](0,2.8){$y^*$}\r
+\uput[u](3,0){$x^*$}\r
+\uput[l](0,0){$C$}\r
+\psdot(0,0)\r
+\psline[style=vecteurA]{<->}(3,0)(0,0)(0,3)\r
+\pnode(!xr0 yr0){M0}\psdot(M0)\r
+\rput(M0){\psline[unit=2,style=vecteurA]{->}(!v0xr v0yr)\uput[l](0,0){$M_0$}\uput[l](!v0xr 2 mul v0yr 2 mul){$\overrightarrow{v}_0$}}\r
+\pcline[offset=0.25,linestyle=none](M0)(0,0)\r
+\ncput*[nrot=:U]{$r_0$}\r
+\psarcn[style=vecteurB]{->}(0,0){0.75}{0}{!theta_0}\r
+\uput{0.75}[!theta_0 2 div 180 add](0,0){$\theta_0$}\r
+\pnode(!rA Phi cos mul neg rA Phi sin mul neg){A}\r
+\psline[linestyle=dotted](A)\r
+%\uput[ur](A){$A$}\r
+\pnode(!rP Phi cos mul rP Phi sin mul){P}\r
+\psline[linestyle=dotted](P)\r
+%\uput[dl](P){$P$}\r
+%\rput(-2,0){\psPrintValue[decimals=4]{exc}}\r
+\pnode(!xW yW){W}\psdot(W)\uput[r](W){$\Omega$}\r
+%\psline[linecolor=blue](W)(B2)\r
+%\psline[linecolor=red](W)(A)\r
+%\psline[linecolor=green](W)(0,0)\r
+%\rput{! 180 Phi add}(W){\psdot(!c_2 0)}\r
+%\psarc{->}(0,0){0.5}{0}{!Phi}\uput{0.55}[!Phi 2 div](0,0){$\varphi$}\r
+%\rput{!Phi}(P){\pnode(! 0 vP){vP}\psline[style=vecteurA]{->}(vP)}\r
+%\uput[r](vP){$\overrightarrow{v}_P$}\r
+%\rput{!Phi}(A){\pnode(! 0 vA neg){vA}\psline[style=vecteurA]{->}(vA)}\r
+%\uput[u](vA){$\overrightarrow{v}_A$}\r
+\pnode(!x01 xG0 sub y01 yG0 sub){M01}\psdot(M01)\uput[r](M01){$M_{0_1}$}\r
+\pnode(!x02 xG0 sub y02 yG0 sub){M02}\psdot(M02)\uput[dr](M02){$M_{0_2}$}\r
+\psline[linestyle=dashed](M0)(M02)(M01)\r
+\rput(M01){\psline[unit=2,linecolor=blue]{->}(!v0x1 vG0x sub v0y1 vG0y sub)}\r
+\rput(M02){\psline[unit=2,linecolor=red]{->}(!v0x2 vG0x sub v0y2 vG0y sub)}\r
+\end{pspicture}\r
+\end{center}\r
+\section{Exemples à développer, réalisés avec pst-eqdf}\r
+\[\r
+\mu\frac{\mathrm{d}^2\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t^2}=-G\frac{m_1m_2}{r^3}\overrightarrow{r}\r
+\]\r
+\[\r
+\frac{\mathrm{d}^2\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t^2}=-G\frac{(m_1+m_2)}{r^3}\overrightarrow{r}\r
+\]\r
+\r
+\[\r
+\left\{\r
+\begin{array}[m]{l}\r
+ \ddot{x}=-G\displaystyle\frac{m_1+m_2}{r^3}x\\[1em]\r
+ \ddot{y}=-G\displaystyle\frac{m_1+m_2}{r^3}y\r
+\end{array}\r
+\right.\r
+\]\r
+% x y x' y'\r
+% y[0] y[1] y[2] y[3]\r
+\def\FictifAlg{%\r
+ y[2]|y[3]|%\r
+ -(M1+M2)*y[0]/(y[0]^2+y[1]^2)^1.5|%\r
+ -(M1+M2)*y[1]/(y[0]^2+y[1]^2)^1.5}\r
+\begin{center}\r
+\begin{pspicture}(-7,-4)(7,8)\r
+\pstVerb{/G 1 def\r
+ /x01 1 def\r
+ /y01 2 def\r
+ /v0x1 .1 def\r
+ /v0y1 0.1 def\r
+ /x02 -1 def\r
+ /y02 -2 def\r
+ /v0x2 -2 def\r
+ /v0y2 0 def\r
+ /M1 2 def\r
+ /M2 20 def\r
+ /mu M1 M2 mul M1 M2 add div def % masse réduite\r
+ /xG M1 x01 mul M2 x02 mul add M1 M2 add div def\r
+ /yG M1 y01 mul M2 y02 mul add M1 M2 add div def\r
+ /x0 x01 x02 sub def\r
+ /y0 y01 y02 sub def\r
+ /v0x v0x1 v0x2 sub def\r
+ /v0y v0y1 v0y2 sub def\r
+ }%\r
+%% 0 1 2 3 4 5 6 7\r
+%% x1 y1 x'1 y'1 x2 y2 x'2 y'2\r
+\def\InitCondred{ x0 y0 v0x v0y}\r
+\def\InitCond{ x01 y01 v0x1 v0y1 x02 y02 v0x2 v0y2}\r
+\psset{method=rk4}\r
+\psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=8pt]%\r
+\psequadiff[whichabs=0,whichord=1,\r
+ plotpoints=1000,algebraic,\r
+ tabname=X1Y1]{0}{50}{\InitCond}{\GravAlg}\r
+\listplot[unit=1,linecolor=red]{X1Y1 aload pop}\r
+\psequadiff[whichabs=4,whichord=5,\r
+ plotpoints=1000,algebraic,\r
+ tabname=X2Y2]{0}{50}{\InitCond}{\GravAlg}\r
+\listplot[unit=1,linecolor=blue]{X2Y2 aload pop}\r
+\psequadiff[whichabs=0,whichord=1,\r
+ plotpoints=1000,algebraic,\r
+ tabname=XrYr]{0}{50}{\InitCondred}{\FictifAlg}\r
+\listplot[unit=1,linecolor=green]{XrYr aload pop}\r
+\psdots(!x01 y01)(!x02 y02)\r
+\psdot[linecolor=red](!xG yG)\r
+\psline{<->}(7,0)(0,0)(0,8)\r
+\end{pspicture}\r
+\end{center}\r
+%\r
+\newpage\r
+% x y x' y'\r
+% y[0] y[1] y[2] y[3]\r
+\def\FictifAlg{%\r
+ y[2]|y[3]|%\r
+ -(M1+M2)*y[0]/(y[0]^2+y[1]^2)^1.5|%\r
+ -(M1+M2)*y[1]/(y[0]^2+y[1]^2)^1.5}\r
+% on se place au centre de masse\r
+\def\GravAlgIIcorps{%\r
+ y[2]|y[3]|%\r
+ M2*(y[4]-y[0])/((y[4]-y[0])^2+(y[5]-y[1])^2)^1.5|%\r
+ M2*(y[5]-y[1])/((y[4]-y[0])^2+(y[5]-y[1])^2)^1.5|%\r
+ y[6]|y[7]|%\r
+ M1*(y[0]-y[4])/((y[4]-y[0])^2+(y[5]-y[1])^2)^1.5|%\r
+ M1*(y[1]-y[5])/((y[4]-y[0])^2+(y[5]-y[1])^2)^1.5}\r
+%% 0 1 2 3 4 5 6 7\r
+%% x1 y1 x'1 y'1 x2 y2 x'2 y'2\r
+\newpage\r
+\begin{center}\r
+\def\InitCondred{ xr0 yr0 v0xr v0yr}\r
+\begin{pspicture}(-7,-4)(7,8)\r
+\pstVerb{/G 1 def\r
+ /x01 2 def\r
+ /y01 2 def\r
+ /v0x1 .05 def\r
+ /v0y1 0.25 def\r
+ /x02 -2 def\r
+ /y02 -0.35 def\r
+ /v0x2 -0.25 def\r
+ /v0y2 -0.5 def\r
+ /M1 3 def\r
+ /M2 1 def\r
+ /Mt M1 M2 add def\r
+ /mu M1 M2 mul M1 M2 add div def % masse réduite\r
+ /xG M1 x01 mul M2 x02 mul add M1 M2 add div def\r
+ /yG M1 y01 mul M2 y02 mul add M1 M2 add div def\r
+ /x0 x01 x02 sub def\r
+ /y0 y01 y02 sub def\r
+ /v0x v0x1 v0x2 sub def\r
+ /v0y v0y1 v0y2 sub def\r
+ /mu M1 M2 mul M1 M2 add div def % masse réduite\r
+ /xG M1 x01 mul M2 x02 mul add M1 M2 add div def\r
+ /yG M1 y01 mul M2 y02 mul add M1 M2 add div def\r
+ /vxG M1 v0x1 mul M2 v0x2 mul add M1 M2 add div def\r
+ /vyG M1 v0y1 mul M2 v0y2 mul add M1 M2 add div def\r
+% conditions initiales pour le point réduit\r
+ /xr0 x01 x02 sub def\r
+ /yr0 y01 y02 sub def\r
+ /r0 xr0 dup mul yr0 dup mul add sqrt def\r
+ /v0xr v0x1 v0x2 sub def\r
+ /v0yr v0y1 v0y2 sub def\r
+ /Lc xr0 v0yr mul yr0 v0xr mul sub mu mul def % moment cinetique\r
+ /K xr0 v0yr mul yr0 v0xr mul sub def\r
+ /Energie 0.5 mu mul v0xr dup mul v0yr dup mul add mul % 1/2 mv^2\r
+% Lc dup mul 2 div mu div r0 dup mul div\r
+ G M1 M2 mul mul r0 div sub\r
+ def\r
+% /par xr0 v0yr mul yr0 v0xr mul sub dup mul G Mt mul div def % paramètre de l'ellipse\r
+%%%%%%%%%%%%%%\r
+ % /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe\r
+ /a_2 G M1 M2 add mul mu mul Energie div 2 div neg def %\r
+ % excentricité\r
+ /exc 1 K 2 exp a_2 G mul Mt mul div sub sqrt def\r
+% paramètre\r
+% /par2 a_2 1 exc dup mul sub mul def\r
+% periode\r
+ /periode 6.28 a_2 3 exp G div Mt div sqrt mul def\r
+ }%\r
+%% 0 1 2 3 4 5 6 7\r
+%% x1 y1 x'1 y'1 x2 y2 x'2 y'2\r
+\def\InitCondred{ x0 y0 v0x v0y}\r
+\def\InitCond{ x01 y01 v0x1 v0y1 x02 y02 v0x2 v0y2}\r
+\psset{method=rk4}\r
+\psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=8pt]%\r
+\psequadiff[whichabs=0,whichord=1,\r
+ plotpoints=1000,algebraic,\r
+ tabname=X1Y1]{0}{100}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}\r
+\listplot[unit=1,linecolor=red]{X1Y1 aload pop}\r
+\psequadiff[whichabs=4,whichord=5,\r
+ plotpoints=1000,algebraic,\r
+ tabname=X2Y2]{0}{100}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}\r
+\listplot[unit=1,linecolor=blue]{X2Y2 aload pop}\r
+% mouvement de M2 par rapport à M1\r
+\psequadiff[plotpoints=1000,algebraic,\r
+ plotfuncx=y dup 4 get exch 0 get sub ,\r
+ plotfuncy=dup 5 get exch 1 get sub,\r
+ tabname=XY1]{0}{22.7}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}\r
+\listplot[unit=1,linecolor=green]{XY1 aload pop}\r
+% mouvement de M1 par rapport à M2\r
+\psequadiff[plotpoints=1000,algebraic,\r
+ plotfuncx=y dup 0 get exch 4 get sub ,\r
+ plotfuncy=dup 1 get exch 5 get sub,\r
+ tabname=XY2]{0}{22.7}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}\r
+\listplot[unit=1,linecolor=magenta]{XY2 aload pop}\r
+% mouvement de M1 par rapport à G\r
+%\psequadiff[plotpoints=1000,algebraic,\r
+% plotfuncx=y 0 get\r
+% y 4 get M2 mul\r
+% y 0 get M1 mul add\r
+% Mt div sub ,\r
+% plotfuncy=1 get\r
+% y 1 get\r
+% M1 mul\r
+% y 5 get M2 mul add\r
+% Mt div sub,\r
+% tabname=XY3]{0}{22.7}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}\r
+%\listplot[unit=1]{XY3 aload pop}\r
+% mouvement de M2 par rapport à G\r
+%\psequadiff[plotpoints=1000,algebraic,\r
+% plotfuncx=y 4 get\r
+% y 4 get M2 mul\r
+% y 0 get M1 mul add\r
+% Mt div sub ,\r
+% plotfuncy=5 get\r
+% y 1 get M1 mul\r
+% y 5 get M2 mul add\r
+% Mt div sub,\r
+% tabname=XY4]{0}{22.7}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}\r
+%\listplot[unit=1,linecolor=red]{XY4 aload pop}\r
+% centre de masse\r
+\psequadiff[plotpoints=1000,algebraic,\r
+ plotfuncx=y dup 0 get M1 mul exch\r
+ 4 get M2 mul add\r
+ Mt div,\r
+ plotfuncy=dup 1 get M1 mul exch\r
+ 5 get M2 mul add\r
+ Mt div,\r
+ tabname=XGYG]{0}{100}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}\r
+\listplot[unit=1,linecolor=cyan]{XGYG aload pop}\r
+\psdots(!x01 y01)(!x02 y02)\r
+\psdot[linecolor=red](!xG yG)\r
+\psline{<->}(7,0)(0,0)(0,8)\r
+\rput(-2,0){\psPrintValue[decimals=4]{periode}\hphantom{00000}s}\r
+\end{pspicture}\r
+\end{center}\r
+%\r
+\newpage\r
+\begin{center}\r
+\def\InitCondred{ xr0 yr0 v0xr v0yr}\r
+\begin{pspicture}(-7,-6)(7,8)\r
+\pstVerb{\r
+/arccos {\r
+ dup\r
+ dup mul neg 1 add sqrt\r
+ exch\r
+ atan\r
+} def\r
+ /G 1 def\r
+ /x01 2 def\r
+ /y01 2 def\r
+ /v0x1 .05 def\r
+ /v0y1 0.25 def\r
+ /x02 -2 def\r
+ /y02 -0.5 def\r
+ /v0x2 -0.25 def\r
+ /v0y2 -0.5 def\r
+ /M1 3 def\r
+ /M2 1 def\r
+ /Mt M1 M2 add def\r
+ /mu M1 M2 mul M1 M2 add div def % masse réduite\r
+ /xG0 M1 x01 mul M2 x02 mul add M1 M2 add div def\r
+ /yG0 M1 y01 mul M2 y02 mul add M1 M2 add div def\r
+ /x0 x01 x02 sub def\r
+ /y0 y01 y02 sub def\r
+ /theta_0 y0 x0 atan def\r
+ /v0x v0x1 v0x2 sub def\r
+ /v0y v0y1 v0y2 sub def\r
+ /mu M1 M2 mul M1 M2 add div def % masse réduite\r
+ /xG M1 x01 mul M2 x02 mul add M1 M2 add div def\r
+ /yG M1 y01 mul M2 y02 mul add M1 M2 add div def\r
+ /vxG M1 v0x1 mul M2 v0x2 mul add M1 M2 add div def\r
+ /vyG M1 v0y1 mul M2 v0y2 mul add M1 M2 add div def\r
+% conditions initiales pour le point réduit\r
+ /xr0 x01 x02 sub def\r
+ /yr0 y01 y02 sub def\r
+ /r0 xr0 dup mul yr0 dup mul add sqrt def\r
+ /v0xr v0x1 v0x2 sub def\r
+ /v0yr v0y1 v0y2 sub def\r
+ /v0r_2 v0xr dup mul v0yr dup mul add def\r
+% v0r 2 Mt mul r0 div G mul ge { a faire} if\r
+ /Lc xr0 v0yr mul yr0 v0xr mul sub mu mul def % moment cinetique\r
+ /K xr0 v0yr mul yr0 v0xr mul sub def\r
+ /Energie 0.5 mu mul v0xr dup mul v0yr dup mul add mul % 1/2 mv^2\r
+% Lc dup mul 2 div mu div r0 dup mul div\r
+ G M1 M2 mul mul r0 div sub\r
+ def\r
+% /par xr0 v0yr mul yr0 v0xr mul sub dup mul G Mt mul div def % paramètre de l'ellipse\r
+%%%%%%%%%%%%%%\r
+ % /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe\r
+ /a_2 G M1 M2 add mul mu mul Energie div 2 div neg def %\r
+ % excentricité\r
+ /exc 1 K 2 exp a_2 G mul Mt mul div sub sqrt def\r
+% paramètre\r
+ /par2 a_2 1 exc dup mul sub mul def\r
+% periode\r
+ /periode 6.28 a_2 3 exp G div Mt div sqrt mul def\r
+% phase\r
+ /Phi theta_0 par2 r0 div 1 sub exc div arccos sub def\r
+ }%\r
+%% 0 1 2 3 4 5 6 7\r
+%% x1 y1 x'1 y'1 x2 y2 x'2 y'2\r
+\def\InitCondred{ x0 y0 v0x v0y}\r
+\def\InitCond{ x01 y01 v0x1 v0y1 x02 y02 v0x2 v0y2}\r
+\psset{method=rk4}\r
+%\psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=8pt]%\r
+% mouvement de M1 par rapport à G\r
+\psequadiff[plotpoints=1000,algebraic,\r
+ plotfuncx=y 0 get\r
+ y 4 get M2 mul\r
+ y 0 get M1 mul add\r
+ Mt div sub ,\r
+ plotfuncy=1 get\r
+ y 1 get\r
+ M1 mul\r
+ y 5 get M2 mul add\r
+ Mt div sub,\r
+ tabname=XY3]{0}{23.6}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}\r
+\listplot[unit=1,linecolor=red]{XY3 aload pop}\r
+% mouvement de M2 par rapport à G\r
+\psequadiff[plotpoints=1000,algebraic,\r
+ plotfuncx=y 4 get\r
+ y 4 get M2 mul\r
+ y 0 get M1 mul add\r
+ Mt div sub ,\r
+ plotfuncy=5 get\r
+ y 1 get M1 mul\r
+ y 5 get M2 mul add\r
+ Mt div sub,\r
+ tabname=XY4]{0}{23.6}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}\r
+\listplot[unit=1,linecolor=blue]{XY4 aload pop}\r
+\psline{<->}(7,0)(0,0)(0,8)\r
+\rput(-2,2){\psPrintValue[decimals=4]{periode}\hphantom{0000000}s}\r
+%\parametricplot[plotpoints=360,linestyle=dotted]{0}{360}{%\r
+% /radius par2 1 exc t theta_0 sub cos mul add div def\r
+% radius t cos mul\r
+% radius t sin mul}%\r
+\psdots(!x01 xG0 sub y01 yG0 sub)(!x02 xG0 sub y02 yG0 sub)\r
+\psline(!x01 xG0 sub y01 yG0 sub)(!x02 xG0 sub y02 yG0 sub)\r
+% mouvement de M (masse réduite) par rapport à G\r
+\psequadiff[plotpoints=1000,algebraic,\r
+ plotfuncx=y 4 get\r
+ y 4 get M2 mul\r
+ y 0 get M1 mul add\r
+ Mt div sub\r
+ Mt mul M1 div,\r
+ plotfuncy=5 get\r
+ y 1 get M1 mul\r
+ y 5 get M2 mul add\r
+ Mt div sub\r
+ Mt mul M1 div,\r
+ tabname=XYM]{0}{23.6}{\InitCond}{\GravAlgIIcorps}%\r
+\listplot[unit=1,linecolor=gray!80,linewidth=0.1]{XYM aload pop}\r
+\rput(!x01 xG0 sub y01 yG0 sub){\psline[unit=5,linecolor=red!50]{->}(!v0x1 vxG sub v0y1 vyG sub)}\r
+\rput(!x02 xG0 sub y02 yG0 sub){\psline[unit=5,linecolor=blue!50]{->}(!v0x2 vxG sub v0y2 vyG sub)}\r
+% point "réduit"\r
+\pstVerb{/xr0 x01 xG0 sub Mt mul M2 div neg def\r
+ /yr0 y01 yG0 sub Mt mul M2 div neg def}%\r
+\psdot[linecolor=gray](!xr0 yr0)\r
+\psline(!x01 xG0 sub y01 yG0 sub)(!x02 xG0 sub y02 yG0 sub)(!xr0 yr0)\r
+\uput[d](0,0){$C$}\r
+\uput[r](!x01 xG0 sub y01 yG0 sub){$M_1$}\r
+\uput[dr](!x02 xG0 sub y02 yG0 sub){$M_2$}\r
+\uput[l](!xr0 yr0){$M$}\r
+\rput(!xG0 neg yG0 neg){\psline{<->}(7,0)(0,0)(0,8)\psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=8pt]}\r
+\parametricplot[plotpoints=360,linecolor=white]{0}{360}{\r
+ /radius par2 1 exc t Phi sub cos mul add div def\r
+ radius t cos mul neg\r
+ radius t sin mul neg}%\r
+\end{pspicture}\r
+\end{center}\r
+\end{document}
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Projets / pst-eqdf.git / commitdiff
Les fichiers de Syracuse sont mis à
disposition (sauf mention contraire) selon les termes de la