2 \documentclass[a4paper,fleqn
]{article
}
3 \usepackage[utf8
]{inputenc}
4 \usepackage[T1]{fontenc}
5 \usepackage{amsmath,amssymb
}
6 \usepackage[frenchb
]{babel
}
8 \usepackage[charter
]{mathdesign
}
9 \usepackage[margin=
2.5cm
]{geometry
}
12 \usepackage[svgnames
]{xcolor
}
14 \usepackage[nomessages
]{fp
}
16 \usepackage{pst-plot,pst-solides3d,pst-anamorphosis-add,pst-
3d
}
18 \usepackage[absolute,notitlepage
]{pst-abspos
}
21 \def\epsRoot{C:/Dokumente und Einstellungen/Besitzer/Desktop/bergen/bergen/
}
23 \renewcommand{\ttdefault}{lmtt
}
25 \definecolor{syracuseGRIS
}{HTML
}{C1C1C1
}
26 \definecolor{syracuseVERT
}{HTML
}{029235}
28 \definecolor{sepia
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0.8,
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29 \definecolor{grisclair
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30 \definecolor{BleuCiel
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36 basicstyle=
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37 texcsstyle=*
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66 \renewcommand{\lstlistingname}{Source
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67 \renewcommand{\labelitemi}{$
\bullet$
}
70 \newcommand\cs[1]{\texttt{\char`\\
#1}}
71 \newcommand\file[1]{\texttt{#1}}
76 \def\syracuseTitle{Les anamorphoses : pr\'
{e
}sentation th\'
{e
}orique
}
77 %\def\syracuseGraphic{eiffel2}
82 %% === BEGIN == Page de garde =================================================
87 \begin{pspicture
}(
0,
0)(
21,
29.7)
88 \pspolygon[fillstyle=solid,linecolor=syracuseVERT,fillcolor=syracuseVERT
](
0,
0)(
10.5,
14.85)(
21,
0)
89 \pspolygon[fillstyle=solid,linecolor=syracuseGRIS,fillcolor=syracuseGRIS
](
0,
0)(
21,
29.7)(
0,
29.7)
90 \pspolygon[fillstyle=solid,linecolor=syracuseGRIS!
50,fillcolor=syracuseGRIS!
50](
21,
0)(
10.5,
14.85)(
21,
29.7)
93 \pstPutAbs(
2.5,-
3.75)
{%
94 \includegraphics[scale=
1]{pst-anamorphosis
}
96 \pstPutAbs(
2.5,-
5.25)
{%
97 \LARGE \textbf{\syracuseTitle}
99 \pstPutAbs(
2.5,-
13.5)
{%
100 \begin{pspicture
}(
0,
0)(
12,
12)
101 \rput(
4,
4)
{\includegraphics[height=
8cm
]{Eiffel
}}
102 %\rput(4,4){\includegraphics[height=8cm]{\syracuseGraphic}}
106 \pstPutAbs(
12.5,-
15)
{%
107 \parbox{0.4\textwidth}{\Large\raggedleft
108 {\LARGE\textbf{Contributeurs
}}\\
[0.2cm
]
109 J\"
{u
}rgen
\textsc{Gilg
}\\
110 Manuel
\textsc{Luque
}\\
111 Jean-Michel
\textsc{Sarlat
}
115 \textcolor{white
}{\textbf{\today}}\\
[0.3cm
]
116 \textcolor{white
}{\url{http://melusine.eu.org/syracuse/G/pstricks/
}}\\
117 \includegraphics[scale=
0.4]{logo_syracuse
}
120 %% == END == Page de garde ====================================================
124 \section{L'anamorphose cylindrique
}
126 On place \`
{a
} l'int\'
{e
}rieur du cylindre l'image telle qu'elle doit \^
{e
}tre vue par un observateur regardant dans le miroir cylindrique (on peut la placer \`
{a
} l'ext\'
{e
}rieur, mais il faut que les rayons lumineux rencontrent toujours le cylindre, il faut donc veiller aux dimensions). L'objet anamorphique est <<~l'objet d\'
{e
}form\'
{e
}~>> dont le miroir reconstituera les proportions r\'
{e
}elles.
128 Objet et image ob\'
{e
}issent aux lois de la r\'
{e
}flexion de l'optique g\'
{e
}om\'
{e
}trique :
130 \item rayon incident et rayon r\'
{e
}fl\'
{e
}chi appartiennent \`
{a
} un m\^
{e
}me plan ;
131 \item rayon incident et rayon r\'
{e
}fl\'
{e
}chi sont sym\'
{e
}triques par rapport \`
{a
} la normale au miroir au point d'incidence.
133 \input{fig3d-anacyl.tex
}
134 L'image non d\'
{e
}form\'
{e
}e (celle qui est vue dans le miroir) est plac\'
{e
}e, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de l'objet anamorphique se r\'
{e
}fl\'
{e
}chit sur le miroir et apr\`
{e
}s r\'
{e
}flexion parvient \`
{a
} l'
{\oe}il de notre observateur. L'observateur a l'illusion que le rayon provient du point image. Il faut donc reconstruire math\'
{e
}matiquement la marche d'un tel rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir.
136 L'observateur est suffisamment \'
{e
}loign\'
{e
} du miroir pour pouvoir \^
{e
}tre consid\'
{e
}r\'
{e
} comme ponctuel.
138 Soit $P$ un point de l'image(not\'
{e
} $A'$ dans le sch\'
{e
}ma ci-apr\`
{e
}s), $V$ l'
{\oe}il de l'observateur. Tra
\c{c
}ons un droite $(PV)$ et d\'
{e
}terminons le point d'intersection $I$ avec le cylindre : c'est le point d'incidence.
140 V(x_V,y_V,z_V)
\quad\text{ et
}\quad P(x_P,y_P,
0)
142 L'\'
{e
}quation param\'
{e
}trique de la droite $(PV)$ s'\'
{e
}crit $
\overrightarrow{IV
}=
\rho\overrightarrow{PV
}$:
143 \begin{equation
}\label{eq:paracyl
}
146 x_V-x_I&=&
\rho(x_V-x_P)\\
147 y_V-y_I&=&
\rho(y_V-y_P)\\
148 z_V-z_I&=&
\rho(z_V-
0)
154 x_I&=&x_V(
1-
\rho)+
\rho x_P\\
155 y_I&=&y_V(
1-
\rho)+
\rho y_P\\
161 \begin{pspicture
}(-
4,-
0.5)(
6.5,
8)
172 \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!
30](G')(G)(S)(S')
173 \psaxes[ticks=none,labels=none
]{->
}(
0,
0)(-
4,
0)(
6.5,
7.5)
175 \uput[90](
0,
7.5)
{$z$
}
182 \psline[linestyle=dashed
](
3;
0)
%
184 \psarc[doubleline=true
](
0,
0)
{1}{-
90}{-
54.46}%
185 \psarc[doubleline=true
](
0,
0)
{1}{54.46}{90}
186 \uput[72](
1.2;
72)
{$
\varepsilon$
}%
187 \uput[-
72](
1.2;-
72)
{$
\varepsilon$
}%
188 \rput{-
90}(
0,
0)
{\psframe(
0.3,
0.3)
}
190 \psline[linecolor=red
](V)(I)(P')
191 \pcline[nodesepB=
1.5,linecolor=red,arrowsize=
0.175,arrowinset=
0.075]{->>
}(P')(I)
192 \pcline[nodesepB=
2.5,linecolor=red,arrowsize=
0.175,arrowinset=
0.075]{->>
}(I)(V)
198 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{|<->|
}(
0,-
0.2)(
1,-
0.2)
199 \uput[-
90](
0.5,-
0.2)
{$r_P$
}
200 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{<->
}(
0,
2.8)(
3,
2.8)
201 \uput[-
90](
1.5,
2.8)
{$r_I=R$
}
204 Le point $I$ appartenant au cylindre, ses coordonn\'
{e
}es v\'
{e
}rifient la relation :
205 \begin{equation
}\label{eq:cylindre
}
208 (
\ref{eq:paracyl
}) en (
\ref{eq:cylindre
}) et apr\`
{e
}s d\'
{e
}veloppement, on obtient l'\'
{e
}quation du second degr\'
{e
} en $
\rho$:
210 \left(x_V(
1-
\rho)+
\rho x_P
\right)^
2+
\left(y_V(
1-
\rho)+
\rho y_P
\right)^
2=R^
2\\
211 x_V^
2(
1-
2\rho+
\rho^
2)+
2(
1-
\rho)
\rho x_Vx_P+
\rho^
2 x_P^
2+y_V^
2(
1-
2\rho+
\rho^
2)+
2(
1-
\rho)
\rho y_Vy_P+
\rho^
2 y_P^
2=R^
2\\
212 (x_V^
2+y_V^
2-
2x_Vx_P-
2y_Vy_P)
\rho^
2+
2(-x_V^
2+x_Vx_P-y_V^
2+y_Vy_P)
\rho+x_V^
2+y_V^
2=R^
2
222 a&=&(x_V-x_P)^
2+(y_V-y_P)^
2\\
223 2b'&=&x_Vx_P+y_Vy_P-x_V^
2-y_V^
2\\
228 La r\'
{e
}solution de cette \'
{e
}quation nous donne les solutions classiques:
232 \rho'&=&
\dfrac{-b'+
\sqrt{\Delta'
}}{a
}\\
[0.5cm
]
233 \rho''&=&
\dfrac{-b'-
\sqrt{\Delta'
}}{a
}
236 \qquad \Delta'=b'^
2-ac
238 On retiendra la plus petite valeur positive des deux, que par la suite j'appelle $
\rho$.
240 $(IV)$ repr\'
{e
}sente le rayon r\'
{e
}fl\'
{e
}chi par le miroir. Le rayon incident est d\'
{e
}fini par la droite sym\'
{e
}trique de $(IV)$ par rapport \`
{a
} la normale au miroir en $I$. Je cherche le sym\'
{e
}trique de $V$, nomm\'
{e
} $V'$ par rapport \`
{a
} cette normale $(IN)$. Ce point $V'$ remplit deux conditions :
242 \item $
\overrightarrow{IV
}+
\overrightarrow{IV'
}=k
\overrightarrow{IN
}$
243 \item $
\overrightarrow{VV'
}.
\overrightarrow{IN
}=
0$
245 La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur $
\overrightarrow{IN
}(x_I,y_I,
0)$
247 La premi\`
{e
}re condition se traduit par :
251 x_V-x_I+x_
{V'
}-x_I&=&kx_I\\
252 y_V-x_I+y_
{V'
}-y_I&=&ky_I\\
253 z_V-z_I+z_
{V'
}-z_I&=&
0
259 x_
{V'
}&=&kx_I+
2x_I-x_V\\
260 y_
{V'
}&=&ky_I+
2y_I-y_V\\
265 La deuxi\`
{e
}me par :
267 (x_
{V'
}-x_V)x_I+(y_
{V'
}-y_V)y_I=
0
269 En rempla
\c{c
}ant $x_
{V'
}$ et $y_
{V'
}$ tir\'
{e
}s de la premi\`
{e
}re condition dans la deuxi\`
{e
}me :
271 k(x_I^
2+y_I^
2)+
2x_I^
2-
2x_Vx_I+
2y_I^
2-
2y_Vy_I=
0\\
272 kR^
2+
2R^
2=
2(x_Vx_I+y_Vy_I)\\
273 k+
2=
\dfrac{2}{R^
2}(x_Vx_I+y_Vy_I)
275 Les coordonn\'
{e
}es de $V'$ s'en d\'
{e
}duisent :
279 x_
{V'
}&=&(k+
2)x_I-x_V\\
280 y_
{V'
}&=&(k+
2)y_I-y_V\\
281 z_
{V'
}&=&z_V(
1-
2\rho)
285 Il reste \`
{a
} trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan horizontal $z=
0$.
287 \'Equation param\'
{e
}trique de $(IV')$, $M$ \'
{e
}tant un point courant : $
\overrightarrow{MV'
}=
\alpha\overrightarrow{IV'
}$
291 x_
{V'
}-x&=&
\alpha(x_
{V'
}-x_I)\\
292 y_
{V'
}-y&=&
\alpha(y_
{V'
}-y_I)\\
293 z_
{V'
}-z&=&
\alpha(z_
{V'
}-z_I)
297 $z=
0\Longrightarrow \alpha=
\dfrac{z_
{V'
}}{z_
{V'
}-z_I
}$ soit
299 \alpha=
\dfrac{1-
2\rho}{-
\rho}
301 En rempla
\c{c
}ant $
\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonn\'
{e
}es du point $P'$ de l'objet anamorphique.
305 x_
{P'
}&=&x_
{V'
}-
\alpha(x_
{V'
}-x_I)\\
306 y_
{P'
}&=&y_
{V'
}-
\alpha(y_
{V'
}-y_I)
310 Cette s\'
{e
}rie de calculs doit \^
{e
}tre appliqu\'
{e
}e \`
{a
} tous les points de l'image <<~normale~>> afin d'obtenir l'objet anamorphique (d\'
{e
}form\'
{e
}) dont le miroir <<~redressera~>> la forme.
312 On notera que
\textit{la cote de l'observateur $z_V$ n'intervient pas
}. On le comprend ais\'
{e
}ment en faisant un dessin du plan vertical passant par l'
\oe{}il et l'axe du cylindre miroir. La position de la projection horizontale \'
{e
}tant fix\'
{e
}e $(x_V,y_V)$, quelle que soit la valeur de $z_V$, $A$ et $A'$ \'
{e
}tant sym\'
{e
}triques par rapport \`
{a
} la g\'
{e
}n\'
{e
}ratrice du miroir appartenant au plan vertical choisi, si $A'$ est donn\'
{e
} alors $A$ est fix\'
{e
} quelque soit~$z_V$.
316 \section{L'anamorphose conique
}
318 Le principe est identique \`
{a
} celui de l'anamorphose cylindrique : imaginons un rayon lumineux provenant de l'objet <<~anamorphique~>>, se r\'
{e
}fl\'
{e
}chissant sur le miroir conique et parvenant \`
{a
} l'
{\oe}il de l'observateur plac\'
{e
} au-dessus et dans l'axe du c\^
{o
}ne \`
{a
} une position suffisamment haute pour que l'observateur puisse \^
{e
}tre consid\'
{e
}r\'
{e
} comme ponctuel. Ainsi l'observateur aura l'illusion d'observer l'image reconstitu\'
{e
}e par le miroir conique. Image et objet sont dans le plan horizontal.
319 \input{fig3d-anacon.tex
}
320 Il s'agit de d\'
{e
}terminer en premier, l'intersection de $(VP)$ avec le c\^
{o
}ne, qu'on appelle $I$ (point d'incidence). Les coordonn\'
{e
}es de $V$, $S$ et $P$ sont not\'
{e
}es : $V(
0,
0,z_V)$, $S(
0,
0,z_S)$ et $P(x_P,y_P,
0)$.
322 L'\'
{e
}quation param\'
{e
}trique de la droite $(PV)$ s'\'
{e
}crit $
\overrightarrow{IV
}=
\lambda\overrightarrow{PV
}$:
326 0-x_I&=&
\lambda(
0-x_P)\\
327 0-y_I&=&
\lambda(
0-y_P)\\
328 z_V-z_I&=&
\lambda(z_V-
0)
342 r_I^
2=x_I^
2+y_I^
2\quad\textrm{et
}\quad r_P^
2=x_P^
2+y_P^
2\quad\textrm{et
}\quad |
\overrightarrow{OG
}|=R
344 Le point $I$ appartenant au c\^
{o
}ne, ses coordonn\'
{e
}es v\'
{e
}rifient la relation (th\'
{e
}or\`
{e
}me de Thal\`
{e
}s):
346 \frac{R
}{z_S
}&=
\frac{r_I
}{z_S-z_I
}\\
347 \frac{R
}{z_S
}&=
\frac{\lambda r_P
}{z_S-(
1-
\lambda)z_P
}\\
348 \lambda&=
\frac{R(z_S-z_V)
}{r_Pz_S-R z_V
}
351 \begin{pspicture
}(-
4,-
1)(
6.5,
7.75)
360 \psdots[dotstyle=|
](P')
363 \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!
30](G')(G)(S)
364 \psaxes[ticks=none,labels=none
]{->
}(
0,
0)(-
4,
0)(
5.5,
10.25)
366 \uput[90](
0,
10.25)
{$z$
}
373 \psline[linestyle=dashed
](
4;
30.96)
374 \uput[15.5](
4;
30.1)
{$N$
}
375 \rput{-
59.036}(
0,
0)
{\psframe(
0.5,
0.5)
}
376 \psarc[doubleline=true
](
0,
0)
{1}{101.31}{120.964}
377 %\psarc[doubleline=true](0,0){1}{-79.09}{-59.036}
378 \psarc[doubleline=true
](
0,
0)
{1.2}{-
59.036}{-
39.38}
381 \uput[-
50](I1)
{$
\varepsilon$
}
382 \uput[112](I2)
{$
\varepsilon$
}
384 \rput(P')
{\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray
](
0,
0)
{1}{140.175}{180}
385 \uput[160](
1;
160)
{$
\varepsilon'$
}}
386 \rput(S)
{\psarc[linecolor=gray,linewidth=
2\pslinewidth](
0,
0)
{1}{-
90}{-
59.036}
387 \uput[-
75](
1;-
75)
{$
\theta$
}}
388 \rput(V)
{\psarc(
0,
0)
{2}{-
90}{-
78.69}
389 \uput[-
80](
2;-
85)
{$
\beta$
}}
390 \psline[linecolor=red
](V)(I)(P')
391 \pcline[nodesepB=
1.5,linecolor=red,arrowsize=
0.175,arrowinset=
0.075]{->>
}(P')(I)
392 \pcline[nodesepB=
4,linecolor=red,arrowsize=
0.175,arrowinset=
0.075]{->>
}(I)(V)
399 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{|<->|
}(
0,-
0.2)(
2,-
0.2)
400 \uput[-
90](
1,-
0.2)
{$r_P$
}
401 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{|<->|
}(
0,-
0.8)(
3,-
0.8)
402 \uput[-
90](
1.5,-
0.8)
{$R$
}
403 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{<->
}(
1.5,
2.5)(
0,
2.5)
404 \uput[-
90](
0.75,
2.5)
{$r_I$
}
405 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{<->|
}(-
0.2,
0)(-
0.2,
5)
406 \uput[180](-
0.2,
2.5)
{$z_S$
}
407 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{<->|
}(-
1,
0)(-
1,
10)
408 \uput[180](-
1,
5)
{$z_V$
}
409 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth,linestyle=dashed
](
1.5,
2.5)(
1.5,
0)
412 Pour construire le rayon incident, $(P'I)$, $(IV)$ est le rayon r\'
{e
}fl\'
{e
}chi, d\'
{e
}terminons~$
\varepsilon'$.
414 Un raisonnement g\'
{e
}om\'
{e
}trique \'
{e
}l\'
{e
}mentaire nous montre que :
416 \varepsilon'=
90^
\circ-
2\theta+
\beta
420 \beta=
\arctan\frac{r_P
}{z_V
}
424 \theta=
\arctan\frac{R
}{z_S
}\quad\textrm{demi-angle au sommet du c\^
{o
}ne
}
426 Dans le plan horizontal, les coordonn\'
{e
}es de $P'$ sont :
430 x_
{P'
}&=&x_I+
\dfrac{z_I
}{\tan \varepsilon'
}\\
[0.5cm
]
431 y_
{P'
}&=&y_I+
\dfrac{z_I
}{\tan \varepsilon'
}\\
438 \section{L'anamorphose sph\'
{e
}rique
}
440 On place \`
{a
} l'int\'
{e
}rieur de la demi-sph\`
{e
}re l'image telle qu'elle doit \^
{e
}tre vue par un observateur regardant dans le miroir sph\'
{e
}rique (on peut la placer \`
{a
} l'ext\'
{e
}rieur, mais il faut que les rayons lumineux rencontrent toujours la sph\`
{e
}re, il faut donc veiller aux dimensions). L'objet anamorphique est <<~l'objet d\'
{e
}form\'
{e
}~>> dont le miroir reconstituera les proportions r\'
{e
}elles.
\par Objet et image ob\'
{e
}issent aux lois de la r\'
{e
}flexion de l'optique g\'
{e
}om\'
{e
}trique :
442 \item rayon incident et rayon r\'
{e
}fl\'
{e
}chi appartiennent \`
{a
} un m\^
{e
}me plan ;
443 \item rayon incident et rayon r\'
{e
}fl\'
{e
}chi sont sym\'
{e
}triques par rapport \`
{a
} la normale au miroir au point d'incidence.
445 \input{fig3d-anasphere.tex
}
446 L'image non d\'
{e
}form\'
{e
}e (celle qui est vue dans le miroir) est plac\'
{e
}e, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de l'objet anamorphique se r\'
{e
}fl\'
{e
}chit sur le miroir et apr\`
{e
}s r\'
{e
}flexion parvient \`
{a
} l'
{\oe}il de notre observateur. L'observateur a l'illusion que le rayon provient du point image. Il faut donc reconstruire math\'
{e
}matiquement la marche d'un tel rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir.
448 L'observateur est suffisamment \'
{e
}loign\'
{e
} du miroir pour pouvoir \^
{e
}tre consid\'
{e
}r\'
{e
} comme ponctuel.
450 Soit $P$ un point de l'image, $V$ l'
{\oe}il de l'observateur. Tra
\c{c
}ons un droite $PV$ et d\'
{e
}terminons le point d'intersection $I$ avec la sph\`
{e
}re : c'est le point d'incidence.
452 V(x_V,y_V,z_V)
\quad\text{ et
}\quad P(x_P,y_P,
0)
456 \begin{pspicture
}(-
4,-
0.5)(
8,
5.5)
457 \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!
30](
0,
0)
{2}{0}{180}
458 \psaxes[labels=none,ticks=none
]{->
}(
0,
0)(-
3,
0)(
7.5,
5)
462 \pnode(
0,
0)
{O
}\uput[dl
](O)
{$O$
}
463 \pnode(!/alpha
15 def /xI
2 alpha cos mul def /yI
2 alpha sin mul def /beta yI xI
1.5 sub atan def xI yI)
{I
}
465 \rput(I)
{\pnode(!beta cos
5 mul beta sin
5 mul)
{V
}}
466 \psline[linecolor=red
](I)(V)
467 \rput(I)
{\psarc[doubleline=true
](
0,
0)
{1}{!alpha
}{!beta
}
468 \psarc[doubleline=true
](
0,
0)
{1.2}{!
2 alpha mul beta sub
}{!alpha
}}
469 \uput{1.2}[!alpha beta add
2 div
](I)
{$
\varepsilon$
}
470 \uput{1.4}[!
3 alpha mul beta sub
2 div
](I)
{$
\varepsilon$
}
471 \pnode(!yI neg xI
2 alpha mul beta sub tan mul add
2 alpha mul beta sub tan div
0)
{M
}
472 \psline[linecolor=red
](M)(I)
473 \pcline[nodesepB=
0.5,linecolor=red,arrowsize=
0.175,arrowinset=
0.075]{->>
}(M)(I)
474 \pcline[nodesepB=
2,linecolor=red,arrowsize=
0.175,arrowinset=
0.075]{->>
}(I)(V)
475 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{<->
}(O)(I)
477 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{<->
}(O)(V)
478 \uput[75](
3,
2.7)
{$r_V$
}
479 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth]{|<->|
}(
0,-
0.3)(
1.5,-
0.3)
480 \uput[-
90](
0.75,-
0.3)
{$r_P$
}
482 \psline[linestyle=dashed
](
5;
15)
484 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth,linecolor=gray
](
1.5;
105)
485 \uput[105](
1.5;
105)
{$T$
}
486 \psline[linewidth=
0.5\pslinewidth,linecolor=gray
](
1.25;-
75)
487 \rput{-
75}(
0,
0)
{\psframe(
0.3,
0.3)
}
499 L'\'
{e
}quation param\'
{e
}trique de la droite $(PV)$ s'\'
{e
}crit $
\overrightarrow{IV
}=
\lambda\overrightarrow{PV
}$:
500 \begin{equation
}\label{eq:para
}
503 x_V-x_I&=&
\lambda(x_V-x_P)\\
504 y_V-y_I&=&
\lambda(y_V-y_P)\\
505 z_V-z_I&=&
\lambda(z_V-
0)
511 x_I&=&x_V(
1-
\lambda)+
\lambda x_P\\
512 y_I&=&y_V(
1-
\lambda)+
\lambda y_P\\
519 r_V^
2=x_V^
2+y_V^
2+z_V^
2\quad\textrm{et
}\quad r_P^
2=x_P^
2+y_P^
2
521 Le point $I$ appartenant \`
{a
} la sph\`
{e
}re, ses coordonn\'
{e
}es v\'
{e
}rifient la relation :
522 \begin{equation
}\label{eq:sphere
}
523 x_I^
2+y_I^
2+z_I^
2=R^
2
525 (
\ref{eq:para
}) en (
\ref{eq:sphere
})
527 \left(x_V+
\lambda(x_P-x_V)
\right)^
2+
\left(y_V+
\lambda(y_P-y_V)
\right)^
2+
\left((
1-
\lambda)z_V
\right)^
2=R^
2\\
528 x_V^
2+
2\lambda x_V(x_P-x_V)+
\lambda^
2(x_P-x_V)^
2+y_V^
2+
2\lambda y_V(y_P-y_V) +
\lambda^
2(y_P-y_V)^
2+(
1-
2\lambda+
\lambda^
2)z_V^
2=R^
2
530 Apr\`
{e
}s d\'
{e
}veloppement, on obtient l'\'
{e
}quation du second degr\'
{e
} en
533 \lambda^
2\left((x_P-x_V)^
2+(y_P-y_V)^
2+z_V^
2\right)+
2\lambda\left(x_V(x_P-x_V)+y_V(y_P-y_V)-z_V^
2\right)+x_V^
2+y_V^
2+z_V^
2-
535 \lambda^
2\left(x_V^
2+y_V^
2+z_V^
2+x_P^
2+y_P^
2-
2x_Px_V-
2y_Py_V
\right)+
2\lambda\left(-x_V^
2-y_V^
2-z_V^
2+x_Px_V+y_Py_V
\right)+x_V^
2+y_V^
2+z_V^
2-
540 a
\lambda^
2+
2b'
\lambda+c=
0
542 donne pour le coefficient $a$ de $
\lambda^
2$ :
544 a=x_V^
2+y_V^
2+z_V^
2+x_P^
2+y_P^
2-
2x_Px_V-
2y_Py_V
546 Pour le coefficient $
2b'$ de $
\lambda$ :
548 2b'=-x_V^
2-y_V^
2-z_V^
2+x_Px_V+y_Py_V
550 Pour le coefficient $c$ :
552 c=x_V^
2+y_V^
2+z_V^
2-R^
2
556 a
\lambda^
2+
2b'
\lambda+c=
0
562 a&=&x_V^
2+y_V^
2+z_V^
2+x_P^
2+y_P^
2-
2x_Px_V-
2y_Py_V\\
563 2b'&=&-x_V^
2-y_V^
2-z_V^
2+x_Px_V+y_Py_V\\
564 c&=&x_V^
2+y_V^
2+z_V^
2-R^
2
570 a&=&r_V^
2+r_P^
2-
2x_Px_V-
2y_Py_V\\
571 2b'&=&-r_V^
2+x_Px_V+y_Py_V\\
576 La r\'
{e
}solution de cette \'
{e
}quation nous donne les solutions classiques:
580 \lambda'&=&
\dfrac{-b'+
\sqrt{\Delta'
}}{a
}\\
[0.5cm
]
581 \lambda''&=&
\dfrac{-b'-
\sqrt{\Delta'
}}{a
}
584 \qquad \Delta'=b'^
2-ac
586 On retiendra la valeur positive.
% et \texttt{Coeff1} dans le programme.
588 $(IV)$ repr\'
{e
}sente le rayon r\'
{e
}fl\'
{e
}chi par le miroir. Le rayon incident est d\'
{e
}fini par la droite sym\'
{e
}trique de $(IV)$ par rapport \`
{a
} la normale au miroir en $I$. Je cherche le sym\'
{e
}trique de $V$, nomm\'
{e
} $V'$ par rapport \`
{a
} cette normale $(IN)$. Ce point $V'$ remplit deux conditions :
590 \item $
\overrightarrow{IV
}+
\overrightarrow{IV'
}=k
\overrightarrow{IN
}$
591 \item $
\overrightarrow{VV'
}.
\overrightarrow{IN
}=
0$
593 La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur $
\overrightarrow{IN
}(x_I,y_I,z_I)$
595 La premi\`
{e
}re condition se traduit par :
599 x_V-x_I+x_
{V'
}-x_I&=&kx_I\\
600 y_V-x_I+y_
{V'
}-y_I&=&ky_I\\
601 z_V-z_I+z_
{V'
}-z_I&=&kz_I
607 x_
{V'
}&=&kx_I+
2x_I-x_V\\
608 y_
{V'
}&=&ky_I+
2y_I-y_V\\
609 z_
{V'
}&=&kz_I+
2z_I-z_V
613 La deuxi\`
{e
}me par :
615 (x_
{V'
}-x_V)x_I+(y_
{V'
}-y_V)y_I+(z_
{V'
}-z_V)z_I=
0
617 En rempla
\c{c
}ant $x_
{V'
}$, $y_
{V'
}$ et $z_
{V'
}$ tir\'
{e
}s de la premi\`
{e
}re condition dans la deuxi\`
{e
}me :
619 k(x_I^
2+y_I^
2+y_I^
2)+
2x_I^
2-
2x_Vx_I+
2y_I^
2-
2y_Vy_I+
2z_I^
2-
2z_Vz_I=
0\\
620 kR^
2+
2R^
2=
2(x_Vx_I+y_Vy_I+z_Vz_I)\\
621 k+
2=
\dfrac{2}{R^
2}(x_Vx_I+y_Vy_I+z_Vz_I)
623 Les coordonn\'
{e
}es de $V'$ s'en d\'
{e
}duisent :
627 x_
{V'
}&=&(k+
2)x_I-x_V\\
628 y_
{V'
}&=&(k+
2)y_I-y_V\\
629 z_
{V'
}&=&(k+
2)z_I-z_V
633 Il reste \`
{a
} trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan horizontal $z=
0$.
635 \'Equation param\'
{e
}trique de $(IV')$, $M$ \'
{e
}tant un point courant : $
\overrightarrow{MI
}=
\alpha\overrightarrow{V'I
}$
639 x_I-x&=&
\alpha(x_I-x_
{V'
})\\
640 y_I-y&=&
\alpha(y_I-y_
{V'
})\\
641 z_I-z&=&
\alpha(z_I-z_
{V'
})
645 $z=
0\Longrightarrow \alpha=
\dfrac{z_
{I
}}{z_I-z_
{V'
}}$.
647 En rempla
\c{c
}ant $
\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonn\'
{e
}es du point $P'$ de l'objet anamorphique.
651 x_
{P'
}&=&x_I-
\alpha(x_I-x_
{V'
})\\
652 y_
{P'
}&=&y_I-
\alpha(y_I-y_
{V'
})\\
657 Cette s\'
{e
}rie de calculs doit \^
{e
}tre appliqu\'
{e
}e \`
{a
} tous les points de l'image <<~normale~>> afin d'obtenir l'objet anamorphique (d\'
{e
}form\'
{e
}) dont le miroir <<~redressera~>> la forme.
659 \textbf{Remarque
} : l'image doit se former du c\^
{o
}t\'
{e
} de l'observateur \`
{a
} l'int\'
{e
}rieur du miroir, plus pr\`
{e
}s du bord du miroir que du centre. Si on d\'
{e
}place le point $P$ vers $O$, il arrive un moment o\`
{u
} le rayon r\'
{e
}fl\'
{e
}chi part au-dessus de l'horizontale et ne rencontre plus le plan horizontal. L'anamorphose n'est plus possible et pour les calculs c'est le CRASH !
663 \section{La perspective
}
665 Dans le livre de Jurgis Baltru
\v{s
}a\"
{\i}tis
\footnote{ \textit{Anamorphoses : les perspectives d\'
{e
}prav\'
{e
}es
} en livre de poche chez Flammarion.
}, on trouve le principe de la <<~
\textit{costruzione legittima
}~>> avec un sch\'
{e
}ma de L\'
{e
}onard de Vinci (
1492) et des sch\'
{e
}mas anamorphiques de Niceron (
1658). Je cite page
58 :
666 \begin{quote
}\itshape
667 <<~Rappelons en quelques mots quels ont \'
{e
}t\'
{e
} le proc\'
{e
}d\'
{e
}s utilis\'
{e
}s par les artistes pour l'ordonnancement de leurs tableaux en perspective normale. La premi\`
{e
}re ligne trac\'
{e
}e est celle de l'horizon \`
{a
} la hauteur de l'
\oe{}il. Deux points y sont ensuite fix\'
{e
}s : au milieu le point principal vers o\`
{u
} convergent toutes les lignes droites parall\`
{e
}les qui s'\'
{e
}loignent en profondeur ; sur la m\^
{e
}me horizontale et \`
{a
} la m\^
{e
}me distance du point principal que l'
\oe{}il, en face de la composition -- le point de distance, vers lequel convergent les diagonales.~>>
670 \begin{pspicture
}(-
5,-
3)(
5,
14.25)
671 \psset{ua=
2,F=
10,D=
4,type=perspective
}
672 \psframe*
[linecolor=BleuCiel
](-
5,
10)(
5,
13)
673 \psframe*
[linecolor=OrangePale
](-
5,
2)(
5,
10)
674 \psline[arrowinset=
0,arrowsize=
2mm
]{->
}(
0,
14)
675 \psline[arrowinset=
0,arrowsize=
2mm
]{->
}(
7,
0)
682 \uput[ur
](F')
{$
{F'
}$
}
683 \rput(
0,
12)
{\multido{\n=
22.5+
45.0}{8}{%
684 \psline[linecolor=yellow
](
1;
\n)
}%
685 \pscircle[linestyle=none,fillstyle=gradient,gradmidpoint=
0,gradend=yellow,gradbegin=gray
]{0.5}}
686 \multido{\i=-
2+
1}{5}{%
687 \pnode(!
\i\space -
2)
{A
}
688 \pnode(!
\i\space 2)
{B
}
692 \multido{\i=-
2+
1}{5}{%
695 \pslineA[linecolor=blue
](A)(B)
696 \psline[linecolor=blue
](A)(B)
724 \psline[linecolor=red
](A)(F')
725 \psline[linecolor=red
](P)(F)
726 \psline[linecolor=lightgray
](P)(F')
727 \psline[linecolor=lightgray
](Q)(F')
728 \psline[linecolor=lightgray
](R)(F')
729 \psline[linecolor=lightgray
](S')(F')
730 \psline[linecolor=lightgray
](N2')(F')
731 \psline[linecolor=lightgray
](N3')(F')
734 \uput[ul
](A')
{$
{A'
}$
}
735 \uput[ur
](B')
{$
{B'
}$
}
740 \uput[ul
](C')
{$
{C'
}$
}
741 \uput[ur
](D')
{$
{D'
}$
}
743 \uput[dr
](O')
{$
{O'
}$
}
744 \psline{<->|
}(-
3,
2)(-
3,
10)
746 \pcline{|<->|
}(F)(F')
748 \psdots(A)(B)(C)(D)(A')(B')(C')(D')(P)(P')(F)(F')(O)(O')
749 \psdots[linecolor=blue
](N1)(N1')
750 \uput[dl
](N1)
{$
\blue {N_1
}$
}
751 \uput[dl
](N1')
{$
\blue {N_1'
}$
}
752 \psdots[linecolor=gray
](M2)(M2')
753 \uput[dr
](M2)
{\tiny $
\gray {(X,Y)
}$
}
754 \uput[dr
](M2')
{\tiny $
\gray {(x',y')
}$
}
755 \psdots[linecolor=red
](M1')
756 \uput[dr
](M1')
{\tiny $
\red {(
\alpha_1,
\beta_1)
}$
}
764 \item $A
\longrightarrow A'$
765 \item $B
\longrightarrow B'$
766 \item $C
\longrightarrow C'$
767 \item $D
\longrightarrow D'$
768 \item $O
\longrightarrow O'$
769 \item $M_1
\longrightarrow M_1'$
770 \item $M_2
\longrightarrow M'_2$
772 D\'
{e
}terminons les coordonn\'
{e
}es $(
\alpha_1,
\beta_1)$ de l'intersection de $(PF)$ avec $(AF')$.
774 Posons que les coordonn\'
{e
}es des points essentiels sont :
784 \'Equation de $(AF')$ :
786 \frac{y-f
}{x-e
}=
\frac{a-f
}{-a-e
}\Longrightarrow x(a-f)+y(a+e)-a(f+e)=
0
788 \'Equation de $(PF)$ :
790 \frac{x-
0}{y-f
}=
\frac{X-
0}{a-f
}\Longrightarrow x(a-f)-yX+fX=
0
792 Intersection $(PF)
\bigcap (AF')$
794 \alpha_1=
\frac{Xe
}{X+a+e
}\qquad\beta_1=
\frac{a(f+e)+fX
}{X+a+e
}
796 Si on prend maintenant, un point d'ordonn\'
{e
}e $Y
\neq X$ par exemple $N_1$ dont l'image $N'_1$ se situe toujours sur $(PF)$, mais \`
{a
} l'intersection de $PF$ avec la parall\`
{e
}le \`
{a
} $x'Ox$ men\'
{e
}e par le point-image du point de coordonn\'
{e
}e $(Y,Y)$ (ici $O'$ qui est l'image de $O(
0,
0)$).
798 Il s'agit de d\'
{e
}terminer l'intersection de $(PF)$ avec la droite d'\'
{e
}quation :
800 y=
\beta_2=
\frac{a(f+e)+fY
}{Y+a+e
}
802 Apr\`
{e
}s calculs et simplifications, on trouve pour l'abscisse :
804 \alpha_2=
\frac{Xe
}{Y+a+e
}
806 En r\'
{e
}sum\'
{e
} si dans le rep\`
{e
}re $Oxy$, on appelle $(
{\red X
},
{\red Y
})$ les coordonn\'
{e
}es d'un point-objet et $(
{\blue x'
},
{\blue y'
})$ les coordonn\'
{e
}es du point image dans la transformation
\textit{anamorphose oblique
} ou
\textit{perspective
}, les formules qui permettent de passer de l'objet \`
{a
} l'image s'\'
{e
}crivent :
810 {\blue x'
}&=&
\displaystyle\frac{{\red X
}e
}{{\red Y
}+a+e
}\\
[0.5cm
]
811 {\blue y'
}&=&
\displaystyle\frac{a(f+e)+f
{\red Y
}}{{\red Y
}+a+e
}
Projets / pst-anamorphosis.git / blob
Les fichiers de Syracuse sont mis à
disposition (sauf mention contraire) selon les termes de la