--- /dev/null
+
+\documentclass[12pt]{article}
+\usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}
+\usepackage[latin1]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{amsmath,amssymb}
+\usepackage[garamond]{mathdesign}
+\usepackage{pst-anamorphosis-add}
+\usepackage{pst-solides3d}
+\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
+\def\Cadre{{%
+\multido{\n=-2.0+0.5}{9}{%
+ \pnode(! \n\space 0){A}
+ \pnode(! \n\space 5){B}
+ \psline(A)(B)
+ \pslineA(A)(B)
+ }
+\multido{\N=0+0.5}{11}{%
+ \pnode(!-2 \N){A}
+ \pnode(!2 \N){B}
+ \pslineA(A)(B)
+ \psline(A)(B)
+ }}}
+\makeatletter
+%% === Echelle pour l'image -----------------------------------------------
+\define@key[psset]{pst-solides3d}{unitPicture}{\edef\psk@solides@unitPicture{#1 }}
+\psset{unitPicture=28.45}
+%% === nombre de divisions des segments -----------------------------------------------
+\define@key[psset]{pst-solides3d}{divisions}{\edef\psk@solides@divisions{#1 }}
+\psset{divisions=10}
+%%
+\def\psImage{\pst@object{psImage}}
+\def\psImage@i{\@ifnextchar({\psImage@ii}{\psImage@ii(0,0)}}
+\def\psImage@ii(#1,#2){{%
+ \ifPst@solidmemory\use@par\else\begin@ClosedObj\fi%
+\addto@pscode{
+%% === adapté de Jean-Michel Sarlat dans pst-anamorphosis ----------------------
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%% === Capture de commandes de systemdict --------------------------------------
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+/LINETO { systemdict /lineto get exec } def
+/MOVETO { systemdict /moveto get exec } def
+/CURVETO { systemdict /curveto get exec } def
+/CLOSEPATH { systemdict /closepath get exec } def
+/RLINETO { systemdict /rlineto get exec } def
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%% === Transformation des commandes de construction des path(s) ----------------
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+/tx@projectionDict 20 dict def
+tx@projectionDict begin
+/moveto {
+ /s@y ED /s@x ED /c@x s@x def /c@y s@y def
+ s@x unit_image div
+ s@y unit_image div
+ 2 copy
+ sinPhi mul neg exch cosPhi mul add % x'
+ 3 1 roll
+ cosPhi mul exch sinPhi mul add % y'
+ /Ypoint exch def
+ /Xpoint exch def
+ projectionimage
+ MOVETO
+} bind def
+/lineto {
+ /c@yt ED /c@xt ED /dx c@xt c@x sub ND div def /dy c@yt c@y sub ND div def
+ 1 1 ND {dup dx mul c@x add exch dy mul c@y add
+%/Ypoint exch unit_image div def
+%/Xpoint exch unit_image div def
+ unit_image div exch
+ unit_image div exch
+ 2 copy
+ sinPhi mul neg exch cosPhi mul add % x'
+ 3 1 roll
+ cosPhi mul exch sinPhi mul add % y'
+ /Ypoint exch def
+ /Xpoint exch def
+ projectionimage
+ LINETO} for
+ /c@x c@xt def /c@y c@yt def
+} bind def
+/closepath {
+ s@x s@y lineto CLOSEPATH
+} bind def
+/curveto {
+ /c@yt ED /c@xt ED
+ /c@yb ED /c@xb ED
+ /c@ya ED /c@xa ED
+ 1 1 NDC {
+ NDC div /s ED 1 s sub /t ED
+ t c@x mul 3 s c@xa mul mul add t mul 3 s s c@xb mul mul mul add t mul s 3 exp c@xt mul add
+ t c@y mul 3 s c@ya mul mul add t mul 3 s s c@yb mul mul mul add t mul s 3 exp c@yt mul add
+ unit_image div exch
+ unit_image div exch
+ 2 copy
+ sinPhi mul neg exch cosPhi mul add % x'
+ 3 1 roll
+ cosPhi mul exch sinPhi mul add % y'
+ /Ypoint exch def
+ /Xpoint exch def
+ projectionimage
+ LINETO
+ } for
+ /c@x c@xt def /c@y c@yt def
+} bind def
+end
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+/Atan { /atan load stopped { pop pop 0 } if } def
+save
+\tx@optionssolides
+ SolidesDict begin
+/cm {\pst@number\psunit mul } bind def
+/cm_1 {\pst@number\psunit div } bind def
+/unit_image \psk@solides@unitPicture def
+/fichier (\pst@solides@file) def
+/Normale {\pst@solides@normal\space unitaire3d } bind def
+/ND \psk@solides@divisions def
+/NDC {\psk@solides@divisions 3 mul} bind def
+/origin {\pst@solides@origin\space } def
+/cosPhi {phi cos} bind def
+/sinPhi {phi sin} bind def
+Normale
+/nz exch def
+/ny exch def
+/nx exch def
+/Phi {90 nz arccos sub} bind def
+/Theta {ny nx Atan} bind def
+/sinT {Theta sin} bind def
+/cosT {Theta cos} bind def
+/sinP {Phi sin} bind def
+/cosP {Phi cos} bind def
+origin
+ /zO' exch def
+ /yO' exch def
+ /xO' exch def
+/projectionimage {
+% projection sur le plan
+Xpoint sinT mul neg Ypoint sinP cosT mul mul sub xO' add % x'
+Xpoint cosT mul Ypoint sinP mul sinT mul sub yO' add % y'
+Ypoint cosP mul zO' add % z'
+3dto2d %
+ } def
+ projectionsifacevisible not origin Normale planvisible? or {
+ /showpage {} def
+gsave
+tx@projectionDict begin
+#1 sinT mul neg #2 sinP cosT mul mul sub
+#1 cosT mul #2 sinP mul sinT mul sub
+#2 cosP mul
+3dto2d
+translate
+fichier run
+end
+grestore
+ } if
+end
+restore
+}%
+ \ifPst@solidmemory\else\end@ClosedObj\fi}\ignorespaces%
+}
+\makeatother
+\parindent=0pt
+\title{Anamorphose cylindrique : l'image dans le cylindre est vue verticalement}
+\date{6 avril 2013}
+\begin{document}
+\maketitle
+C'est un complément au package `\textsf{pst-anamorphosis}'\footnote{\url{http://melusine.eu.org/syracuse/G/pst-anamorphosis/doc/}} qui traite déjà de l'anamorphose cylindrique dans le cas où l'image vue est dans un plan horizontal.
+
+Les calculs sont identiques à ceux de l'anamorphose 3D\footnote{\url{http://manuel.luque.perso.neuf.fr/Anamorphoses/anamorphose3D/}}. Si l'on suppose que l'image doit être vue dans le plan $Oyz$ il suffit donc de faire $x_P=0$.
+
+Objet et image obéissent aux lois de la réflexion de l'optique géométrique :
+\begin{itemize}
+ \item rayon incident et rayon réfléchi appartiennent à un même
+ plan ;
+ \item rayon incident et rayon réfléchi sont symétriques par
+ rapport à la normale au miroir au point d'incidence.
+\end{itemize}
+L'image non déformée (celle qui est vue dans le miroir) est
+placée, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de
+l'objet anamorphique se réfléchit sur le miroir et après réflexion
+parvient à l'{\oe}il de notre observateur. L'observateur a
+l'illusion que le rayon provient du point image.
+Il faut donc reconstruire mathématiquement la marche d'un tel
+rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir.\par
+L'observateur est suffisamment éloigné du miroir pour pouvoir être
+considéré comme ponctuel.
+\section{Les calculs}
+Soit $P$ un point de l'image, $V$ l'{\oe}il de l'observateur. Traçons un
+droite $PV$ et déterminons le point d'intersection $I$ avec le
+cylindre : c'est le point d'incidence.\par
+$V(x_V,y_V,z_V)$ et $P(x_P,y_P,z_P)$\par
+L'équation paramétrique de la droite $(PV)$ s'écrit $\overrightarrow{IV}=\rho\overrightarrow{PV}$:
+$$\left\lbrace
+ \begin{array}{lcl}
+ x_V-x_I&=&\rho x_V\\
+ y_V-y_I&=&\rho(y_V-y_P)\\
+ z_V-z_I&=&\rho(z_V-z_P)
+ \end{array}
+ \right.
+ \Longrightarrow
+ \left\lbrace
+ \begin{array}{lcl}
+ x_I&=&x_V(1-\rho)\\
+ y_I&=&y_V(1-\rho)+\rho y_P\\
+ z_I&=&z_V(1-\rho)+\rho z_P
+ \end{array}
+ \right.
+ $$
+Le point $I$ appartenant au cylindre, ses coordonnées vérifient la
+relation :
+$$x_I^2+y_I^2=R$$
+Après développement, on obtient l'équation du second degré en $\rho$~:
+$$a\rho^2+2b'\rho+c=0$$ avec :
+ $$\left\lbrace
+ \begin{array}{l}
+ a=x_V^2+(y_V+y_P)^2\\
+ b'=x_Vx_P+y_Vy_P-x_V^2-y_V^2\\
+ c=x_V^2+y_V^2-R^2
+ \end{array}
+ \right.
+ $$
+La résolution de cette équation nous donne les solutions
+classiques:
+$$\left\lbrace
+ \begin{array}{l}
+ \rho'=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}\\
+ \rho''=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}
+ \end{array}
+ \right.
+ \qquad \Delta'=b'^2-ac
+ $$
+On retiendra la plus petite valeur positive des deux, que par la suite j'appelle $\rho$.
+\par
+$IV$ représente le rayon réfléchi par le miroir. Le rayon incident est
+défini par la droite symétrique de $IV$ par rapport à la normale
+au miroir en $I$. Je cherche le symétrique de $V$, nommé $V'$ par rapport à
+cette normale $IN$. Ce point $V'$ remplit deux conditions :
+\begin{enumerate}
+ \item $\overrightarrow{IV}+\overrightarrow{IV'}=k\overrightarrow{IN}$
+ \item $\overrightarrow{VV'}.\overrightarrow{IN}=0$
+\end{enumerate}
+La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur
+$\overrightarrow{IN}(x_I,y_I,0)$\\
+La première condition se traduit par :
+$$\left\lbrace
+ \begin{array}{l}
+ x_V-x_I+x_{V'}-x_I=kx_I\\
+ y_V-x_I+y_{V'}-y_I=ky_I\\
+ z_V-z_I+z_{V'}-z_I=0
+ \end{array}
+ \right.
+ \Longrightarrow
+ \left\lbrace
+ \begin{array}{l}
+ x_{V'}=kx_I+2x_I-x_V\\
+ y_{V'}=ky_I+2y_I-y_V\\
+ z_{V'}=2z_I-z_V
+ \end{array}
+ \right.
+ $$
+La deuxième par :
+$$(x_{V'}-x_V)x_I+(y_{V'}-y_V)y_I=0$$
+En remplaçant $x_{V'}$ et $y_{V'}$ tirés de la première condition
+dans la deuxième :
+$$k(x_I^2+y_I^2)+2x_I^2-2x_Vx_I+2y_I^2-2y_Vy_I=0$$
+$$kR^2+2R^2=2(x_Vx_I+y_Vy_I)$$
+$$k+2=\dfrac{2}{R^2}(x_Vx_I+y_Vy_I)$$
+Les coordonnées de $V'$ s'en déduisent :
+$$ \left\lbrace
+ \begin{array}{l}
+ x_{V'}=(k+2)x_I-x_V\\
+ y_{V'}=(k+2)y_I-y_V\\
+ z_{V'}=z_V(1-2\rho)
+ \end{array}
+ \right.
+ $$
+Il reste à trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan
+horizontal $z=0$.\par
+\'Equation paramétrique de $IV'$, M étant un point courant :
+$\overrightarrow{MV'}=\alpha\overrightarrow{IV'}$
+$$ \left\lbrace
+ \begin{array}{l}
+ x_{V}'-x=\alpha(x_{V'}-x_I)\\
+ y_{V'}-y=\alpha(y_{V'}-y_I)\\
+ z_{V'}-z=\alpha(z_{V'}-z_I)
+ \end{array}
+ \right.
+ $$
+$z=0\Longrightarrow \alpha=\dfrac{z_{V'}}{z_{V'}-z_I}$ soit
+$$\alpha=\dfrac{(1-2\rho)z_V+\rho z_P}{-\rho z_V+\rho z_P}$$
+En remplaçant $\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonnées du point de l'objet
+anamorphique.
+$$ \left\lbrace
+ \begin{array}{l}
+ x=x_{V'}-\alpha(x_{V'}-x_I)\\
+ y=y_{V'}-\alpha(y_{V'}-y_I)
+ \end{array}
+ \right.
+ $$
+Cette série de calculs doit être appliquée à tous les points de
+l'image « normale » afin d'obtenir l'objet anamorphique (déformé)
+dont le miroir « redressera » la forme.
+
+On notera que la position en hauteur de l'observateur $z_V$ intervient dans le coefficient $\alpha$.
+
+%\begin{verbatim}
+% /Zp exch s@@y mul t@@y add def /Xp exch s@@x mul t@@x add def
+% /a Xv Xp sub dup mul Yv dup mul add def
+% /b Xv Xp mul Xv dup mul sub Yv dup mul sub def
+% /c R neg Xv dup mul add Yv dup mul add def
+% /d b dup mul a c mul sub 0.5 exp def
+% /rho1 b neg d sub a div def
+% /rho2 b neg d add a div def
+% rho2 rho1 ge {/rho rho1 def}{/rho rho2 def} ifelse
+% /xi Xv dup Xp sub rho mul sub def
+% /yi Yv 1 rho sub mul def
+% /zi Zv dup Zp sub rho mul sub def
+% /alpha 2 zi mul Zv sub zi Zv sub div def
+% /k 2 Xv xi mul Yv yi mul add mul R div def
+% /xv k xi mul Xv sub def
+% /yv k yi mul Yv sub def
+% xv dup xi sub alpha mul sub
+% yv dup yi sub alpha mul sub
+%\end{verbatim}
+
+\begin{center}
+\begin{pspicture}(-8,-8)(10,6)
+\psframe(-8,-8)(10,6)
+\psset{viewpoint=100 -20 40 rtp2xyz,Decran=60,lightsrc=viewpoint}
+\psSolid[object=plan,
+ definition=normalpoint,
+ args={0 0 0 [1 0 0 90]},
+ action=draw,linecolor=red,
+% planmarks,
+% showBase,
+ base=-11 11 0 6]
+\psSolid[object=plan,
+ definition=normalpoint,
+ args={0 0 0 [0 0 1 -90]},
+ action=draw,linecolor=red,
+% planmarks,
+% showBase,
+ base=-11 11 -8 13]
+\psset{solidmemory}
+\psImage[file=sylvestreA4.eps,normal=0 0 1,origine=0 0 0,divisions=2,unitPicture=23](0,7)
+\defFunction[algebraic]{Cylindre}(t){2*cos(t)}{2*sin(t)}{0}
+\psSolid[object=cylindre,function=Cylindre,%unit=0.035,
+ range=1.57 4.71,
+ axe=0 0 1,h=6,
+ ngrid=1 42,grid,
+ incolor=yellow!50,
+ linecolor=blue!20,
+ fillcolor=blue!20](0,0,0)
+\multido{\n=-2.0+0.5}{9}{\psLineIIID(0,\n,0)(0,\n,5)}
+\multido{\nz=0.0+0.5}{11}{\psLineIIID(0,-2,\nz)(0,2,\nz)}
+\psImage[file=sylvestre.eps,normal=1 0 0,origine=0 0 0,divisions=5](0,2.5)
+\defFunction[algebraic]{Cylindre}(t){2*cos(t)}{2*sin(t)}{0}
+\psSolid[object=cylindre,function=Cylindre,
+ range=-1.57 1.57,opacity=0.2,
+ axe=0 0 1,h=6,
+ ngrid=1 42,grid,
+ incolor=yellow!50,
+ linecolor=blue!20,
+ fillcolor=blue!20](0,0,0)
+\psSolid[object=plan,
+ definition=equation,
+ args={[0 0 1 -6]},
+ action=none,
+ name=monplan]
+\psProjection[object=cercle,plan=monplan,
+ args=0 0 2,
+ range=0 360]
+\psSolid[object=plan,
+ definition=equation,
+ args={[0 0 1 0]},
+ action=none,
+ name=monPlan]
+\psProjection[object=cercle,plan=monPlan,
+ linestyle=dotted,
+ args=0 0 2,
+ range=0 360]
+\psLineIIID[linecolor=red](0,-11,6)(0,11,6)%}
+\axesIIID(0,0,0)(14,14,7)
+\end{pspicture}
+\end{center}
+\section{Le nouveau paramètre}
+Pour garder la compatibilité avec le package `\textsf{pst-anamorphosis}', une nouvelle option a été rajoutée \colorbox{yellow}{\texttt{type=cylindricalV}}.
+\begin{center}
+\psscalebox{0.75}{
+\begin{pspicture}(-11,-12)(11,7)
+\pscircle{2}
+\rput(0,6){\parbox{4cm}{Cette image est en \\
+ réalité perpendiculaire au plan de la figure}}
+\psset{Yv=-15,Xv=0,Zv=15,type=cylindricalV,Rmirror=2}
+\Cadre
+\psanamorphosis[drawanamorphosis=true](0,2.5){sylvestre.eps}
+\end{pspicture}}
+\end{center}
+\begin{verbatim}
+\begin{pspicture}(-11,-12)(11,7)
+\pscircle{2}
+\rput(0,6){\parbox{4cm}{Cette image est en \\réalité perpendiculaire au plan de la figure}}
+\psset{Yv=-15,Xv=0,Zv=15,type=cylindricalV,Rmirror=2}
+\Cadre
+\psanamorphosis[drawanamorphosis=true](0,2.5){sylvestre.eps}
+\end{pspicture}
+\end{verbatim}
+
+Une autre option a encore été rajoutée permettant de placer ou non l'image vue dans le cylindre : \colorbox{yellow}{\texttt{image}}.
+\newpage
+\section{Un autre exemple}
+La carte est extraite du jeu proposé par \url{http://sourceforge.net/projects/vector-cards/?source=dlp}.
+\begin{center}
+\psscalebox{0.66}{
+\begin{pspicture}(-10,-12)(10,9)
+\pscircle[doubleline=true]{2}
+\psset{Yv=-15,Xv=0,Zv=15,type=cylindricalV,Rmirror=2}
+\psanamorphosis[drawanamorphosis=true,scale=0.6 0.6](0,0){KH_2.eps}
+{%
+\psset{linestyle=dotted,linecolor=red}
+\multido{\n=-2+0.5}{9}{%
+ \pnode(! \n\space 0){A}
+ \pnode(! \n\space 5.5){B}
+ \psline(A)(B)
+ \pslineA(A)(B)
+ }
+\multido{\N=0.0+0.5}{12}{%
+ \pnode(!-2 \N){A}
+ \pnode(!2 \N){B}
+ \pslineA(A)(B)
+ \psline(A)(B)
+ }}
+\rput(0,6.5){\parbox{4cm}{Cette carte est en \\réalité perpendiculaire au plan de la figure}}
+\end{pspicture}}
+\end{center}
+\begin{verbatim}
+\begin{pspicture}(-10,-12)(10,12)
+\pscircle[doubleline=true]{2}
+\psset{Yv=-15,Xv=0,Zv=15,type=cylindricalV,Rmirror=2}
+\psanamorphosis[drawanamorphosis=true,scale=0.6 0.6](0,0){KH_2.eps}
+{%
+\psset{linestyle=dotted,linecolor=red}
+\multido{\n=-2+0.5}{9}{%
+ \pnode(! \n\space 0){A}
+ \pnode(! \n\space 5.5){B}
+ \psline(A)(B)
+ \pslineA(A)(B)
+ }
+\multido{\N=0.0+0.5}{12}{%
+ \pnode(!-2 \N){A}
+ \pnode(!2 \N){B}
+ \pslineA(A)(B)
+ \psline(A)(B)
+ }}
+\end{pspicture}
+\end{verbatim}
+\end{document}
\ No newline at end of file
Projets / pst-anamorphosis.git / blobdiff
Les fichiers de Syracuse sont mis à
disposition (sauf mention contraire) selon les termes de la